Шпаргалка по "Высшей Математика"

1.Понятие множества.

Множества – совокупность различных объектов. (А, В, С…)

Элементы множества – объекты, из которых состоят множества. (а, b, с) Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым. (Ø)

А= {1, 2, 3,4}   1єА - 1) 1 принадлежит мн. А, 2) 1 явл-ся эл-том мн.А, 3) мн. А содержит 1.6¢А

N – натуральные [1;+∞)

Z – целые(-∞; 0 ];[0;+∞)

Q – рациональные

R – действительные(- ∞; +∞)

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные – те мн, которые состоят из конечного числа эл-тов; бесконечные – из бесконечного.

Способы задания множеств.

1/Перечисление эт-тов.  А = {2, 4, 6, 8}

2Характеристическое св-во ( св-во, которым обладает эл-т, принадлежащий мн-ву и не обладает ни один эл-т, который этому мн-ву не принадлежит)

А = {a│а є N, a = 2n, nєN, a ˂10}

3 Графовый (окружность, а в ней точки с названием эл-тов)

4 ГрафическийА  2       4       6        8

5 Табличный

Отношения между множествами

1.А= {a,b,c,d}

B = {b,c,d,e,f}

Если мн-ва А и В содержат общие эл-ты, то они пересекаются. А ∩В = {b,c,d} Если мн-ва не имеют общих эт-тов, то говорят, что они не пересекаются. А∩В = Ø

2.А = {a,b,c,d}

B = {b,c,d}, A∩B = {b,c,d}=B Мн-во В явл-ся подмножеством мн-ва А, если каждый эл-т мн-ва В явл-ся также эл-том мн-ва А. ВсА

3.А = {a,b,c,d}

B = {b,a,c,d}         AcB, BcA│=˃A=B

Мн-ва А и В называют равными, если мн-во А явл-ся подмн-вом мн-ва В, а мн-во В явл-ся подмн-вом мн-ва А(эл-ты совпадают)

Пересечение мн-в А и В – мн-во, содержащее все эл-ты, которые принадлежат мн-ву А и мн-ву В. А∩В= {x│xєA и xєB}

Объединение мн-в А и В – мн-во, содержащее все эл-ты, которые принадлежат мн-ву А или мн-ву В. AuB= {x│xєA или xєB}

Св-ва пересечения и объединения мн-в: коммутативное, ассоциативное, дистрибутивное(пересечение дистрибутивно отн-но объединения, объединение дистрибутивно отн-но пересечения)

Разностью мн-в А и В называется мн-во, содержащее все эл-ты, которые принадлежат мн-ву А и не принадлежат мн-ву В.   А\ В. хєА\B ˂=˃ xєA, x¢B. А=В, А\В=Ø.

Свойства разности:

1)                     A\B\C = A\C\B

2)                     (AuB)\C = (A\C)u(A\B)

3)                     (A\B)uC = AuC\BuC

4)                     A\(BuC) = (A\B) ∩(A\C)

5)                     A\(B∩C = (A\B)u(A\C)

Соответствием между мн-вами Х и Y называется всякое подмн-во декартова произведения Х на Y. Обозначаются заглавными латинскими бкувами (R, S, Q…)  R=X×Y, X={1,2}, Y={3,4,5}, R:X˂Y, R={(1;3),(1;4),(1;5),(2;3),(2;4),(2;5)}

Способы задания соответствий:

1.                     Перечисление

2.                     Характеристическое св-во

3.                     Графовый

4.                     Графический

5.                     Табличный

Отношения на множестве. В матем рассматривают отн-ния между эл-тами одного мн-ва. Если рассматривают отн-ния между 2мя эл-тами, то такие отн-ния называются бинарными, между 3мя – тернарные, между n эл-тами – n-арные.

X={2,4,6,8}, R: “x˂y” A={(2;4),(2;6),(2;8),(4;6),(4;8),(6;8)}

Бинарные отн-ния на мн-ве – всякое подмн-во декартова произведения х×х.  (R=x×x)

Отн-ния обозначаются заглавными лат. буквами (R,S,T)

Утверждение о том, что эл-ты x и y нах-ся в отн-нии R можно записать так: (x;y)cR

xRy – эл-т  x находится в отн-нии  R с эл-том y.

Способы задания отн-ний: перчисление, хар. св-во, графовый, графический(график – система точек), табличный.

Св-ва отн-ний:

1.Св-во рефлексивности(отн-ние R на мн-ве Х наз-ся рефлексивным, если о каждом эл-те мн-ва Х можно сказать, что он нах-ся в отн-нии R с самим собой. xR(¥x))

2.Симметричность(если выполняются условие: если из того, что эл-т  х нах-ся в отн-нии R с эл-том у следует, что и эл-т у нах-ся в отн-нии R с эл-том х)

3.Антисимметричность(если для различных эл-тов х и у из мн-ва Х выполняется условие: из того, что xRy не следует, что yRx.

4.Транзитивность(если вып-ся условие: из того, что xRy, а уRz следует, что xRz(правило треугольника)

5.Связанность(из того, что х и у различны следует, что либо xRy, либо yRx.

4.Свойства и правила сложения и вычитания целых неотрицательных чисел.

Законы сложения:

1.    Коммутативный

   а + b = b + а  (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

2. Ассоциативный

   (а + b) + с =  а + (b + с)   (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

Правила вычитания:

1. Числа из суммы.

Теорема. Пусть а, Ь и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + Ь) - с = (а - с) + Ь.

б) Если Ь > с, то (а + Ь) - с = а + (Ь - с).

в) Если а > с и Ь > с, то можно использовать любую из данных формул (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов).

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полу­ченному результату прибавить другое слагаемое.

2. Суммы из числа.

Теорема. Пусть а, Ь и с - натуральные числа. Если а > Ь + с, то

а - (Ь + с) = (а - Ь) - с или а - (Ь + с) = (а - с) - Ь. (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов).

Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа по­следовательно каждое слагаемое одно за другим.

Все величины представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому св-ву, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения. Величины, ктр выражают одно и то же св-во объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Основные положения, связанные с однородными величинами:

1.                     Для величин одного рода имеют место отн-ния «равно», «меньше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отн-ний: А˂В, А˃В, А=В.

2.                     Отн-ние «меньше» для однородных величин транзитивно. Если А˂В и В˂С, то А˂С

3.                     Величины одного рода можно складывать, в рез-то сложения получается величина того же рода. Для любых величин А и В однозначно опр-ся вел-на С=А+В, которая наз-ся суммой величин.

4.                     Величины одного рода можно вычитать, получая в рез-те величину того же рода. Разностью величин А и В наз-ся такая вел-на С=А-В, что А=В+С, А˃В.

5.                     Вел-ну можно умножать на положительное действительное число, в рез-те получают вел-ну того же рода. Для любой вел-ны А и любого хєQ+,сущ-ет единственная величина В=х×А, которую наз-ют произведением А на х.

6.                     Величины одного рода можно делить, получая в рез-те число. Частным А и В наз-ся такое полож действит число х=А:В, что А=х×В.

Измерить величину – значит найти такое положительное действительное число х, что А=х×Е, х – численное значание величины А. Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере длины отрезка. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2,…, хn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя могут иметь общие концы. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен ед.отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е. Натуральное число как рез-тат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. 1) при переходе к другой ед-це длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. 2) если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у – из b отрезков, равных е, то а=b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Методика изучения величин в начальной школе. Осн.цель изучения вел-н – осуществление связи обучения мат-ке с реальной жизнью а процессе изучения величин. Задачи изучения величин:

1.                     Выявить представление ребенка об основных величинах(длина, емкость/объем, масса, время, площадь)

2.                     Сформировать навыки сравнения однородных величин

3.                     Сформировать навыки измерения каждой из основных величин, научить пользоваться измерит. прибором

4.                     Добиваться понимания детьми принципа построения систем мер для каждой из осн-ных величин

5.                     Сформировать навыки работы с числ.значениями вел-н в данной системе мер:

а) научить переводить знач-я вел-н из одних ед-ц в другие;

б) научить выполнять разл. случаи слож. и вычит. вел-н;

в) научить вып-ть умнож. и деление вел-н на число.

Изучение вел-н не выд-ся в отдельный раздел, а органично вкл-ся в изучение нумерации и изучение А.Д. Как правило, новые ед-цы измерения той или иной вел-ны вводятся вслед за введением соответствующей счетной ед-цы. Выд-ют основные и производные вел-ны. К осн. относят массу, время, объем(емкость), длину и площадь. К производным: скорость, цена, производительность, выработка за ед.времени и т.д.

