Расчет и моделирование электромагнитного выключателя

 

 

 

Лабораторная работа №1

Расчет и моделирование  электромагнитного выключателя

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краткая теория

 

Электромагнитные  выключатели

 

Электромагнитные выключатели  для гашения дуги не требуют ни масла, ни сжатого воздуха, что является большим их преимуществом перед  другими типами выключателей. Отсутствие масла упрощает эксплуатацию выключателя, делает его полностью взрыво- и пожаробезопасным. Выключатели этого типа выпускают на напряжение 6 - 10 кВ, номинальный ток до 3600 А и ток отключения до 40 кА.

Принципиальная схема  электромагнитного выключателя:

 

1 и 15  -  разъемные  контакты;

2  -  неподвижный контакт  выключателя;

3 и 8  -  катушки магнитного  дутья; 

3' и 8'  -  магнитные  полюса;

4 и 7  -  рога;

5  -  поперечные перегородки;

6  -  деионная решетка;

9  -  подвижный контакт;

10  -  трубка обдува;

11  -  привод;

12  -  ось;

13  -  цилиндр;

14  -  поршень;

I, II, III и IV  -  положение  дуги при ее гашении

Достоинства электромагнитных выключателей: полная взрыво- и пожаробезопасность, малый износ дугогасительных контактов, пригодность для работы в условиях частых включений и отключений, относительно высокая отключающая способность.

 

Недостатки: сложность конструкции дугогасительной камеры с системой магнитного дутья, ограниченный верхний предел номинального напряжения (15—20 кВ), ограниченная пригодность для наружной установки.

 

Также в ходе работы было использовано две программы:

 

1. ELCUT – это программа расчёта и моделирования физических полей, и все её применения так или иначе связаны с наукой. Традиционные направления, где применяется моделирование полей, - физические исследования, электротехника, строительная механика, – в последнее время дополняются многочисленными примерами из области нанотехнологий, биологии, химии.

Моделируемые в ELCUT физические задачи, связанные с электромагнитными  полями, электрическими токами, температурными полями, упругими напряжениями и деформациями – сегодня возникают в самых  различных направлениях научных  исследований. Популярность программы  в ведущих российских и зарубежных научных центрах доказывается её внедрениями и публикациями, связанными с ELCUT.

2. Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

 

 

Операторный метод  решения дифференциальных уравнений.

 

Рассмотрим, вкратце, операторный метод решения дифференциальных уравнений.

Итак, наше уравнение имеет  вид:

С помощью таблицы оригиналы необходимо превратить в некоторые изображения.

Сначала выражаем операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь.

Действие второе. Используя  метод неопределенных коэффициентов, операторное решение уравнения  следует разложить в сумму элементарных дробей.

Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью  обратного преобразования Лапласа  перейти от изображений к соответствующим  оригиналам. Таким образом, будет найдено искомое частное решение. Все задачи, решаются по достаточно жесткому алгоритму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель работы: рассчитать и спроектировать электро-магнитный выключатель с заданными параметрами, а также ближе познакомится с работой программ ElCut и MathCad.

 

Ход работы

 

1. Составим дифференциального уравнения, из которого найдем ускорение, с помощью которого в дальнейшем рассчитаем силу необходимую для передвижения стержня на данное расстояние за заданное время.

Дано:

 

 

,

 

где n-номер варианта (n=4)

Тогда m=0,4 кг

 

 

 

 

 

Итак, составим уравнение:

F_max=kΔx+F_min

m*a=F_упр=kΔx

a=kΔx/m

 

 

 

 

 

Операторным методом решим  дифференциальное уравнение, в итоге  получим:

Подставим значения начальных условий =0, t=0, k=1

получим что:                               (1)

 

Далее подставим конечные условия:

 

 

 

тогда получим:                 (2)

 

 

Решим систему, состоящую  из уравнений 1 и 2, в итоге получим:

 

 

 

Запишем окончательное решение  дифференциального уравнения в  MathCad и найдем производную:

Отсюда,

 

2.Теперь приступим к проектированию катушки индуктивности в программе Elcut.

