Синтез аналоговых фильтров с заданными характеристиками и анализ их работы

 

Часть 1. Анализ характеристик фильтров

Б) Решить задачу (для четных вариантов)

LCR-фильтр верхних частот (ФВЧ) собран на катушке индуктивности

L=0,01 Гн с омическим сопротивлением R=1 Ом и конденсаторе С=22 мкФ.

Определить резонансную частоту f₀ [Гц] и граничную частоту полосы пропускания f_пп [Гц] ФВЧ при сопротивлении нагрузки R_нагр1=1000R, R_нагр2=100R, R_нагр3=10R. Точность решения составляет 1·10^-3 Гц.

Таблица 1. Исходные данные

Вариант	L, мГн	C, мкФ	Метод решения нелинейных уравнений
4	750	950	Метод дихотомии

РЕШЕНИЕ

Принципиальная  схема LCR-фильтра верхних частот, собранная на катушке индуктивности и конденсаторе приведена на рис.1.

Рис.1. Принципиальная схема RLC-фильтра верхних частот

Для того чтобы составить систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику заданного фильтра, рассмотрим электрическую схему и запишем уравнения по элементарным правилам электротехники.

 

_{В соответствии с записанными  уравнениями с  помощью различных  математических операций произведем расчет системы  данных уравнений  к виду ЛДУ.}

 

_{Уравнение (1) – ЛДУ, описывающее динамику исследуемого фильтра.}

_{Осуществив  прямое преобразование Лапласа (), получим из уравнения (1) следующее выражение:}

 

Уравнение (2) – линейное алгебраическое уравнение в изображениях по Лапласу, описывающее динамику исследуемого фильтра.

Выразим значение передаточной функции из уравнения (2):

 

Для получения  частотных характеристик произведем замену s=jω. Операцию произведем в программе Mathcad.

Таким образом, функция выглядит следующим образом:

 

Выделим действительную и мнимую составляющие функции, умножив  знаменатель на комплексно-сопряженную  величину.

 

Также запишем  выражение для расчета амплитудо-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик соответственно

Запишем исходные данные в Matchad

Для нахождения резонансной частоты ФВЧ необходимо АЧХ продифференцировать по частоте ω и ввести результат в соответствующую функцию

Приравняем производную к нулю и решим нелинейное уравнение  с помощью процедуры solve

      

 

 

 

 

 

 

Отбросим  первый и третий полученные корни, а второй корень (равный также и четвертому) представим в виде функции, затем определим резонансные частоты при трёх значениях сопротивления нагрузки

Амплитудно-частотные  характеристики ФВЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 2.

Рис.2. Амплитудно-частотные  характеристики ФВЧ при разных сопротивлениях нагрузки

Резонансная частота ФВЧ нелинейно зависит от сопротивления нагрузки (рис.3).

Рис.3. Зависимость резонансной  частоты ФВЧ от сопротивления  нагрузки

Фазочастотные характеристики (ФЧХ) ФВЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 4.

Рис. 4. Фазочастотные характеристики (ФЧХ) ФВЧ при разных сопротивлениях нагрузки

Если понижать частоту входного сигнала ФВЧ (по аналогии к ФНЧ), начиная от резонансной, то амплитуда выходного напряжения при некоторой частоте снизится в раза, по сравнению с амплитудой, при частоте, стремящейся к бесконечности. Такая частота определяет полосу пропускания ФВЧ. Определим полосу пропускания ФВЧ при ненагруженном режиме, решив нелинейное уравнение с помощью процедур solve. Результат представим в формате float (с плавающей точкой), взяв первые шесть значащих цифр результата.

Таким образом, точные значения, найденные с помощью  решения в программе Mathcad, равны

_{ωПП 1=24,1298 рад^-1                fПП 1=3,84 Гц}

_{ωПП 2=24,6545 рад^-1                fПП 2=3,92 Гц}

_{ωПП 2=92,4678 рад^-1                fПП 3=14,72 Гц}

 

Найдем значения полос пропускания численными методами (методом дихотомии).

Произведем  расчет при Rнагр1. Зададим функцию f1(ω)

График функции  f1(ω)приведен на рис.5. Необходимо найти корень функции (точку пересечения графика с осью абсцисс).