Этапы изучения величин в н.ш.(Истомина Н.Б.):

1.                     Выявление предст-ния уч-ся о данной вел-не и введение соотв-щего термина;

2.                     Сравнение однородных вел-н;

3.                     Знак-во с новой ед-цей измерения данной вел-ны и измерит. прибором;

4.                     Форм-е измерит. умений и навыков;

5.                     Слож-е и вычит-е однородных вел-н, выраженных в ед-цах одного наименования;

6.                     Знак-во с новыми ед-ми измерения вел-ны а тесной связи с нумерацией, перевод одних ед-ц измерения в др;

7.                     Слож-е и вычит-е вел-н, выраженных в ед=цах 2х наименований;

8.                     Умнож-е и деление вел-ны на число.

6.   Системы счисления.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от  места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чи­сел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде:              x = аn · 10 n + аn-1 · 10 n -1... + а1· 10+ а0, где коэффициенты  аn, аn-1,…, а1, а0 принимают значения 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 и     аn≠0.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

x = аn · 10 n + аn-1 · 10 n -1... + а1· 10+ а0

y = bm · 10 m +b m-1 · 10 m -1... + b 1· 10+ b 0

Тогда число х меньше числа   y, если выполнено одно из условий:

а)  п < т;

б) п = т,но ап <bm ;

в)  п = т, ап =bm ;  аk =bk,но аk-1 <bk-1

Раскрыть разряды, классы, названия чисел в десятичной системе.

Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде: x = аn · p n + аn-1 · p n -1... + а1· 10+ а0, где коэффициенты аn, аn-1,…, а1, а0 принимают значения 0, 1, 2,..., р — 1 и аn≠0.

Переход от записи чисел в одной системе к записи в другой.

Действия над числами в позиционных системах счисления, отлич­ных от десятичной, выполняются по правилам, приня­тым в десятичной системе счисления.

Из курса математики известно, что системой счисления на­зывают язык для наименования чисел, их записи и выполнения действий над ними. Различают позиционные и непозиционные сис­темы счисления. В позиционных системах один и тот же знак (из принятых в данной системе) может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в запи­си числа.

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6. 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа 3 . 103 + 7 . 102 + 4 . 10 + 5.

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = аn . 10 n +a n-1 . 10 n-1 + … + a 1 . 10 + a 0 , где коэффициенты аn, a n-1 ... a 1 a 0, an принимают значения 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6. 7, 8, 9 и а n = 0.

Сумму аn . 10 n +a n-1 . 10 n-1 + … + a 1 . 10 + a 0 в краткой форме принято записывать так: аn a n-1 ... a 1 a 0

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существо­вание и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:
х = аn . 10 n +a n-1 . 10 n-1 + … + a 1 . 10 + a 0     (1)

где аn, a n-1 ... a 1 a 0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и такая запись единственна.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = аn . 10 n +a n-1 . 10 n-1 + … + a 1 . 10 + a 0

у = bm . 10 m +b m-1 . 10 m-1 + … + b 1 . 10 + b 0

Тогда число х меньше числа у,  если выполнено одно из условий:

а)              n<m; б)              n=m, но an < bn; в)              n=m, an =bn , …,ak = bk, но ак-1   < bk-1.

Доказательство. В случае а) имеем: так как n < m, то 10n+1     < 10m, а поскольку x < 10n+1  и 10m < y, то x < 10n+1   < 10m < у, т.е. х < у.

В случае б): если n = m, но an < bn , то аn + 1 < bn и потому (аn + 1) .10 < b n .10n . А так как x < (аn + 1).10n и bn . 10n < y, то x < (an + 1) .10n <  bn . 10n  < у, т.е. x < у.

Если натуральное число х представлено в виде x= аn . 10 n +a n-1 . 10 n-1 + … + a 1 . 10 + a 0, то числа 1, 10, 10 , .... 10 называются разрядными  единицами соответственно первого, второго, .... n + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следую­щего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 -основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и на­зывают первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют вто­рой класс - класс тысяч. В пего входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллио­нов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

Десятичная   система   счисления   основана   на   образовании   из 10 простых счетных единиц новой составной счетной единицы — десятка, из 10 десятков новой составной счетной единицы — сотни и т. д., причем счет предметов, сгруппированных по 10, а затем по 100 и т. д., ведется при помощи составных счетных единиц так же, как и при помощи простых счетных единиц

Нумерация чисел в пределах 100 и четыре арифметических действия над ними выделяются в особый концентр по следую­щим причинам.

Здесь учащиеся знакомятся с повой счетной единицей — десятком и с важнейшим понятием десятичной системы счисле­

ния—понятием разряда. Усвоение принципов образования, называния и записи двухзначных чисел — основа для усвоения устной и письменной нумерации чисел за пределами сотни.

Задача учителя при изучении этой темы — научить детей считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа на ос­нове твердого знания о том, что единицы пишутся на первом, а десятки — на втором месте, считая справа налево. Необхо­димо также добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двухзначное число. Учитывая особенности в образовании числительных, обозна­чающих в русском языке числа 11—20, по сравнению с названия­ми чисел от 21 до 100, эти случаи рассматриваются раздельно.

Такой порядок изучения обусловлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30, ..., 90). Однако слова «два», «три», «пять> и т. д. в числительных две-на-дцать, три-на-дцать и т. д. обозначают число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т. д. обозначают число десятков (исключение составляют числительные «сорок» и «девяносто»). Кроме того, при написании только чисел второго десятка порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи не совпадает: сначала назы­ваются единицы (три-на-дцать), а пишется первым десяток (13), в то время как во всех остальных случаях чтение и запись раз­рядных чисел совпадают (23, 145, 1972 и т. п.). Эти особенности нумерации требуют того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно. Но вместе с тем нумерация двузначных чисел до 20 и свыше 20 принципиально сходна: устная и пись­менная нумерация этих чисел опирается на десятичную группировку единиц при счете и на принцип поместного значения цифр при записи чисел, поэтому изучение нумерации подготавливает детей к изучению чисел от 20 до 100.

Изучение нумерации чисел в пределах 100 идет в таком же плане, как и в пределах 20: сначала изучается уст­ная, затем письменная нумерация.

На основе счета десятков (I дес, 2 дес, 3 дес. и т. д.) рас­крывается образование и название чисел 20, 30 и т. д., а затем на основе счета десятков и единиц образование и название чи­сел вида 25, 37 (4 дес. 5 ед.—это 45 и т. п.).

Усвоению десятичного состава чисел способствуют упражне­ния в образовании и разложении чисел. (Какое число состав­ляют 5 дес, 7 ед.? Сколько десятков и единиц в числе 62? И т. п.) С этой же целью рассматривается сложение и вычита­ние вида: 70+5, 8 + 20, 34—4, 48—40. Приемы вычислений здесь те же самые, что и для аналогичных случаев в пределах 20, и методика работы сходна.

Как и при изучении нумерации чисел второго десятка одно­временно с нумерацией отвлеченных чисел рассматривается измерение величин, сравнение значений величин, замена крупных единиц мелкими и  мелких  крупными.

Одновременно с десятичным составом рассматривается на­туральное следование чисел первой сотни. Для этого включа­ются упражнения в счете предметов, в присчитывании по одно­му и по десять с опорой на наглядное пособие — «ленту ста». Применяются знания о натуральной последовательности чисел при выполнении таких упражнений: «Перед каким числом назы­вают при счете число 79? После какого числа при счете называют число 100? Между какими числами называют при счете число 50? Решите примеры: 89+1, 70—1. Решите задачу: «На лестничной площадке три квартиры. Номер одной из них 30. Какими могут быть номера у двух других квартир?»

При изучении письменной нумерации  чисел в пределах  100 опираются  на  умение учащихся записывать  числа  второго де­сятка, а также на знания десятичного состава чисел первой сот­ни.  Сначала  числа  иллюстрируют палочками  и  пучками  пало­чек   на   абаке,   после чего обозначают   число единиц   и   число десятков  разрезными  цифрами.  Рассмотрев таким образом  не­сколько чисел  (например, 16, 26, 66, 60 и др.), учащиеся делают вывод о том, что в двузначном числе единицы пишутся на пер­вом   месте,  а десятки — на  втором,  считая  справа  налево.  Ус­ваивается этот  вывод  в  процессе  выполнения  таких  упражне­ний: «Объясните, что обозначает каждая цифра в записи чисел (77, 25, 52, 90 и т. п.), запишите с помощью данных цифр (на­пример, 5, 7,  1)   всевозможные двузначные числа   (при записи отдельных чисел можно использовать одну и ту же цифру дваж­ды)».

При изучении письменной нумерации учащиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. Учитель поясняет, что, например, в числе 57 содержится 5 десятков и 7 единиц или иначе можно сказать: 5 единиц второго разряда и 7 единиц первого разряда. Полезно при этом использовать наглядное по­собие— карточки с разрядными числами (рис. 14), которые имеются в приложении к учебнику математики 1 класса. Прак­тические действия с карточками помогают детям овладеть уме­нием представлять число в виде суммы разрядных слагаемых (48 = 40 + 8 и т. п.), что необходимо для выполнения действий над двузначными числами.