Создаем задачу Магнитостатическое поле с параметрами:

 

Строим макет, состоящий  из 1- воздух, 2-катушка, 3-сердечник, 4-ярмо.

 

Теперь рассмотрим парамметры каждого из элементов:

 

1.  У воздуха задаем только магнитную проницаемость = 1

 

 

2. Сердечник – нелинейный материал, поэтому строим кривую магнитной проницаемости.

 

 

 

3. В катушке задаем магнитную проницаемость и плотность тока:

 

4. Стержень также имеет нелинейную магнитную проницаемость.

 

5. Параметры границы таковы:

 

Рассчитываем задачу, как  итог имеем:

 

В решении выделяем сердечник и  в интегральных значениях находим  силу:

 

 

 

 

 

Итак, мы добились желаемого  результата, полученная нами сила совпадает  с расчетной. Следовательно, отключение или включение произойдет в заданный промежуток времени.

Теперь с помощью интегрального  калькулятора ElCut найдем объемы частей. Отсюда, зная плотность, найдем массы деталей, а, следовательно, и полную массу выключателя.

 

 

Вывод: мы рассчитали силу со стороны магнитного поля с помощью программы MathCad, а также спроектировали электромагнитный выключатель с помощью ElCut, тем самым приобрели навыки работы в этих программах, а также ближе познакомились с устройством новых для нас устройств - электромагнитных выключателей.

 

1. Классификация дифференциальных уравнений с примерами.
2. Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений.
3. Область применения операционных методов при решении дифференциальных уравнений.
4. Чем обусловлена нелинейная зависимость силы электромагнита от расстояния между сердечником и ярмом?
5. На каком токе — постоянном или переменном — сила электромагнита больше?
6. Как меняются свойства материала в пределах одного конечного элемента?

1.Классификация дифференциальных  уравнений с примерами.

Дифференциальные  уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида 

. 
Запишем несколько примеров таких ДУ 

. 
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида 

 или  . 
Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными. 
Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него. 
Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx. 

В качестве примеров ОДУ с  разделенными переменными приведем  

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка 

. 
 
 
В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести  . 
Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения:y(x) = u(x)v(x). 
Дифференциальное уравнение Бернулли  

. 
Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например,

. 
Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой  .

Уравнения в полных дифференциалах

.

Если для любых значений x и y выполняется  , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу. 
К примеру, левая часть дифференциального уравнения  представляет собой полный дифференциал функции 

Дифференциальные  уравнения второго порядка.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами  . 
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами  . 
 
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем 
  
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)   и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка  . 
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами. 
Примером ЛОДУ является  . 
В качестве примера ЛНДУ можно привести  . 
Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. 
Порядок дифференциального уравнения  , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-kзаменой  . 
 
В этом случае  , и исходное дифференциальное уравнение сведется к  . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене   и определить неизвестную функцию y. 
Например, дифференциальное уравнение   после замены   станет уравнением с разделяющимися переменными  , и его порядок с третьего понизится до первого. 
Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид  , то его порядок может быть снижен на единицу заменой  , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим 
 
  
и так далее.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка. 
 
К примеру, дифференциальное уравнение   заменой   приводится к уравнению с разделяющимися переменными  . 
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами   и  . 
В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем  , ему соответствует ЛОДУ  .

Линейные однородные и  неоднородные дифференциальные уравнения  высших порядков   и  . 
Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде  , где   - общее решение соответствующего ЛОДУ, а   - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 
 
 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций  , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство   в тождество. Частные решения   обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема. 
 
Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных. Итак, 
  .

1.Классификация дифференциальных  уравнений с примерами.

Дифференциальные  уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида 

. 
Запишем несколько примеров таких ДУ 

. 
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида 

 или  . 
Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными. 
Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него. 
Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.