Численное решение задачи Коши методом Милна

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Численные методы» 
на тему: «Численное решение задачи Коши методом Милна»

 

 

содержание

 

 

 

Цель курсовой работы: исследовать способ численного решения задачи Коши методом Милна.

Для достижения цели курсовой работы, необходимо выполнение следующих задач:

• изучить теоретическую основу решения задачи Коши методом Милна;
• научиться практически применять метод Милна для решения задачи Коши;
• решить 30 систем нелинейных уравнений методом Милна из учебного пособия [3].

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y(n)(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая  переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная  функция. Число n называется порядком уравнения.  

 

Функция y(x) называется решением (или  интегралом) дифференциального уравнения  на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:

y(n) = f(x, y, y ',  y '',  …  , y(n − 1)).

Дифференциальное уравнение  обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.  

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁, y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Задачей Коши (или начальной  задачей) называется задача отыскания  решения y = y(x) уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^{(n )}(x)) = 0,    x>x₀, удовлетворяющего условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁, y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Условия   y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1} называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений y₁ , y₂ , ..., y_N компонент y(x_i) вектора решения в точках   x₁ , x₂ , ..., x_N.

 

 

 

Методы численного решения  задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений разделяются на два класса:

1) одноступенчатые методы, использующие данные о решении только в одной точке. Однако приходится вычислять функции y(x_i) в нескольких точках. К этим методам относятся методы Рунге–Кутта и метод решения с помощью рядов Тейлора;

2) многоступенчатые, или многошаговые, методы, не требующие много повторных вычислений функций y(x_i), использующие данные о решении в нескольких точках, что вынуждает применять одношаговые методы для запуска метода и при изменении шага интегрирования. Это методы прогноза-коррекции, Адамса, метод Милна и др.

 

РАЗДЕЛ 1. МЕТОД МИЛНА

Одним из наиболее простых  и практически удобных методов  численного решения дифференциальных уравнений является метод Милна.

Для получения формул Милна обычно используется первая интерполяционная формула Ньютона для производной y' в точке        с разностями до третьего порядка:

(1)

где                      Полагая k = (n – 4) в формуле (1) и интегрируя её почленно по х в пределах от xn–4 до xn, получим

Так как                     и dx = hdq, интеграл принимает вид

(2)

 

 

 

Подставляя выражения  конечных разностей:

в уравнение (2), после упрощений получаем первую формулу Милна:

  

Используя дифференциальное уравнение и' = f(x, u) и заменяя un на yn, формулу Милна приводим к окончательному виду:

(3)

 

Для получения второй формулы Милна  положим в формуле (1) k = (n – 2) и проинтегрируем обе части получившегося выражения по х от хn–2 до хn:

Отсюда, после аналогичных предыдущему операций, получим

(4)

Здесь                                        Подставляя в уравнение (4) значения конечных разностей                  получаем вторую формулу Милна:

                            

или, окончательно, после  замены un на yn и nu′ на f(xn, yn),

(5)

 

Если f(x, y) не зависит от у, то есть равняется f(x), то формула (5) идентична формуле Симпсона для вычисления определенного интеграла

 

Оценим погрешности формул Милна (3) и (5) εi(1), εi(2) по величине отброшенных членов полинома Ньютона:

(6)

 

(7)

 

Полагая Δ4fn = const на интервале длины 4h, получим

Так как решение дифференциальной задачи Коши равно и , где — решение получено по формуле (3), а — по формуле (5), то

 

При малых h Тогда интегральная погрешность согласно (6) и (7) для метода Милна есть

 

то есть метод Милна  четвёртого порядка точности (здесь h — шаг интегрирования; N — число точек разбиения отрезка (а, b)). Погрешность его порядка O(h ).

Метод Милна считается  одним из наиболее простых и удобных. Для начала счета он требует задания  решения в четырёх начальных  точках: . Значение y берется из начальных данных дифференциальной задачи, а получаются с помощью какого-либо метода Рунге–Кутта. Последующие значения уn для n = 4, 5, … находятся по следующей схеме:

1. вычисляется первое приближение по формуле (3):

 

для n=4,5,…;

 

2. затем находится второе приближение (окончательное) по формуле (5):

 

 

Локальная погрешность  величины приближённо равна

 

 

РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МИЛНА.