Выделение концентра «Тысяча» дает возможность не только закрепить все приобретенные ранее знания нумерации, но и по­знакомить детей с новой счетной единицей — сотней. При этом важно показать детям общий принцип образования новых счет­ных единиц: 10 единиц образуют новую единицу счета — десяток, а 10 десятков — новую счетную единицу — сотню. Уже здесь можно сказать детям, что и дальше, при образовании но­вых чисел, 10 единиц одного разряда (сотен) образуют единицу следующего разряда — тысячу. Таким образом подготавливается

почва для ознакомления детей с принципом десятичной системы

счисления, который выступит в еще более общей форме при рас­смотрении темы «Многозначные числа». Здесь новым будет ус­воение понятия класса, принципа устной и письменной нумера­ции чисел II и III классов.

Итак, выделение концентров в начальном курсе математики дает возможность неоднократно возвращаться к рассмотрению основных вопросов, связанных с особенностями десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации чисел, за­крепляя знания детей. Это, как было только что показано, Со­здает условия и для формирования соответствующих обобще­ний. Благодаря концентрическому построению программы воз­никает также возможность рассредоточить трудности, в связи с чем в процессе обучения можно значительно увеличить долю са­мостоятельного участия детей в рассмотрении тех вопросов нуме­рации,  которые  при  расширении  области   чисел  могут  быть ими усвоены на основе «переноса» приобретенных ранее зна­ний.

12. Законы и правила сложения и вычитания.

Действия сложения и вычитания рассматриваются с позиций 3 подходов:

1.                     Аксиоматический подход.

Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1)(Va  €  N) а + 1=а',

2)(Va, b € N) a+b'=(a+b)'.

Теорема. Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно (доказательство).

Вычитанием натуральных чисел а и Ь называется операция, удовлетворяющая условию: а  - Ь = с тогда и только тогда, когда Ь + с = а.

2. N число как мера величины.

Сумму натуральных чисел а и Ь можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и Ь.

а+ Ь = mЕ(У) + mЕ(Z) = mЕ(У + Z).

Разность натуральных чисел а и Ь можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z + у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна Ь.

а-Ь= mЕ(Х)-mЕ(Y) = mЕ(Х- Y).

3. Теоретико-множественный подход.

С теоретико-множествен­ных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что

а = п(А), Ь = п(В):

а + Ь =п(А)+ п(В) = п(А Ú В), если А ∩ В =Ø.

Теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а.

Свойства сложения: коммутативность, ассоциативность.

Выбор действия сложения в решении задач.

С теоретико-множествен­ных позиций разность натуральных чисел а и Ь представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = п(А), Ь = п(В) и В с А:

а -Ь= п(А) - п(В) = п(А\В), если В с А.

Теоретико-множественный смысл равенства а - 0 = а, а - а = 0

Правила вычитания: вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа.

Выбор действия вычитания в решении задач.

Методика изучения сложения и вычитания в начальном курсе математики.

Цель:  формирование осознанных и прочных, в некоторых случаях, доведенных до автоматизма вычислительных навыков сложения и вычитания.

Арифметические действия сложение и вычитание изучаются на протяжении всех лет обучения в начальной школе  и распределяются по концентрам.

Концентр «Десяток». На подготовительном этапе (при изучении нумерации) дети рассмотрели случаи       1, и умеют выполнять сложение и вычитание с числами первого пятка.

              В теме «Сложение и  вычитание в пределах 10» выделяют следующие вычислительные приемы:  

1. Прием прибавления или вычитания по частям - для случаев:  2,3,4

2. Прием, основанный на переместительном свойстве сложения  - для случаев:    + 5,6,7,8,9                                                                                                

3. Прием, основанный на взаимосвязи между компонентами и результатом действия – для случаев: - 5,6,7,8,9                                                                                               

Концентр «Сотня». Выделяют две части при изучении сложения и вычитания в концентре:

I часть. Сложение и вычитание в пределах 20. Сначала рассматривается табличное сложение (20 случаев) с использованием приема прибавления по частям, затем табличное вычитание (36 случаев), которое рассматривается  двумя способами: по частям и  на основе взаимосвязи между компонентами и результатом действий. Используя наборное полотно с двумя радами карманов по 10 в каждом и набор геометрических фигур, предлагается найти сумму или разность чисел, затем организуется работа по их запоминанию.

II часть. Сложение и вычитание в пределах 100. Выделяют устные и письменные вычислительные приемы.

Перед изучением устных приемов сложения и вычитания проводится подготовительная работа, включающая: повторение переместительного и сочетательного свойств сложения; замену двузначных чисел суммой разрядных слагаемых.

Последовательность в изучении случаев сложения и вычитания определяется количеством операций, входящих в вычислительный прием (сначала рассматриваются приемы, которые включают меньшее число операций, затем, приемы, включающие большее число операций). С целью сопоставления приемы сложения чередуются с аналогичными приемами вычитания: 36 + 2, 36 + 20 и 36 – 2, 36 – 20; 26 + 4, 30 – 7; 26 + 7, 37 – 7. Первоначально получение результата случаев сложения сопровождается предметными действиями (с пучками палочек  или другими моделями десятков и единиц), затем с опорой на иллюстрацию выполняют подробную запись с устным пояснением, после решения нескольких примеров делается вывод (единицы складываем с единицами, десятки – с десятками).  Рассмотрение соответствующих случаев вычитания сопровождается более самостоятельной работой детей, затем снова делают вывод (единицы вычитаем из единиц, десятки - из десятков).

Письменные приемы вычислений рассматривают на основе переноса знаний полученных  при знакомстве с устными вычислительными приемами. Последовательность их изучения

также определяется количеством операций, входящих в прием.

Концентр «Тысяча». При изучении устных приемов сложения и вычитания (так же как и письменных) в пределах 1000 следует обеспечить учащимся максимум самостоятельности. Выделяется следующая последовательность в работе:

1. Рассматриваются приемы сложения и вычитания, которые сводятся к действиям над сотнями и десятками.

160 – 80 = 80 потому, что 16 д. -  8 д. = 8 д.

300 + 500 = 900 потому, что 3 сот + 5 сот = 8сот и т. д.

2. На следующем уроке учитель должен показать, что при сложении и вычитании можно пользоваться различными приемами:

а) 310 + 600 = (300 + 600) + 10 = 910

б) 310 + 600 = (31 дес. + 60 дес.) + 1 дес. =  91 дес. Стр.55

3. Сложение и вычитание чисел с переходом через разряд (используют те же способы).

а) 360 + 60 = (360 + 40)+ 20 = 420

       40       20

           б) 36 дес. .+ 6 дес. = 42 дес.

4. В более сложных случаях  можно использовать либо поразрядное сложение и вычитание, либо сложение  и вычитание  второго числа по частям:

а) 360 + 450 = (300 + 400) + (60 + 50)

б) 360 + 450 = (360 + 400) +  50

Подобные вычисления позволяют закрепить знания по нумерации: чтение и запись чисел в пределах 1000, десятичный состав трехзначных чисел, замена мелких единиц крупными, а крупных мелкими.

Концентр «Многозначные числа»

Сложение и вычитание многозначных чисел изучается одновременно, что создает лучшие условия для овладения ЗУНами, т.к. вопросы теории этих действий взаимосвязаны.

Материал, с которым предстоит познакомиться детям, уже встречался в предыдущих концентрах, поэтому задачей учителя является организация учебной деятельности детей таким образом, чтобы обеспечить осознание преемственности данной темы с ранее изученным материалом (изучение темы начинается с того, что детям предлагается вывод о сходстве вычислительного приема с приемом сложения и вычитания 2,3-значных чисел). В связи с этим следует больше внимания уделять самостоятельной работе детей.

Последовательность в работе:

1)                     рациональные приемы сложения и вычитания на основе законов и свойств сложения и вычитания (2 + 96 + 98 + 904 = 2 + 98 + 96 + 904 = 100 + 1000 = 1100);

2)                     сложение и вычитание (письменный прием);

3)                     сложение и вычитание именованных чисел;

4)                     прием округления при устных вычислениях;

5)                     сложение нескольких слагаемых.

Методика изучения действий сложения и вычитания в н.ш.

Цель изучения А.Д. – формирование осознанных и прочных, в некоторых случаях доведенных до автоматизма, вычислит навыков.

Задачи:1) помочь детям осознать смысл каждого А.Д.; 2) способствовать открытию детьми законов и св-в А.Д.; 3) добиваться осознания детьми связи между компонентами А.Д.; 4) создавать условия для усвоения взаимосвязи между А.Д; 5) научить детей табличным случаям слож, вычит, умнож, деления; 6) планомерно формировать контрольно-оценочную сферу ребенка.

Изучение А.Д. начинается с первого класса и продолжается все 4 года по концентрам:

1.                     Концентр «десяток»(подгот этап – нумерация, 1 этап – прибавление и вычитание по частям □±2,3,4; 2 этап – переместительное св-во сложения □+5,6,7,8,9; 3 этап – взаимосвязь между компонентами и рез-том действия □-5,6,7,8,9.

