Решение систем линейных уравнений, векторная алгебра

МИНИСТЕРСВТО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«ВЯТСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СОЦИАЛЬНО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА…

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

по  дисциплине «Высшая математика»

На  тему

«Решение  систем линейных уравнений, векторная  алгебра»

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработал студент гр…		/Лийман С.В./
	(подпись)
Руководитель ст. преподаватель		/Сошникова Е.М./
	(подпись)
Проект защищен с оценкой		«__»________2014 г.
Члены комиссии		/________________/
	(подпись)
		/________________/
	(подпись)

 

 

Киров 2014

 

Система линейных алгебраических уравнений.

 

Задание:

1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

x₁ - x₂ +  x₃=6

x₁ - 2x₂ +  x₃=9

x₁ - 4x₂ -2x₃=3

 

Решение:

 

Перепишем систему уравнений в матричный вид

 

 

Находим ее определитель по формуле

 

                                                            

 

 

 

 

Так как определитель основной матрицы отличен от нуля, то данная система линейных уравнений имеет единственное решение.

Находим определители , , ,

 

=

 

 

=

=

 

=

=

 

Таким образом

 

 

 

Ответ: , , .

 

Задание:

2. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

2x₁ - x₂ - x₃=4

3x₁ + 4x₂ -2x₃=1

3x₁ - 2x₂ + 4x₃=1

 

Решение:

 

В матричной форме система уравнений может быть записана в виде , где

 

     

 

 

Найдём определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом.

Имеем

 

 

 

 

Следовательно, для матрицы  А может быть найдена обратная матрица А^-1 . Таким образом, если мы найдем обратную матрицу, то искомое решение определим как .

Итак, необходимо найти обратную матрицу .

 

 Обратная матрица  может быть найдена как 

, где  - алгебраические дополнения элементов

Найдём алгебраические дополнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Находим решение:

 

 

Ответ: , , .

 

 

Задание:

3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

x₁ + 2x₂ - 3x₃- 4x₄=4

2x₁ + 3x₂ - 4x₃- 5x₄=4

3x₁ + x₂ - 2x₃- 2x₄=2

4x₁ + 3x₂ - 4x₃- 6x₄=3

 

Решение:

Перепишем систему уравнений  в матричном виде и решим ее методом Гаусса:

 

От 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 1; 4

2 строку делим на (-1):

От 1, 3, 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную на 2, (-1), (-5)

3 строку делим на (-1):

От 1, 2, 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1, (-2), (-2)

4 строку делим на (-3)

От 1, 2, 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную на 1, (-1), 1:

Ответ: x₁=-1, x₂=-1, x₃=-1, x₄=-1.

 

Векторная алгебра.

 

Задание

1. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

А₁= (-7; 5, 19), А₂= (-5, 7, -7), А₃= (-8, 7, 14)

 

Решение:

Три вектора А_1, А_2, А₃ пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю.

 

Находим определитель из координат выше указанных векторов А_1, А_2, А_3:

 

 

 

Ответ: Данная система является линейно зависимой.

Задание:

2. Выяснить, что векторы А_1, А_2, А₃ образуют базис, и разложить по этому базису вектор       В (3, -3, -4)

А₁ (3, 0, 2) А₂ (1, -1, -2) А₃(2, 1, 2)

Решение:

Вычисляем определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов А_1, А_2, А₃:

 

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трём и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы А_1, А_2, А₃ линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства.

Пусть x₁, x₂, x₃ — координаты вектора В в базисе А_1, А_2, А₃, тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве, имеем:

 

Решим систему  уравнений методом Крамера:

 

=

 

 

=

 

=

=

 

 

Значит:     

Ответ:

 

Задание:

3. Найти косинус угла между векторами a и b:

a= (2, -4, 4) b=(-3, 2, 6)

 

Решение:

Углом между  двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть  один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с  другим вектором.

Угол между  двумя векторами a и b можно найти, использовав следующую формулу:

Найдем  скалярное произведение векторов a и b:

 

Найдем  длины векторов:

= = =6

= = =7

 

Найдем  угол между векторами:

=

 

Ответ: cosα 0,238095.

 

Задание:

4. Вычислить скалярное произведение векторов:

a= (3, -2, 4) b=(1, -2, 5)

 

Решение:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет  скаляр, величина которого равна сумме  попарного произведения координат  векторов a и b.

Ответ:

 

Задание:

5. Вычислить внутренние углы треугольника ABC:

A (1, 2, 1) B (3, -1, 7) C(7, 4, -2)

 

Решение:

Углом между  двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть  один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с  другим вектором.

Угол между  двумя векторами a и b можно найти, использовав следующую формулу:

Найдем  скалярное произведение векторов a и b:

Найдем  длины векторов:

= =

= =

Найдем  угол между векторами a и b:

=

 

Найдем  скалярное произведение векторов b и c:

Найдем  длины векторов:

= =

= =

Найдем  угол между векторами a и b:

=

 

Найдем  скалярное произведение векторов a и c:

Найдем  длины векторов:

= =

= =

Найдем  угол между векторами a и b:

=

Ответ: ; ;

 

 

Задание:

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(-4, 1, 2) и b=(5, -1, 1):

A (1, 2, 1) B (3, -1, 7) C(7, 4, -2)

 

Решение:

Площадь параллелограмма образованного  векторами a и b равна модулю векторного произведения этих векторов:

 

S = |a × b|

 

Ответ: S= .