Для наглядности решения дифференциальных уравнений методом Милна, рассмотрим решение примера на практике.

Задание.

Используя метод Милна, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального  уравнения  , удовлетворяющего начальным условиям на отрезке [0,1]; шаг h=0,1; все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта.

     

Решение.

1. Определение начального отрезка произведем по формуле Рунге-Кутта

  ,

где

,

,

,

.

Для более быстрого и  удобного расчета уравнения, произведем вычисления в программе MS Excel.

 

 

 

Все расчеты представим в таблице 1, в которой  .

 

Таблица 1. Решение примера  в Excel

0	0	0,5	0,25	0,25	0,025	0,025
	0,05	0,5125	0,2627	0,3127	0,03127	0,06253
	0,05	0,5313	0,2822	0,3322	0,03322	0,06645
	0,1	0,5664	0,3209	0,4209	0,04209	0,04209
						0,03268
1	0,1	0,5664	0,3208	0,4208	0,04208	0,04208
	0,15	0,5874	0,3451	0,4951	0,04951	0,09902
	0,15	0,6159	0,3793	0,5293	0,05293	0,10587
	0,2	0,6723	0,4519	0,6519	0,06519	0,06519
						0,05203
2	0,2	0,6723	0,4520	0,6520	0,06520	0,06520
	0,25	0,7049	0,4969	0,7469	0,07469	0,14938
	0,25	0,7470	0,5580	0,8080	0,08080	0,16160
	0,3	0,8339	0,6954	0,9954	0,09954	0,09954
						0,07929
3	0,3	0,8339	0,6954	0,9954

 

2. Последующие значения  функции  будем определять методом Милна. Согласно этому методу, по ходу вычислений следует составить таблицу, содержащую значения и (табл.2).

 

Таблица 2. Решение примера  в Excel

0	0	0,5	0,25	0,25
1	0,1	0,5664	0,3208	0,4208
2	0,2	0,6723	0,4520	0,6520
3	0,3	0,8339	0,6954	0,9954
4	0,4	0,8614	0,64	0,3126
5	0,5	1,0491	0,8	0,2387
6	0,6	1,0507	0,96	0,4605
7	0,7	1,1969	1,12	0,5083
8	0,8	1,5097	1,28	0,4311
9	0,9	1,7699	1,44	0,3706
10	1	1,8827	1,6	0,6459

 

На каждом шаге вычисление ведется в два этапа. Сначала  по первой формуле Милна находим  , а затем по второй формуле Милна находим окончательное значение , где .

1. ;

;

;

Из сравнения  и имеем .

2. ;

;

;

Из сравнения  и имеем .

3. ;

;

;

Из сравнения  и имеем .

4. ;

;

.

5. ;

;

.

6. ;

;

.

7. ;

;

.

Ответом данного уравнения  являются значения функции, приведенные  в таблице 2.

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе изучено решение дифференциальных уравнений методом Милна.

В качестве достоинств данного  метода можно выделить следующее:

• данный метод считается одним из наиболее простых и удобных методов численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений;
• Метод Милна можно использовать для приближенного решения систем дифференциальных уравнений первого порядка, а также уравнений высших порядков, которые предварительно следует преобразовать в такие системы.

Недостатки метода Милна:

• данный метод не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют использовать, когда предполагаемое число шагов не велико;
• для применения метода Милна необходимо найти первые четыре значения решения дифференциального уравнения: , используя начальное условие и какой-либо метод, например, метод Рунге - Кутта..

В курсовой работе произведен подбор и структуризация теоретического материала на заданную тему. Представлена практическая сторона использования изучаемого метода. Решены 30 примеров уравнений из учебного пособия [3].

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. — М.: МГУЛ, 2005. — 109 с.
2. Ширапов Д.Ш., Ширапов Б.Д., Чимитова Е.Г. Основы вычислительной математики — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. —25 с.
3. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб. пособие для техникумов.—2-е изд., перераб. и доп.—М.: Высшая Школа, 1990.—208 с.
4. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. Пособие./ под ред. В.А. Садовничего — М.: Высшая школа, 2000. — 190 с.
5. Формалев В.Ф., Резников Д.Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.
6. Губарь Ю.В. Введение в математическое моделирование: Курс лекций. – М.: Дело, 2007. – 230 с.