2.                     Концентр «сотня» (1– табличное сложение (20 случаев); 2– табличное вычитание (36 случаев); 3– устное вычитание от 21 до 100; 4– письменные вычислит приемы. Работа основана на взаимосвязи сложения и вычитания. Все приемы изучаются параллельно в тесной связи.

3.                     Концентр «тысяча»( устные и письменные навыки)

4.                     Сложение и вычитание многозначных чисел.

    15. Система геометрических понятий, изучаемых в школе.

         Неопределяемые геометрические понятия: точка, прямая, плоскость.

Определяемые понятия:

Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки (виды, свойства).

Две прямые на плоскости называются параллель­ными, если они не пересекаются (признаки параллельности).

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом(свойства).

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соеди­няющих их отрезков(элементы треугольника, виды, свойства, признаки равенства).

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четы­рех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, при­чем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Параллелограммом называется четы­рехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (свойства).

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны(свойства).

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые(свойства).

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны(свойства).

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны(свойства).

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром (свойства окружности, вписанные в треугольник, описанные около треугольника).

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (свойства).

методика

Основное содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами).

На этой основе формируются, пространственные представления и воображения, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков.

Важнейшей задачей учителя является определение методики, раскрывающей содержание  геометрического  материала  на том  уровне,  который  должен  быть достигнут учащимися к моменту их перехода в 5-ый класс, а также ведущих направлений изучения этого материала.

Для формирования геометрических представлений работа должна проводиться следующим образом: свойства фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки; основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами.

Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от материала, цвета, положения, массы и т.п.).

В методике формирования геометрических представлений важно идти от «вещи» к фигуре (к ее образу), а также, наоборот - от образа фигуры к реальной вещи.

Это достигается систематическим использованием приема материализации геометрических образов. Например, прелая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представление о ней дает и край - ребро линейки, натянутая нить, линия сгиба листа бумаги. Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями. Так, например, можно видоизменить способ деления многоугольника отрезком на части. Вначале это может быть перегибание бумажного многоугольника. Этот опыт полезно продолжить, разрезав многоугольник по линии сгиба на два многоугольника. Несколько позже эту же задачу полезно решить на чертеже, вначале путем непосредственного проведения отрезка, а затем прикладыванием указки.

В первом классе в основном завершается первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями. Это делается на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображением фигур. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема их анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры.

Значительное место в методике должно отводиться применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В 1 классе это позволит из множества фигур наглядно (без помощи определений) выделять множество многоугольников, множество линий и т.д.; во 2-ом и в 3-ем классах - уточнять свойства фигур, классифицировать их. Больше внимания следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских фигур (круг - многоугольник, окружность - круг и т.д.); плоских и пространственных фигур (квадрат - куб, круг - шар и пр.).(

Причем эта работа должна проходить не только на уроках математики, но и на уроках труда и особенно рисования, когда воспроизведение формы предмета зависит от качества и глубины анализа его геометрической формы. Например, при наблюдении куба следует найти в нем характерные точки, отрезки, многоугольники; при наблюдении шара, можно обратить внимание на его круглые сечения.

Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометрическими фигурами в 1-ом классе дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей методику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе которого выделяются ее существенные свойства и несущественные. Так, например, существенным для треугольника будет не его положение на плоскости, не относительные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин); для прямоугольника существенно то, что он четырехугольник и все его углы прямые, все остальное не существенно.

В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2-ом классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК < 5 см говорит учащимся о том, что отрезок ОК - любой отрезок, имеющий длину, меньшую, чем 5 см.              .

В 1-ом классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для пересчитывания. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например, вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков. Это позволяет установить связь между отрезками и числами. Во 2-ом классе устанавливается прямая связь между отрезками и числами.

Геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связывать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом, включенным в курс математики для 1-3-х классов.

Уже в 1-4-м классах выполняются простейшие классификации углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и т.д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий.

Это дает возможность построит методику ознакомления с прямоугольниками таким образом, что в дальнейшем ученики усваивают, что любой квадрат, есть прямоугольник.

Использование упражнений, в которых дети отмечают точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это позволяет более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получение фигуры из других.

Важной общей методологической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является, таким образом, неявная опора на теоретико-множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств.

Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей, материальных моделей геометрических образов. В 1-ом классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами «выше», «справа», «слева» и т.д. Во 2-ом и 3-м классах характер работы по формированию представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую. Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике

Результатом обучения в 1-3-м классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений.

В 1-м классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейки. При этом детям предъявляются не меньшие требования, чем это обычно делается.

Во 2-м и 3-м классах в практику измерений и построений постепенно вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль-измеритель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы.

Работа по формированию навыков должна проводиться распределенно и постепенно почти на каждом уроке. Это создает условия для более частого применения этих навыков в учебной и практической деятельности, обеспечивает необходимую их прочность.

2.Математич. понятия.

Свойства объектов: существенные(которые присущи предмету, без которого он не может существовать) и несущественные(отсутствие которых не влияет на существование объекта)Если знать существенное св-во объекта, то можно понять, что представляет из себя объект, в этом случае говорят, что это понятие. Объем понятия – совокупность всех объектов, обозначаемых одним термином. Взаимосвязь объема и содержания: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание и наоборот. Понятия обозначаются строчными буквами, а объемы – заглавными. Определение - логическая операция, раскрывающая содержание понятия, предложение, разъясняющее суть нового термина(или обозначения).Определения бывают: явные(имеют форму равенства, совпадения двух понятий) и неявные(не имеют формы совпадения двух понятий).Неявные делятся: контекстуальные(содержание нового понятия раскрывается через отрезок текста, через контекст) остенсивные(используются для введения терминов путем демонстрации объектов, путем показа) Явные определения состоят из определяемого и определяющего понятий. Определяемое= родовое + видовое отличие = определяющее.

1.Опр-мое = определение через род и вид(напр, четырехугольник – геом.фигура, ктр состоит из 4 точек, не лежащих на одной прямой и 4 последовательно соед-щих их отрезков)

2.Гинетические определения – опр-е, где после родового понятия указан способ построения математического объекта.(напр, арифм.прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом)

3.Индуктивные(рекуррентные) – опр-я, где после родового понятия идет указание способа получения составляющей части математического объекта.

Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Число 11 – четное – ложное высказывание, А – «л». Высказывание принято обозначать заглавными лат. буквами. Высказывательной формой(предикатом), заданным на мн-ве Х, наз-ся предложение с переменной, к-я обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из мн-ва Х. По числу переменных различают одноместные, двухместные и т.д. предикаты. В предикате переменные могут содержаться неявно.(напр, число четное, прямы пересекаются) Задание предиката предполагает задание мн-ва, из к-го выбирается значение переменной, входящей в высказывательную форму. Это мн-во называется областью определения предиката. Мн-во значений переменной, к-е обращают предикат в истинное высказывание, наз-ся мн-вом истинности предиката.Отрицанием высказывания А наз-ся высказывание А, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А ложно. Для того, чтобы построить отрицание конъюнкции(дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и»(«или») заменить союзом «или»(«и»). Для того, чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно заменить его квантором существования(общности) и построить отрицание предложении, стоящего после квантора. Отрицание высказывательных форм. Пусть на мн-ве Х задана выск.форма А(х), ее отрицание обозначим А(х) Предложение А(х) будет обращаться в истинное выск-е лишь при тех значениях х из мн-ва Х, при которых А(х) – ложно. Т.о, ТА=Т’А , где ТА - мн-во истинности предложения А(х), а Т’А – дополнение мн-ва ТА до мн-ва Х. Отн-ние следования. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всехтех значениях х, при которых А(х) истинна. А(х) =˃В(х), прочитать можно по-разному:1) из А(х) следует В(х)  2) всякое А(х) есть В(х)  3)если А(х), то В(х)  4) В(х) есть следствие А(х)  5) А(х) есть достаточное условие для В(х)  6) В(х) есть необходимое условие для А(х). Отн-ние равносильности. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х). А(х)˂=˃В(х), прочитать можно так: 1) А(х) равносильно В(х)  2) А(х) тогда и только тогда, когда В(х)  3) А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х)  4) В(х) необходимое и достаточное условие для А(х). Строение теорем. Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). Теореме – высказывание вида А=˃В, где А и В – выск.формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а В – заключением. Математические доказательства. В логике чаще используется термин «умозаключение» нежели «рассуждение». Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение. Умозаключения бывают:

1.Дедуктивное (в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования).

2.Неполная индукция (в котором на основании того. Что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса).(можно прийти к ложному умозаключению)

5.   Расширение понятия числа. Понятие дроби.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина

отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа т и п - натуральные, т называется чис­лителем, п - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности (доказательство)

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+.

Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b -  другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда mq=np.

Арифметические действия с по­ложительными рациональными числами(доказательство свойств и правил).

