Численные методы решения дифференциальных уравнений

Федеральное агентство  связи

Бурятский филиал

Государственного  образовательного бюджетного учреждения

 высшего профессионального  образования 

 

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ  И ИНФОРМАТИКИ»

 

Кафедра информатики  и вычислительной техники 

Допустить к защите

Зав. кафедрой  ___________

_______РабдановаВ.В

	Численное интегрирование и
	дифференцирование функций.
	Решение дифференциальных уравнений

 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

Пояснительная записка

БФ ФГОБУ СибГУТИ 230100.000 ПЗ

Руководитель     /Белоусова М.В./

Студент             /Плотников Г.П./

 

 

Факультет информационных технологий и экономики

Группа                 И- 111

 

 

2013г.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

2

КР.230100.02.ПЗ

 Разраб.

 

 Провер.

 

 Реценз.

 

 

 Н. Контр.

 

 Утв.

 

 

 

Лит.

Листов

27

 

 

БФ ГОУ ВПО 

 

 

 

УТИ

 

Оглавление

Введение 3

Теоретическая часть 4

1. Численные методы интегрирования функций 4

1.2   Формула Ньютона – Котеса: метод трапеций. 5

1.3   Формула Ньютона – Котеса: метод Симпсона. 6

1.4   Метод Лежандра – Гаусса. 7

1.5   Метод Монте-Карло. 8

2. Численные методы дифференцирования функций 9

2.1   Интерполяционная формула Ньютона 10

3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 11

3.1   Метод Эйлера 11

3.2   Методы Рунге-Кутты 12

Практическая часть 14

Заключение 21

Список использованных источников 22

Приложение А 23

Приложение Б 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

3

 

 

КП.230100. 08 .ПЗ

Появление и непрерывное  совершенствование быстродействующих  электронных вычислительных машин привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно  говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных  процессов, допускающих математическое описание, - вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной  математики - вычислительной математики.

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью.

Целью курсовой работы является разработка программ:

1. Численных методов интегрирования функции;
2. Численных методов дифференцирования функции;
3. Численных методов решения дифференциального уравнения;

Для достижения данной цели есть необходимость выделить следующие  основные задачи:

1. Практически закрепить и повторить знания основ языка C++Builder 6, для успешного программирования;
2. Повторить теоретический материал по численным методам;
3. Написать программы численных методов соответственно заданию;
4. Сравнить методы и сделать выводы по проделанной работе.

Теоретическая часть

Погрешность –  это разность между истинной величиной  и величиной, найденной при вычислении. Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

4

 

КП.230100. 08 .ПЗ

 

При численном решении  математических и прикладных задач  почти неизбежно появление на том или ином этапе погрешностей. Погрешностью называют отклонение приближенного решения от истинного решения. Различают следующие типы погрешностей.

1. Неустранимая погрешность. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а также ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные величины (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность математической модели следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

2. Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например линейных, моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня.

3. Вычислительная погрешность (погрешность действий). Этот тип погрешности обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники (если, разумеется, не используются специальные программные средства, реализующие, например, арифметику рациональных чисел), т.е. вычислительная погрешность обусловлена округлениями.

1. Численные методы интегрирования функций

Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной

 

В качестве приближенного  значения площади каждой полоски принимается площадь прямоугольника, ширина которого равна h, а высота — значению функции y(x) на левом краю интервала. Локальная формула метода левых прямоугольников:

  , где    .

Общая формула метода левых  прямоугольников:

АнаИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

5

 

КП.230100. 08 .ПЗ

логично строятся формулы правых и центральных (средних) прямоугольников:

 

 

Приведенные формулы представляют собой частные примеры квадратурных формул.

Погрешность метода левых  прямоугольников

Локальная погрешность:

 

Общую погрешность получим, суммируя погрешности на каждом шаге,

 

Таков же порядок погрешности (E ∼ h) и в методе правых прямоугольников, а вот в методе центральных прямоугольников E ∼ h².

Недостатки метода:

• Высокая погрешность; для  достижения высокой точности расчета приходится сильно ”мельчить” шаг интегрирования, что приводит к сильному увеличению временных затрат.

1.2   Формула Ньютона – Котеса: метод трапеций.

Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной

 

В качестве площади i-ой полоски s_i принимается площадь трапеции, определяемой значениями под интегральной функции y(x) на краях интервала (x_i , x_i+1).

Локальная формула метода трапеций:

 

Суммирование площадей всех трапеций дает общую формулу

 

Эта формула является первой из формул Ньютона – Котеса.

Погрешность метода трапеций.

Аппроксимируем значение y_i+1 в локальной формуле тейлоровским рядом в i-ой точке

 

Подставляя это, для площади  s_i получаем

 

что до членов ∼ h² совпадает со строгим тейлоровским разложением. Следовательно, погрешность в методе трапеций

,                E ∼ h²

По точностИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

6

 

КП.230100. 08 .ПЗ

и расчета метод трапеций эквивалентен методу центральных прямоугольников.

Недостатки метода:

Высокая погрешность: для достижения высокой точности расчета приходится сильно ”мельчить” шаг интегрирования, что приводит к сильному увеличению временных затрат.

1.3   Формула Ньютона – Котеса: метод Симпсона.

Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной

 

Для приближенной оценки площади  i-ой полоски s_i под интегральная функция y(x) на интервале (x_i, x_i+1) аппроксимируется полиномом второй степени.

Локальная формула метода Симпсона:

 

Общая формула метода Симпсона

 

Формула Симпсона является второй из семейства формул Ньютона  – Котеса.

Погрешность формулы Симпсона.  E ∼ h⁴

Характерные свойства формулы Симпсона (ее незначительное усложнение по сравнению с методом трапеций или прямоугольников и, в то же время, значительное повышение точности расчета) делают формулу Симпсона самым распИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

7

 

КП.230100. 08 .ПЗ

ространенным методом численного интегрирования.

1.4   Метод Лежандра – Гаусса.

Для численной оценки интеграла: , интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h = (b−a)/n. Для приближенной оценки площади i-ой полоски s_i строится квадратурная формула (от интервала (x_i, x_i+1) удобно перейти к (−1,+1))

 

в которой свободными параметрами  являются координаты x_j и весовые множители c_j.Требуется, чтобы квадратурная формула точно интегрировала любой полином степени 2m −1:

 

 

Произвольный полином  Q_2m−1(x) всегда может быть представлен в виде

 

где P_m(x) — полином Лежандра степени m. В качестве m узлов квадратурной формулы используются m действительных корней полинома Лежандра P_m(x). Используя известные свойства данных полиномов можно показать, что условие, определяющее квадратурную формулу, сводится к соотношению

 

которое дает m уравнений для определения m оставшихся неизвестных — весовых коэффициентов c_j. Относительно весовых коэффициентов при заданных числах x_i это — система линейных алгебраических уравнений, решение которой существует для любых m.

При m = 2 :

В случае двух узлов методы Лежандра–Гаусса и Чебышева тождественны.

При m = 3 :

И т.д. Для m-точечного метода Гаусса:

 

Достоинства метода:

Точно проинтегрировать полином степени (2m − 1) — это максимум, чего можно достичИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

8

 

КП.230100. 08 .ПЗ

ь, используя информацию о m узлах под интегральной функции. Поэтому метод Лежандра – Гаусса называют методом наивысшей алгебраической точности.

1.5   Метод Монте-Карло.

Требуется вычислить интеграл:

 

Пусть на интервале (a, b) задана последовательность случайных чисел {x_i} с законом распределения вероятностей f(x). Если подвергнуть эту последовательность функциональной обработке y_i=y(x_i), то математическое ожидание величины y дается соотношениями

 

Чтобы получить исходный интеграл, достаточно рассмотреть математическое ожидание величины y/f

 

В простейшем случае используется равномерный закон распределения  f(x) = const, и функция распределения нормируется на единицу

 

Это дает

 

Погрешность определяется объемом  выборки {x_i} и согласно статистическому анализу

 

Достоинства метода:

Возможность остановить вычисления при любом значении n.

Оказывается предпочтительным перед другими методами при вычислении многократных интегралов, особенно при  наличии сложной области интегрирования.

Недостатки метода:

Крайне низкая скорость уменьшения погрешности.

2. Численные методы дифференцирования функций