Контрольная работа по "Методам принятия управленческих решений"

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Методы  принятия управленческих решений

Вариант 10

 

 

 

ВЫПОЛНИЛА
СТУДЕНТКА	2 курса
НАПРАВЛЕНИЕ	БМ
№ ЗАЧ. КНИЖКИ
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

 

 

 

 

Брянск — 2013

1.10. Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно и распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и  почему?

Решение

Введем следующие обозначения:

х₁ – количество первого напитка («Лимонад»)

х₂ – количество второго напитка («Тоник»)

Цена 1 л «Лимонада» таким  образом составляет 0,1 х₁ (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х₂ (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f(х_1,х₂) = 0,1 х₁ + 0,3 х₂.

Ограничения задачи имеют  вид:

0,02х₁ + 0,04 х₂

24;

0,01х₁ + 0,04 х₂

16;

х_1,2

0.

 

Построим прямые, соответствующие  ограничениям задачи: первая прямая имеет  вид 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24, решением ее служат точки (1200;0)  
и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

Решением каждого неравенства  системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную  прямую и расположенная по одну сторону  от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим  неравенством системы, называется областью допустимых решений.

рис. 1 Область допустимых решений

 

На рисунке 1 заштрихована область допустимых значений. Для  определения движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся вдоль вектора-градиента.

Решая систему уравнений

0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16.

 

Находим, что х₁ = 800, х₂ = 200.

max f(х_1,х₂) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.)

 

Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х₁ = 800, х₂ = 200). При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу (особый случай ЗЛП).

 

2.10. Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Вид ресурсов	Нормы расхода  ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	3	6	4	2000
Сырье 1	20	15	20	15000
Сырье 2	10	15	20	7400
Оборудование	0	3	5	1500
Цена изделия	6	10	9

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;

оценить целесообразность включения  в план изделия четвертого вида ценой 11 денежных единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение

1) Сформулировать  прямую оптимизационную задачу  на максимум выручки от реализации  готовой продукции, получить оптимальный  план выпуска продукции.

Введем условные обозначения:

х₁ – норма расхода ресурсов на одно изделие I вида

х₂ – норма расхода ресурсов на одно изделие II вида

х₃ – норма расхода ресурсов на одно изделие III вида

Целевая функция имеет  вид:

max f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃

Ограничения задачи имеют  вид:

3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃ 2000

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 15000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

3 х₂ +5 х₃ 1500

х_1,2,3 0

Оптимальный план найдем через  поиск решения в надстройках  Microsoft Excel (рис. 2 и рис. 3)

рис. 2 Поиск оптимального плана

рис. 3 Добавление ограничения задачи

Таблица 1

Результаты поиска решения

	х1	х2	х3
значение	520	0	110		ЦФ	4110
коэф. в ЦФ	6	10	9
	Ограничения
Тип ресурсов					Левая часть	Знак	Правая часть
Труд	3	6	4		2000	<=	2000
Сырье 1	20	15	20		12600	<=	15000
Сырье 2	10	15	20		7400	<=	7400
Оборудование	0	3	5		550	<=	1500

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие  может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из  
15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис. 4):

рис. 4 Содержание отчета по результатам

В отчете по результатам  содержатся оптимальные значения переменных х₁, х ₂, х ₃, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

( )* = (520;0;110)

2) Сформулировать  двойственную задачу и найти  ее оптимальный план с помощью  теорем двойственности.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

y₁ – двойственная оценка ресурса «Труд»

y₂ – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y₃ – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y₄ – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой  функции двойственной задачи являются свободные члены в системе  ограничений исходной задачи:

min g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄

Необходимо найти такие  «цены» на типы ресурсов (y_i), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Число ограничений в системе  двойственной задачи равно числу  переменных в исходной задаче. В  исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

В правых частях ограничений  двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой  функции исходной задачи. Левая часть  определяет стоимость ресурсов, затраченных  на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует  определенной норме использования  ресурса на единицу продукции:

3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ 6;

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ 10;

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ 9.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы  двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

= 0, тогда

y₁(3 х₁+ 6 х₂+4 х₃ – 2000) = 0;

y₂(20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 15000) = 0;

y₃(10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 7400) = 0;

y₄(3 х₂ + 5 х₃ – 1500) = 0.

( )* = (520;0;110)

Подставим оптимальные значения вектора  в полученное выражение

y₁(3*520+ 6*0+4*110 – 2000) = 0;

y₂(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

y₃(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400) = 0;

y₄(3 *0 + 5*110 – 1500) = 0.

Отсюда получим

y₁(2 000- 2 000) = 0;

y₂ (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y₂ = 0;

y₃ (7400-7400) = 0;

y₄ (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y₄ = 0.

Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

, если  >0, то

В нашей задаче х₁=520 > 0 и х₃ = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х₁(3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ – 6) = 0;

х₂(6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ -10) = 0;

х₃ (4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ –9) = 0.

Решая систему уравнений

3*у₁ + 20*у₂+10у₃-6=0

у₂ = 0

4*у₁ + 20*у₂ + 20 у₃ + 5*у₄-9=0

у₄ = 0,

получим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0.

Необходимо проверить  выполнение первой теоремы двойственности

 

g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃ = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный  план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск  решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).

рис. 5. Отчет по устойчивости

3) Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане.

Подставим в ограничения  двойственной задачи оптимальные значения вектора  : ( )* = (1,5;0;0,15;0)

3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ 6 3*1,5 + 20*0+10*0,15 6 6=6;

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ 10 6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*0 10 11,25>10;

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ 9 4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*0 9 9=9.