Свойства Q+

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядо­ченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и

(т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т < р.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и  (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и толь­ко в том случае, когда mq < пр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наимень­шего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заклю­чено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство назы­вают свойством плотности множества Q+.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наиболь­шего числа.

Десятичной называется дробь вида , где m и n - натуральные числа.

Простота сравнения и выполнения действий над десятичными

дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаме­нателя п на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Бесконечные периодические десятичные дроби.

Методика изучения дробей.

Цель – подготовить уч-ся к изучению дробей в ср.звене школы. Задачи:

1.                   Научить образовывать доли практически;

2.                   Упражнять детей в названии долей вел-ны;

3.                   Научить решать простые задачи с долями вел-ны;

4.                   Упражнять детей в сравнении долей вел-ны.

Данная тема сод-ся во программах нач курса мат-ки, однако объем изучаемых понятий существенно отл-ся. В ТС (Бантова, Гильтюкова, Моро) дети получают доли практ СП-бом, называют, сравнивают их, решают прост задачи на нахождение доли от числа и числа по его доли и сост задачи на нахождние неск долей целой вел-ны. От детей не треб-ся знание терминов (числитель, знаменатель, дробная черта), они не выполняют записи долей. В системе РО ( Занков, Аргинская, Александрова, Эльконин-Давыдов, Петерсон) дети знак-ся не только с долями, но и с дробями, не только сравнивают, но и вып-ют А.Д. над ними. Но если учитель ТС хочет глубже ознакомить детей с темой, он может обратиться к приложению учебника «Доли».

Метод. особ-ти изучения темы. Доли – это начальный (предметный) уровень к усвоению понятия дробь. Получают путем деления реальных предметов на части. Дробь – число, обозначающее часть. Этапы:

1.                   Ознакомление с долями вел-ны;

1)                   П/р, осуществляемая по рук-вом учителя, связанная с получением долей

2)                   Упражнение детей в названии долей;

3)                   Сравнение долей одной и той же величены

2.                   Решение простых и сост задач, связанных с долями величины

1)                   С помощью наглядности (нах-е доли от числа, числа по его доли)

2)                   На нах-е неск долей целой вел-ны.

7.                   Отношения «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел. Отношения «больше на» и «меньше на». Методика изучения простых задач, раскрывающих понятие разности и разностного отношения.

Методика изучения простых задач, раскрывающих понятие разности и разностного отн-ния.

В классификации простых задач, представленной авторами ТС обуч-я (Моро, Пышкало, Бантова), задачи на разностное сравнение выделены в 3ю группу(задачи на разностное и кратное сравнение). На разностное сравнение вкл в себя:

- уменьшение(увеличение) на неск ед-ц с одним мн-вом предметов (напр, У Миши 3 машинки, ему подарили еще 2. Сколько у него теперь машинок?)

- уменьшение(увеличение) на неск ед-ц с двумя мн-вами предметов(напр, У Маши 2 куклы, а у Наташи на 4 больше, сколько у Наташи?)

- уменьшение(увеличение) на неск ед-ц, выраженное в косв форме(напр, В соседнем доме 15 этажей, он на 3 этажа выше нашего. Сколько этажей в нашем доме?)

В классификации, представленной авторами РО(Истомина, Эльконин-Давыдов, Аргинская) задачи на разностное сравнение выделены в отдельную группу. В отн-ниях участвуют величины: большая величина, меньшая величина, разность:

- Р+М.В=Б.В

- Б.В-Р=М.В

      - Б.В-М.В=Р

Этапы решения: 1) анализ задачи;2) поиск плана решения (аналитический способ и синтетический способ)3) осуществление составленного плана 4) работа над задачей после ее решения. Подгот.работа  - рассмотрение картинки, рассуждение, составление задачи, формулировка вопроса.

10. Определение суммы и разности.

Действия сложения и вычитания рассматриваются с позиций 3 подходов:

2.                   Аксиоматический подход.

Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1)(Va  €  N) а + 1=а',

2)(Va, b € N) a+b'=(a+b)'.

Теорема. Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно (доказательство).

Вычитанием натуральных чисел а и Ь называется операция, удовлетворяющая условию: а  - Ь = с тогда и только тогда, когда Ь + с = а.

2. N число как мера величины.

Сумму натуральных чисел а и Ь можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и Ь.

а+ Ь = mЕ(У) + mЕ(Z) = mЕ(У + Z).

Разность натуральных чисел а и Ь можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z + у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна Ь.

а-Ь= mЕ(Х)-mЕ(Y) = mЕ(Х- Y).

3. Теоретико-множественный подход.

С теоретико-множествен­ных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что

а = п(А), Ь = п(В):

а + Ь =п(А)+ п(В) = п(А Ú В), если А ∩ В =Ø.

Теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а.

Свойства сложения: коммутативность, ассоциативность.

Выбор действия сложения в решении задач.

С теоретико-множествен­ных позиций разность натуральных чисел а и Ь представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = п(А), Ь = п(В) и В с А:

а -Ь= п(А) - п(В) = п(А\В), если В с А.

Теоретико-множественный смысл равенства а - 0 = а, а - а = 0

Правила вычитания: вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа.

Выбор действия вычитания в решении задач.

Методика работы над задачами, раскрывающими конкретный смысл слож и вычит, связь между компонентами и рез-том действий слож и вычит.

В классификации простых задач, представленной авторами ТС обуч-я(Моро, Пышкало, Бантова) первую группу составляют задачи на раскрытие смысла А.Д.:

- нахождение суммы;

- нахождение разности;

(- нахождение произведения;

- деление по содержанию;

- деление на равные части.)

Во вторую группу входят задачи на взаимосвязь между компонентами и рез-том действия:

- нах-е 1го(2го) слагаемого;

- нах-е уменьшаемого (напр, На стоянке было неск-ко машин. Вечером уехало 4, осталось 3. Сколько было утром?)

- нах-е вычитаемого (напр, В гараже было 7 машин, несколько уехало, осталось 4. Сколько уехало?)

В классификации простых задач, представленной авторами системы РО (Истомина, Эльконин-Давыдов, Аргинская), в первую группу входят задачи, в отношениях которых участвуют величины: часть, часть, целое:

- Ч+Ч=Ц

- Ц-Ч=Ч

- Ц-Ч=Ч

Этапы решения: 1) анализ задачи;2) поиск плана решения (аналитический способ и синтетический способ)3) осуществление составленного плана 4) работа над задачей после ее решения. Подгот.работа  - рассмотрение картинки, рассуждение, составление задачи, формулировка вопроса.

11.Определение произведения и частного.

Действие умножения рассматривается с позиций 3 подходов:

1. Аксиоматический подход.

Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1)(V a N) a·l = a;

2)(V a, b N) a·b' = a·b+а

Теорема. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

2. N число как мера величины.

Умножение натуральных чисел связа­но с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, на­туральное число b - мера длины Е при единице длины Е1, то произведе­ние а·Ь- это мера длины отрезка х при единице длины Е1:

         а·Ь=mЕ(Х)-mЕ1(Е)=mE1 (Х).

     3. Теоретико- множественный подход.

1. Если а, Ь - целые неотрицательные числа, то произве­дением а·Ь называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)  а • Ь = а +а+… + а, если Ь > 1;

                      Ь слаг.

2)  а•Ь =а, если Ь = 1;

3)  а•Ь = 0, если Ь =0.

С теоретико-множественных позиций а•Ь { Ь > 1) представляет собой число элементов в объединении Ь множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пере­секаются.

2. С теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а•Ь целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n (А) = а, n (В) = Ь.

а•Ь =n(А) •n(В) = n(АхВ).

Свойства умножения.

1. Коммутативность

   а · b = b · а  (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

2. Ассоциативность

   (а · b) · с =  а · (b · с)   (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

   (а + b) · с =  а · с +  b · с (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

Выбор действия умножения в решении задач.

Действие деления рассматривается с позиций 3 подходов:

1. Аксиоматический подход.

Делением натуральных чисел а и Ь называется опе­рация, удовлетворяющая условию: а: Ь = с тогда и только тогда, когда

Ь·с = а.

Теорема. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно (доказательство).

Теорема 28. Деление на нуль невозможно (доказательство).

    2. N число как мера величины.

Деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если нату­ральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, а нату­ральное число Ь - мера новой единицы длины Е1 при единице длины Е, то частное а:Ь- это мера длины отрезка х при единице длины Е1:

а:Ь = тЕ(Х): тЕ(Е1) = тЕ1(Х).

     3. Теоретико- множественный подход.

Если а = n(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

Ь — число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b — это число таких подмножеств;

Ь - число подмножеств, то частное а: b — это число элементов в каж­дом подмножестве.

Правила деления (дать теоретико-множественное истолкование):

1. (а +b ): с = a : с + b: с.

Для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.

2. (а - b):с = а : с – b : с.

Для того, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

3.  (а · b ): с = (а : с) ·Ь.

Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Выбор действия деления в решении задач (деление по содержанию, на равные части).

Методика работы над задачами, раскрывающими конкретный смысл умножения и деления, связь между компонентами и рез-том действия умн и дел.

