Элементы векторной, линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, производная и ее приложения, функции не

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени  И.Н. Ульянова»

Строительный факультет

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1, 2

по дисциплине «Математике»

на тему: «Элементы векторной, линейной алгебры

и аналитической геометрии, введение в математический анализ,

производная и ее приложения, функции нескольких переменных,

неопределенный и определенный  интегралы, кратные интегралы,         дифференциальные уравнения, ряды»

 

 

 

 

 

 

           

 

 

 

                                                                                                  Выполнил: студент 1 курса

                    Майстренко Н.В.

                                                                                                   группы ЗС-27-10

                                                                             

                                                                               Проверил: Кирпикова О.И.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары 2010

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет

 имени И.Н. Ульянова»

Строительный факультет 

 

РЕЦЕНЗИЯ

 

на контрольную работу

 

по дисциплине ________________________________________

специальность ________________________________________

курс __________ группа ________________________________

Ф.И.О. студента _______________________________________

Тема _____________________________________________________

_____________________________________________________

Достоинства работы ___________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Недостатки работы ____________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка ______________________________________________

                 (зачтено, не зачтено, на доработку  и др.)

Преподаватель ________________________________________

                          (Ф.И.О., подпись)

Дата _________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары 2010

Содержание

Лист

1 Контрольная работа№1.Элементы векторной, линейной алгебры           

   и аналитической геометрии                                                                               4

2 Введение в математический анализ. Производная и    

   ее приложения                                                                                                     9

3 Функции нескольких переменных.                                                                   14

4 Контрольная работа № 2. Неопределенный и определенный  
   интегралы                                                                                                            17

5 Кратные интегралы                                                                                            21

6 Дифференциальные уравнения                                                                         23

7  Ряды                                                                                                                    28

 

 

 

 

Контрольная  работа №1

 

Элементы векторной, линейной алгебры

и аналитической  геометрии

Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды , , ,   . Найти:

1) длину ребра 

2) угол между ребрами  и ;  

3) угол между ребром  и гранью ;

4) площадь грани ;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой  ;

7) уравнение плоскости  ;

8) уравнение высоты, опущенной из  вершины  на грань . 

Выполнить чертеж.

Решение.

1) Длина ребра A₁A₂ определяется по формуле

                 

 

2) Угол между ребрами  и есть  угол  между векторами   и , который, согласно определению скалярного произведения, находится по формуле

                            

3) Составим уравнение  плоскости по трем точкам:

, откуда  ,

где, раскрывая полученный определитель, получим:

               или .

 

Нормальный вектор плоскости  имеет координаты ; , откуда найдем

4) Площадь грани вычислим по формуле

= , где  

5) Объем  пирамиды  будем  вычислять  исходя  из геометрического

смысла смешанного произведения:

            

6) Канонические уравнения   прямой, проходящей через две  заданные точки  и , будут иметь вид:

Подставив соответствующие  координаты, получим:

  или  

или в параметрической  форме: х =4-4t, y=2-5t, z=5-3t.

7) Запишем  уравнение  плоскости, проходящей через   три заданные  точки  . Уравнение плоскости найдено в пункте 3):     .

8) Нормальный  вектор  плоскости  можно взять за  направ-ляющий вектор искомой прямой, который имеет координаты . Канонические уравнения искомой высоты, опущенной из вершины согласно формулы  , примут вид:

.

Делаем чертеж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Даны вершины треугольника АВС: , , . Найти:

1) длину стороны BC;

2) уравнение ли-нии BC;

3) уравнение высоты, про-веденной  из точки A;

4) длину высоты, проведенной из  точки A;

5) площадь треугольника;

6)  угол В.

Решение.

1) Длину стороны BC находим, исходя из формулы

= .

2) Уравнение прямой, проходящей  через две заданные точки, определяется  по формуле 

                                  ,

согласно  которой  будем  иметь  искомое  уравнение 

                                                ,

откуда после преобразований получим  уравнение стороны BC:

3) Угловой коэффициент  прямой BC согласно формулы равен . Так как , то , откуда . Составим уравнение высоты согласно формулы . Подставив соответствующие координаты, будем иметь: или (уравнение высоты ).

4). Длину  высоты  находим согласно формулы для нахождения расстояния  от точки A до  прямой  на  плоскости:

                                     ,

где  – общее уравнение прямой на плоскости.

Тогда

 

6). Угол при вершине  треугольника находим, используя формулу

        Так  как  

                         , то  

или 

 

.

 

 

 

Задача 4. Даны  векторы  a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5),

d = (6;10; 17)  в некотором базисе. Показать, что векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2),               c = (7;  –3;5) образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение.

        Если векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5),  образуют базис, то смешанное произведение  этих  векторов  не  равно нулю. Проверим это:  

Следовательно, вектор d линейно выражается через базисные векторы a, b, c. Тогда требуется найти такие три числа , чтобы имело место равенство

                                       

или 

                                     

Так как

,

то система уравнений  имеет единственное решение. Воспользуемся  правилом  Крамера:

,

где

       

,

 

    

,

 

           

.

        Тогда 

                                       .

Таким образом разложение имеет  вид  .

 

Задача 5. Дана матрица А. Найти матрицу А^-1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А ^. А^-1 .

Решение.

Рассмотрим матрицу  . Ее определитель   отличен от нуля, следовательно матрица невырожденная и имеет единственную обратную матрицу, определяемую по формуле .

Запишем алгебраические дополнения для элементов матрицы A:

           

 

   

        Тогда:

.    

 

Задача 6. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

Решение. Рассмотрим систему

 

Выполним элементарные (строчные) преобразования  над  расширен-ной матрицей:

               ~ ~ ~

 

~ .

        Полученную расширенную треугольную  матрицу распишем в виде системы уравнений:

 

        Решения нет, т.к. ранг основной матрицы меньше ранга расширенной.

 

 

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения

 

Задача 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

                                     

        

Решение.

 

 

 

 

Задача 2. Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

 

Решение.

1. Неэлементарная функция  определена для всех значений . Она может иметь разрыв только в точках x=-1 и x=1, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, не-прерывную в своем интервале изменения аргумента x.

   Исследуем точки  x = -1 и x = 1:

  а)  ,  

Согласно  условию, значение  функции    в точке определяется первой формулой , следовательно, в точке выполняются все условия непрерывности функции: функция определена в окрестности точки x=-1 и

                               .

Поэтому в точке x=-1 функция   непрерывна.

 

б) .

Здесь левый и правый пределы  функции конечны, но различны, т.е. не выполняется условие непрерывности. Поэтому в точке x=1 функция имеет разрыв (конечный скачок), который равен:

Построим схематический график:

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти производные следующих функций.

Решение.

а)   у=arccos

y’=(arccos ) =

 

б)  у =ln ctg

 

в)     

 

 

Задача 4. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Решение.

Задача 5. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f(x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].