Роль и значение математики, в научно-теоретической и предметно-практической деятельности специалистов. Теория вероятностей (основные пон

Роль и значение математики, в научно-теоретической и предметно-практической деятельности специалистов. Теория вероятностей(основные понятия, теоремы).

Математическое моделирование системных элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.

Три этапа математизации знаний:

Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: математическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории. Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто феноменологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигналами (входами ) и выходными реакциями (откликами ) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами . Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала. Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе некоторые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фундаментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизведения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объекта-оригинала в форме другого объекта - математической модели. Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Третий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиоматики. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодолевать узость мышления, порождаемую специализацией.

Математическое моделирование и модель

Определение1:Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - математических моделей.

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции, в зависимости от параметров объекта-оригинала , входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала , которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

 

Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтаксис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математических объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.

Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в технологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.

Интерпретации в математическом моделировании

Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение, толкование, истолкование) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо образом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным символам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных положений какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исходные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следовательно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. установлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения формальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некоторый элемент (интерпретации) содержательной системы. Если указанное условие нарушается, имеет место частичная интерпретация.

 

 

При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значения элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций. Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интерпретации применительно к задаче математического моделирования.

Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это информационный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называемого областью интерпретации, в область - информационное множество данных и знаний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое областью значений интерпретации. Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основополагающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) моделирования.

Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) математического выражения, делает последнее математической моделью реального объекта.

Виды и уровни интерпретаций

Создание математической модели системного элемента - многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интерпретация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) информационного содержания интерпретируемого математического объекта - математического описания и требуемого конечного информационного содержания математического объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксическую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количественную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интерпретаций.

 

 

 

Синтаксическая интерпретация

Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфологической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных математических языков.

При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.

Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать морфологическую структуру математического выражения

(1)

Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру,

которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в соответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру St в адекватную требуемую St ,т.е.

(2)

Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру St , удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой St до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования

(3)

Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт возможность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представления АМО в рамках одного математического языка.

Семантическая интерпретация

Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических выражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сферы, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, классы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстрагирования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпретация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.

Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному математическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.

Качественная интерпретация

Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качественных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретируется режим функционирования объекта моделирования.

Количественная интерпретация

Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение параметров, характеристик, показателей.

В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один единственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-оригинала.

Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций - синтаксической, семантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация

АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы, в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.

Теория вероятностей.

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью , равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление события А зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Предмет теории вероятностей.

Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и событием А, наступление или не наступление которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

б) При условиях S событие А имеет определённую вероятность P (A / S), равную р. Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо число N атомов.