Рис.5. График функции f1(ω)

Произведем  расчет методом дихотомии (деление  отрезка на две равные части) в  виде программы

Аналогично  проведем расчет для остальных значений нагрузок

 

Таким образом, получены значения ω_пп, мало отличающиеся от значений, полученных при проведении точного расчета

_{ωПП 1=24,13 рад^-1}             

_{ωПП 2=24,654 рад^-1}

_{ωПП 2=92,468 рад^-1}

 

 

Часть 2. Синтез фильтров с заданными частотными характеристиками

Б) Решить задачу (для четных вариантов)

LCR-фильтр низких частот собран на катушке индуктивности

L=0,01 Гн с омическим сопротивлением R=1 Ом и конденсаторе С. Рассчитать требуемую ёмкость конденсатора С и выбрать его из ряда стандартных значений Е24,Е48 или Е96. Обеспечить погрешность не хуже 5%. Граничная частота полосы пропускания f_пп указана в таблице2. Метод решения нелинейных уравнений принять прежний из первой части работы.

 

Таблица 2. Исходные данные

Вариант	Граничная частота пропускания, Гц
4	40

РЕШЕНИЕ

Принципиальная  схема LCR-фильтра верхних частот, собранная на катушке индуктивности и конденсаторе приведена на рис.6.

Рис.6. Принципиальная схема LCR-фильтра нижних частот

Введем исходные данные для расчета в программу  Mathcad.

Выражения частотных  характеристик выглядят следующим  образом

По условию  задачи известно значение f_ПП, тогда

_{ωПП=2πf=80π}

Так, возможно решить в программе Mathcad уравнение с одной неизвестной C:

Решим задачу численным методом дихотомии

Рис.7. График функции f1(С)

Как видно, ответ, полученный с помощью численных  методов, очень точно соответствует  значению, полученному программным  решением.

Выберем из ряда стандартных значений E96 емкость конденсатора

C=340·10^-5 Ф.

Блок-схема алгоритма  и программная реализация метода дихотомии решения линейных уравнений

Рис. 8. Блок-схема  алгоритма и программная реализация метода дихотомии.

 

Сводные результаты расчетов и погрешности

Таблица 3. Значения расчетов  и погрешностей частот пропускания ФВЧ

Нагрузка, Ом	Частота, Гц (решение в Mathcad)	Частота, Гц (Численный метод)	Погрешность, %
1000	3,84	3,84	0
100	3,92	3,924	0,1
10	14,72	14,717	0,2

 

Емкость, мкФ (решение в Mathcad)	Емкость, мкФ (Численный метод)	Емкость, мкФ (из ряда Е24)	Погрешность, %
3385,17	3386,72	150	0,046

Ответ на контрольный вопрос 4.  Вывод СДУ, описывающих динамику нагруженного LCR-ФВЧ 2 порядка.

 

Рисунок 1 – Схема LCR-фильтра верхних  частот

Так как в данной задаче требуется  получить и проанализировать частотные  харак-теристики, то можно осуществить переход к комплексной схеме замещения (рис. 2).

 

Рисунок 2 – Комплексная схема  замещения LCR-фильтра верхних частот

 

Эквивалентируем полученную комплексную  схему замещения. Для этого используются следующие выражения:

1. емкостное сопротивление                       2. индуктивное сопротивление

, где s – оператор Лапласа

Согласно данным выражениям исследуемая  комплексная схема замещения может быть упрощена следующим образом:

 

Рисунок 3 – Комплексная схема  замещения LCR-фильтра верхних частот после упрощения

В данной схеме эквивалентное сопротивление  определяется следующим образом:                               

Система алгебраических уравнений  в изображениях, описывающих состояние  ФВЧ:                     

Частотные характеристики получаются из передаточной функции, которая связывает  координаты выхода и входа.

 

Произведем алгебраические преобразования

 

Следовательно передаточная функция имеет вид:

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Глазырин А. С. Исследование переходных и частотных характеристик нагруженных пассивных фильтров: учебно-методическое пособие к проведению лабораторной работы по курсу «Элементы автоматических устройств». – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009. – 27 с.

2. Методы и средства автоматизации профессиональной деятельности: учебное пособие / Томский политехнический университет (ТПУ). – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. Ч. 1 / А. С. Глазырин [и др.]; Томский политехнический университет (ТПУ); под ред. А. С. Глазырина. – 2007. – 199 с.: ил. – Библиогр.: с. 197-198.