В классификации простых задач, представленной авторами ТС обуч-я(Моро, Пышкало, Бантова) первую группу составляют задачи на раскрытие смысла А.Д.:

(- нахождение суммы;

- нахождение разности;)

- нахождение произведения;

- деление по содержанию;

- деление на равные части.

Во вторую группу входят задачи на взаимосвязь между компонентами и рез-том действия:

- нах-е 1го(2-го) множителя;

- нах-е делимого;

- нах-е делителя.

В классификации простых задач, представленной авторами системы РО (Истомина, Эльконин-Давыдов, Аргинская), в первую группу входят задачи, в отношениях которых участвуют величины: часть, количество частей, целая величина:

- Ч=Ц:К.Ч

- Ц:Ч=К.Ч

- Ч×К.Ч=Ц

Этапы решения: 1) анализ задачи;2) поиск плана решения (аналитический способ и синтетический способ)3) осуществление составленного плана 4) работа над задачей после ее решения. Подгот.работа  - рассмотрение картинки, рассуждение, составление задачи, формулировка вопроса.

14. Числовые равенства и неравенства.

Числовые функции слу­жат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.

Числовой функцией называется такое соответст­вие между числовым множеством X и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества X со­поставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f , g , h и др. /y = (х)/ Переменную х при этом называют аргументом (или независимой пе­ременной). Множество чисел вида f (х) для всех х из множе­ства X называют областью значений функции f .

Способы задания функции (с помощью формул, с помощью графика, таблицы)

Виды зависимостей:

1. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k х, где  k - не равное нулю действительное число.

k  - коэффициент пропорциональности.

Свойства прямой пропорциональности: область определения, область значений, четность- нечетность, промежутки монотонности, график.

2.  Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k –не равное нулю действительное число.

Свойства прямой и обратной пропорциональности: область определения, область значений, четность - нечетность, промежутки монотонности, график.

Если f и g – числовые выражения, то (f)+ (g), (f)­ - (g), (f)­ · (g), (f)­ : (g) - числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.

Раскрыть, что такое значение числового выражения; выражения, не имеющие смысл.

Если в записи выражений имеются буквы латинского алфавита, то дано выражение с переменной. Область определения выражений с переменной – множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл.

Два выражения называют тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны(дать определения тождества, тождественного преобразования данного выражения на множестве).

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g, которое называют числовым равенством.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают (свойства истинных числовых равенств)

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством (свойства числовых неравенств).

Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем урав­нения Решить уравнение - это значит найти мно­жество его корней.

Два уравнения f1(x) = g1(x) u f2(x) = g2(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Замена уравнения равносильным ему уравнением на­зывается равносильным преобразованием (раскрыть, какие преобразования позволяют получать рав­носильные уравнения- теоремы и следствия).

Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(x) > g(x) или f(x) < g(x) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решени­ем. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны (теоремы о равносильности неравенств и следствия)

Методика изучения алгебраического материала в н.ш.

Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу отправленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на основе применения изученных элементов арифметической теории( нумерации, смысла действий и другое). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля.

    Краткие сведения о возникновении понятия натурального числа и нуля.

Множество целых неотрицательных чисел обозначается Zо.

Zо = N Ú{0}.

N число, отношение «меньше» рассматриваются с позиций 3 подходов:

1. Аксиоматический подход.

Множество N, для элементов которого установ­лено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяю­щее аксиомам Пеано, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

Число а меньше числа b (а<b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b

2. Теоретико-множественный подход.

Нату­ральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 =п(Ø).

Отношения «меньше».

1) Если а < Ь, то это означает, что отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка натурального ряда Nb

2) Пусть а = п(А), Ь = п(В), и а < Ь. Тогда в множестве В можно выделить собственное подмноже­ство, равномощное множеству А.

Теоретико-множественный смысл неравенства 0 < а, истинного для любого натурального числа а, связан с тем, что пустое множество является подмножеством отрезка Nа .

3. N число как мера величины.

Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют чис­ленным значением длины X данного отрезка при единице длины Е.

Свойства множества целых неотрицательных чисел:

1. Отношение «меньше» на множестве Zо () антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядо­ченным множеством(доказательство свойств отношения «меньше»).

2. В множестве  Zо чисел есть наимень­шее число - 0.

    3. Ни для одного целого неотрицательного числа а не существует такого числа n, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества целых неотрицательных чисел, а числа а и а + 1 назы­вают соседними.

4. Любое непустое подмножество Zо чисел содержит наименьшее число.

5. Если М - непустое подмножество множества Zо чисел и существует такое число Ь, что для всех чисел х из М выполняется не­равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

6. В множестве Zо чисел нет наиболь­шего числа.

7. Свойства монотонности

1) а = b< => а + с= b + с и ас = bc;

2) а < b <=> а + с < b + с и ас <  bc;

3) а > b <=> а + с > b + с и ас > bc.

Аксиомы Пеано (раскрывают суть отн-ния «непосредственно следовать за»)

1.В мн-ве N сущ-ет эл-т, непостедственно не следующий ни за каким эл-том этого мн-ва. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

2.Для каждого эл-та а из N существует единственный эл-т a’, непосредственно следующий за а.

3.Для каждого эл-та а из N существует не более одного эл-та, за которым непосредственно следует а.

4.Всякое подмн-во М мн-ва N совпадает с N, если обладает св-вами: 1) 1 содержится в мн-ве М; 2) из того, что а содержится в M следует, что и a’ содержится в М.

Определение натурального числа. Множество N, для эл-тов которого установлено отн-ние «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется мн-вом натуральных чисел, а его эл-ты – натуральными числами.

Определение натурального числа. Множество N, для эл-тов которого установлено отн-ние «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется мн-вом натуральных чисел, а его эл-ты – натуральными числами.

Обучение математике в начальных классах начинается с подготовительных занятий. Необходимость их диктуется чрезвычайной неоднородностью состава учащихся 1 класса, как по своим психофизическим данным, так и по подготовленности к обучению.

Числа первого десятка и действия с ними изучаются в течении первого года обучения. Учащиеся знакомятся с каждым числом первого десятка в отдельности. Изучается образование каждого числа, обозначения его цифрой, счет в пределах этого числа, соотношение предметного множества, числа и цифры, определяется место числа в натуральном ряду чисел, сравниваются числа по величине, изучается состав чисел. Сформулировать понятие числа, счета и дать некоторые первоначальные представления о свойстве натурального ряда чисел у детей - задача чрезвычайно сложная. Её решение возможно лишь при широком использовании средств наглядности, учета индивидуальных возможностей каждого ребенка, его прошлого опыта, тех общих и индивидуальных трудностей, которые возникают у учащихся при изучении чисел первого десятка. Конкретность мышления учащихся, слабость обобщения наблюдаемых явлений приводят к тому, что у школьников очень медленно формируется обобщенное понятие числа и счета. Учащиеся, пришедшие в 1 класс, как правило, знают названия количественных числительных в определенном порядке в разных пределах, но название числительных часто не совпадает с показом предметов: название числительных отстает или опережает показ предметов. Например, называют шесть, а показывают шестой предмет или третий.

Учитель школы должен постоянно помнить, что только демонстрация наглядных пособий не может обеспечить сознательного усвоения математических знаний. Необходимо использование материала в предметно - практической деятельности.Изучения каждого числа первого десятка происходит в следующей последовательности: дается понятие о числе и цифре. Цель этого урока - познакомить учащихся с образованием числа, названием его, обозначением цифрой, научить писать цифру, показать место числа в числовом ряду, познакомить с соотношениями количества элементов предметного множества, числа и цифры, рассмотреть количественные и порядковые отношения уже известного учащимся отрезка натурального рада. Далее учащиеся закрепляют место данного числа в числовом ряду, получают понятие о втором способе образования предшествующего числа (путем отсчитывания одной единицы от данного числа), отрабатывают счет в прямом и обратном порядке.Изучение нумерации в пределах 20, т.е. второго концентра, происходит в 1 классе. Задачи второго концентра можно сформулировать так: расширить понятие о числе; дать понятие о десятке как новой счетной единице; научить считать до 20, пересчитывая и отсчитывания по единице, по десятке и равными числовыми группами (по 2, по 5, по 4); познакомить с десятичным составом числа; сформировать представление об однозначных и двузначных числах; научить обучать числа от 11 до 20 цифрами; дать понятие о принципе поместного значения цифр. Изучению нумерации чисел в пределах 20 следует уделять большое внимание. Необходимо довести до сознания каждого ребенка конкретный смысл каждого числа, его место в натуральном ряду чисел, десятичный состав, особенности письменного обозначения каждого числа и всех чисел второго десятка, поместное значение цифр в числе. Для этого требуется тщательно продуманная система изучения нумерации, постоянная опора на средства наглядности, использования слуховых, зрительных, кинестетических анализаторов, систематическая работа над этой темой в течение всего года, постоянное внимание учителя к практическому использованию знаний в повседневной жизни.

8.  Отношения «больше в» и «меньше в» на множестве целых неотрицательных чисел. Методика работы над простыми задачами, раскрывающими понятие кратного отношения.

Методика изучения простых задач, раскрывающих понятие кратного отношения

В классификации простых задач, представленной авторами ТС обуч-я (Моро, Пышкало, Бантова), задачи на кратное отношение выделены в 3ю группу(задачи на разностное и кратное сравнение). На кратное сравнение вкл в себя:

- уменьшение (увеличение) числа в неск-ко раз в прямой форме (напр, У Пети 7 значков, у Вити в 2 раза больше. Сколько у Вити?)

- уменьшние (увеличение) в нес-ко раз в косвенной форме (напр, Брату 6 лет, он в 2 раза старше сестры. Сколько лет сестре?)

В классификации, представленной авторами РО(Истомина, Эльконин-Давыдов, Аргинская) задачи на кратное сравнение выделены в отдельную группу. В отн-ниях участвуют величины: большая величина, меньшая величина, кратность:

- М.В×Кр=Б.В

- Б.В:Кр=М.В

      - Б.В:М.В=Кр

Этапы решения: 1) анализ задачи;2) поиск плана решения (аналитический способ и синтетический способ)3) осуществление составленного плана 4) работа над задачей после ее решения. Подгот.работа  - рассмотрение картинки, рассуждение, составление задачи, формулировка вопроса.

     9.   Текстовые задачи: типология, теоретические основы и этапы решения задач.

Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требо­ванием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого от­ношения между компонентами или определить вид этого отношения.

В задаче имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения задачи называют условиями. В задаче обычно не одно условие, а несколько элемен­тарных условий. Требования в задаче могут быть сформу­лированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи - в них условий недостаточно для полу­чения ответа;

в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.

Решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи; процесс нахождения этого результа­та

Методы и способы решения текстовых задач

1)Решить задачу арифметическим методом - это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических дей­ствий над числами.

2)Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему урав­нений.

Этапы решения задачи и приемы их выполнения:

1. Анализ задачи (цель этапа, приемы работы – вопросы,  перефразировка текста задачи, разбиением текста на смысловые части, построение вспомогательной мо­дели задачи)

2. Поиск плана решения задачи (цель, приемы – разбор задачи по тексту или по ее вспо­могательной модели от данных к вопросу, от вопроса к данным.)

3. Осуществление плана решения задачи (цель, приемы - запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами),  запись в виде выражения)

4. Проверка решения задачи (цель, приемы - установление соответствия между результатом и условиями за­дачи,  решение задачи другим способом.)

Этапы математи­ческого моделирования в процессе решения текстовых задач (перевод условий задачи на математический; внутримодельное решение; интерпретация)

Методика.

Основные этапы работы над задачей.

Решение любой задачи - процесс сложной умственной деятельно­сти. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом вклю­чает следующие основные этапы:

1.   Анализ задачи.

2.   Поиск плана решения задачи.

3.   Осуществление плана решения задачи.

4.   Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений решающего.

Учитель при работе с задачей проходит определенные ступени. На первой ступени учитель ведет подготовку к решению задач рассматриваемого вида. Должен усвоить связи, на основе которых они будут выбирать действия при решении таких задач. На второй ступени учитель знакомит учеников с решением задач рассматриваемого вида. Учатся устанавливать связи м\ду данными искомыми и на этой основе выбирать арифм. действия. Знакомятся со способом решения задач рассматриваемого вида. На 3 ступени учитель формирует умение решать задачи рассматриваемого вида. Должны научиться решать любую задачу рассмтриваемого вида независимо от ее конкретного содержания, т.е. они должны обобщить способ решения задач этого вида. 1ступень. а)до решения выполняется операция над множествами. (палочки, рисунки и т.д.). Раскрывается смысл «больше на..» «меньше на...». б)нужно знакомить с величиной. в)нужно раскрыть связь м\ду величинами путем решения задач на основе их конкретного смысла. Методы наблюдения пр. связь м\ду количеством, ценой и стоимостью. г)решение составных задач сводится к решению ряда простых, поэтому подготовкой к решению составных задач будет обучение решению соответствующих простых задач. 2ступень. Целесообразно соблюдать сл. этапы: а)ознакомление с содержанием задачи. б)поиск решения задачи. в)выполнение решения задачи. г)проверка решения задачи. а)ознакомить с содержанием задачи –это значит, прочитав ее, представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче. Учит правильно читать задачу. б)поиск решения задачи. реб. устанавливает связи м\ду данными и искомым и выбрать соотвествующее арифм. действие. Приемы: иллюстрация (предметная или схематическая), повторение задачи, разбор и составление плана решения задачи. в)решение задачи.= это выполнение арифметических действий, выбранных при составлении плана решения. При этом обязательны пояснения, что находим, выполняя каждое действие. Устное решение и письменное. Формы записи решения 1)составление по задаче выражения и нахождение его значения. а)постепенная запись выражения с записью поясений. б)постепенная запись выражения без записи пояснений. в)запись выражения без записи отдельных действий и пояснений= тоже самое и у остальных. 2)составление по задаче уравнения и его решение. 3)запись решения в виде отдельных действий. г)Проверка решения задачи. Проверить решение задачи- это значит установить, что оно правильно или ошибочно. 1)составление и решение обратной задачи. 2)установление соотвествия м\ду числами, полученными в результате решения задачи, и данными

числами. 3)решение задачи различными способами. 4)установление границ искомого числа (прикидка) До решения задачи устанавливаются границы искомого числа, т.е. устанавливается, большее или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое число.   Процесс обучения учащихся решению задач осуществляем в соответствии с этапами их решения:

1.Анализ задачи 2.Схематическая запись задачи 3.Поиск способов решения задачи 4.Осуществления решения задачи 5.Проверка решения задачи 6.Исследование задачи 7.Формулирование ответа задачи8.Анализ решения задачи.

Задачи с пропорциональными величинами.

Для введения данного вида задач используются дид. игра «магазин» ее цель сформировать понятие цена, кол-во и стоимость. Прямая и пропорциональная зависимость означает что при постоянном из 1 величин с увеличением др. величины увеличивается др. величина. Для того чтобы рассмотреть прямую и пропорциональную зависимость школьнику предлагается заполнить таблицу (цена, кол, стоимость) и дети сами заполняют значения – прослеживают измениния. «Что интересного вы заметили?» Для того. затем детям вводятся как можно найти стоимость покупки зная цену и кол-во товара а также как находится цена 1 товара или кол-во предметов. Затем учитель предлагает шк. фиксировать условие и требование к задаче виде таблицы.

Задачи на нахождения неизвестных по 2 разностям. (3кл) Они включают 2 переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменой и разность соотвествующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной явл. искомыми. В нач. курсе мат-ки используется только 2 типа. Подготовительный этап. Шк. должны хорошо усвоить задачи на нахожнеие 4 пропорц. а также рассматривают пары задач к-е помогут шк. уяснить соотношение м\ду 2 разностями. Пр.Сестра купила 5 один. тетрадей а брат 8 таких же тетр. у кого из них больше уплатил денег? почему? за сколько тетр. брат уплатил столько же денег сколько и сестра. Пр.Брат и сестра купили тетр. по одной цене брат купил на 3 тетр. больше чем сестра и заплатил на 9 р. больше чем сестра. Сколько купил брат тетр.? 2этап. метдика знакомства с задачами на нахожд. неизв. по 2 разностям – логична методике введения задач на пропорц. деление. Закрепление точно такое же что и у проп. дел.

Основной традиционный прием анализа задач – разбор от вопроса и  от числовых данных. Разбор задачи от вопроса – это суждение, которое состоит  в  том,  чтобы  подобрать два числовых значения одной или разных величин  таким  образом,  чтобы  дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба  могут  быть  неизвестными. Для их  нахождения  подбираются  два  других,  и  так  продолжается  процесс

подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин.  В результате  такого  разбора  учащиеся  устанавливают  зависимость между числовыми значениями  величин,  расчленяют  ее  на  простые  задачи  и составляют план ее решения. Установить связь между числовыми данными  задачи и расчленить ее на ряд простых можно и путем разбора от числовых данных.  Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным,  одно  из  которых может быть результатом первого действия,  подбирается  следующий  вопрос.  И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи. Сочетание сокращенной записи условия задачи с ее анализом, когда записываются не только числа, не и выражения, предполагающие определенные действия, делают задачу более «прозрачной» в поиске ее решения. Реши задачу другим способом, составь и реши обратную задачу, измени вопрос так, чтобы задача решалась в одно (два) действие и др изменение вопроса задачи.

Виды работы с задачами на уроке математики. 1вид. Фронтально-коллективное решение. задачи под рук-вом учителя данный вид работы полезен. а)при знакомстве школьников со способами решения задач определенного вида задач. б)для закрепления умения последовательно выполнять задачи для закрепления умения пользовться определенными методами решения. 2.Самостоятельное решение – цели данного вида работы: а)на формирование умения решать задачи определенного вида с пом. определенных ср-в приема и методов. б)научить проводить проверку и самопроверку оценку и самооценку. в)цель: использование при решении задач св-в орифметических задач и т.п. 3.Решение задач в зависимости от их содержания. а)решение задач с минимальными данными. б)решение задач с недостающими данными в)решение задач определенного вида. г)решение нестандартных задач. 4.выполнение части решения задач. Цель: умение выполнять определенный этап решения. Пр. сделай рисунок чертеж (под рук. учителя, сам ученик, частичное руководство и т.д.) Прочитай задачу и представь задачу то о чем говорится и расскажите то что вы представили. Пользуясь схемой разбора задачи от вопроса к данному план решения данной задачи. Проверяем правильно ли решена эта задача, можно ли др. способами решить эту задачу? 5. Дополнительная работа над уже решенной задачей. а)изменение условий задачи так чтобы в задачи решалась др.действием. б)постановка нового вопроса к уже решенной задаче. в)постановка всех вопросов ответы е-е можно дать. г)сравнение содерж. решения одной задачи с содерж. др. задачи. д)Решение задачи одним способом или др. е)изменение числ. данных так чтобы появился новый способ решения или чтобы задача не имела решения. ж)сполько способов решения имеет решение. При каких условиях она бы не имела решения? какие приемы целесообразны наиболее для решен. этой задачи возможными др. методы решения. 6.Обоснование правильности решения т.е. проверка известными любым способом

13. Законы умножения, правила деления.

Действие умножения рассматривается с позиций 3 подходов:

1. Аксиоматический подход.

Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1)(V a N) a·l = a;

2)(V a, b N) a·b' = a·b+а

Теорема. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

2. N число как мера величины.

Умножение натуральных чисел связа­но с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, на­туральное число b - мера длины Е при единице длины Е1, то произведе­ние а·Ь- это мера длины отрезка х при единице длины Е1:

         а·Ь=mЕ(Х)-mЕ1(Е)=mE1 (Х).

     3. Теоретико- множественный подход.

1. Если а, Ь - целые неотрицательные числа, то произве­дением а·Ь называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)  а • Ь = а +а+… + а, если Ь > 1;

                      Ь слаг.

2)  а•Ь =а, если Ь = 1;

3)  а•Ь = 0, если Ь =0.

С теоретико-множественных позиций а•Ь { Ь > 1) представляет собой число элементов в объединении Ь множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пере­секаются.

2. С теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а•Ь целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n (А) = а, n (В) = Ь.

а•Ь =n(А) •n(В) = n(АхВ).

Свойства умножения.

1. Коммутативность

   а · b = b · а  (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

2. Ассоциативность

   (а · b) · с =  а · (b · с)   (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

   (а + b) · с =  а · с +  b · с (доказательство с позиций аксиоматического и теоретико-множественного подходов)

Выбор действия умножения в решении задач.

Действие деления рассматривается с позиций 3 подходов:

1. Аксиоматический подход.

Делением натуральных чисел а и Ь называется опе­рация, удовлетворяющая условию: а: Ь = с тогда и только тогда, когда

Ь·с = а.

Теорема. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно (доказательство).

Теорема 28. Деление на нуль невозможно (доказательство).

2. N число как мера величины.

Деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если нату­ральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, а нату­ральное число Ь - мера новой единицы длины Е1 при единице длины Е, то частное а:Ь- это мера длины отрезка х при единице длины Е1:

а:Ь = тЕ(Х): тЕ(Е1) = тЕ1(Х).

     3. Теоретико- множественный подход.

Если а = n(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

Ь — число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b — это число таких подмножеств;

Ь - число подмножеств, то частное а: b — это число элементов в каж­дом подмножестве.

Правила деления (дать теоретико-множественное истолкование):

1. (а +b ): с = a : с + b: с.

Для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.

2. (а - b):с = а : с – b : с.

Для того, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

3.  (а · b ): с = (а : с) ·Ь.

Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Выбор действия деления в решении задач (деление по содержанию, на равные части).

Методика работы над умножением в начальной школе.

Подготовительная работа к изучению умножения начинается уже в конце первого года обучения, когда учащимся предлагается выполнить задание на вычисление суммы одинаковых слагаемых (учителем обращается внимание детей, что слагаемые одинаковые и их несколько).

В работе над изучением умножения выделяют три основных этапа: дотабличное умножение, табличное и внетабличное.

На дотабличном этапе раскрытие смысла нового действия проходит посредством прохождения предметно-

практического, схематического и знаково-символического уровней.  Кроме этого, раскрываются и другие вопросы темы, а именно: решение простых задач на смысл умножения; название компонентов при умножении и нахождение результата по определению; выполнение переместительного свойства для умножения; взаимосвязь между множителем и произведением; умножение 1 и 0 на любое другое число; умножение с числом 10.

Табличный этап. Работа по изучению табличных случаев проходит в два этапа: составление таблиц и их заучивание. Начинается знакомство с таблицы умножения  числа 2 и умножения на число 2.  Результаты первых 4 случаев таблицы (2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 · 4 = 8; 2 · 5 = 10) находят с опорой на иллюстрацию и замену умножения сложением одинаковых слагаемых, каждое из которых равно двум. Дети  записывают,  читают таблицу, затем ведется работа по закреплению изученного. С помощью переместительного свойства умножения учитель предлагает составить таблицу умножения на 2, применив перестановку множителей. Затем снова идет работа по запоминанию табличных случаев. Аналогично организуется работа со второй частью таблицы на следующем уроке (умножение числа 2 для случаев: 2 · 6, 2 · 7, 2 · 8, 2 · 9 и умножение на число 2 для случаев: 5 · 2, 6 · 2,  7 · 2, 8 · 2, 9 · 2). Составление и заучивание таблицы продолжается с числами 3,4 …9, однако доля самостоятельности детей постепенно увеличивается при их составлении. Заключительным этапом в данной работе является составление и заучивание обобщенной таблицы Пифагора. После изучения всех табличных случаев отводится несколько уроков для знакомства с особыми  случаями (а · 1 = а, а · 0 = 0). Опираясь на правило и под руководством учителя, дети закрепляют умение им пользоваться на практике.

Внетабличное умножение. К внетабличному умножению относят случаи, выходящие за пределы таблицы умножения однозначных чисел, результаты которых не превышают 100. Смысл этапа в том, чтобы формировать у учащихся умение сводить каждый конкретный случай к табличному.

Раскрытие приемов вычислений происходит с опорой на знания нумерации, свойств арифметических действий, знание связи между компонентами  и результатом действий. Внетабличное умножение включает случаи умножения круглых десятков (20 · 3, 3 · 20) и  умножения двузначного числа на однозначное (23 ·  4, 4 · 23).

Методика работы над действием деления в начальном курсе математики.

В изучении действия деления выделяют три основных этапа: дотабличное деление, табличное и внетабличное.

Раскрытие смысла двух видов деления (по содержанию и на равные части) происходит на дотабличном этапе в процессе выполнения детьми практических операций с предметами (предметно-практический уровень), фиксацией их с помощью схематического рисунка (схематический уровень), записи и чтения выражений (знаково-символический уровень). Усвоению смысла действия деления способствует решение простых задач на деление по содержанию и деление на равные части.

Кроме этого, учащиеся знакомятся с названиями чисел и выражения при делении, учатся находить результаты деления на основе знания соответствующих случаев умножения (прием деления, основанный на связи между компонентами и результатом умножения), рассматривают деление на 10.

Табличный этап. В традиционной системе обучения деления рассматриваются сразу после соответствующих случаев умножения и начинается с составления таблицы деления на 2.   Сначала с опорой на иллюстрацию повторяют связь между произведением и множителями и на этой основе к каждому примеру на умножение составляют и записывают по два примера деления. Далее ведется работа по запоминанию всех рассмотренных таблиц с числом 2. Знакомство с остальными табличными случаями происходит аналогичным образом, однако в их составлении следует предоставить детям больше самостоятельности. Следующие несколько уроков отводятся на изучение особых случаев (а : а = 1, а : 1 = а, делить на 0 нельзя, 0 : b = 0), под руководством учителя дети делают выводы, знакомятся с правилами, закрепляют их на практике.

Внетабличное деление. Данный этап включает знакомство со случаями деления в пределах 100 и основан на знаниях нумерации, свойств арифметических действий, связи между компонентами  и результатом действий. Перед изучением каждого случая организуется работа, включающая систему подготовительных упражнений, направленных на активизацию вышеперечисленных знаний. Данный подход позволяет  обеспечить определенную степень самостоятельности детей при усвоении  случаев внетабличного деления, а именно: деление круглых десятков (60 : 3), деление разрядного двузначного числа на разрядное двузначное (60 : 20), деление двузначного числа на однозначное (69 : 3),   деление двузначного на двузначное число (87 : 29).