Теорема Тихонова. Применение теоремы Тихонова

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный  нефтяной технический университет»

Кафедра «Технологические машины и оборудование»

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

на тему: «Теорема Тихонова. Применение теоремы Тихонова»

по дисциплине «Методы  подобия и размерности в механике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила ст. гр. ММО31-13                                                 Э.А. Халимова

Проверил преподаватель                                                         Л.В. Хайбуллина

 

 

Уфа

2013

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….3

Тихонова теорема……………………………………………………...4

Произведение топологических пространств ………………………..9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………….17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………….....18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Цель данной работы: изучить  основы теоремы Тихонова о бикомпактности произведения, применение данной теоремы.

В соответствии с целью  были выдвинуты следующие задачи:

- изучить основы топологии  как раздела математики,

- дать определение теореме  Тихонова и доказать,

- изучить аспекты произведений  топологический пространств.

 

Топология – это раздел математики, изучающий топологические свойства фигур и тел, т.е. свойства, которые не изменяются при любых  непрерывных деформациях. Топология  является одним из наиболее абстрактных  разделов математики, поэтому трудно популярно объяснить суть теоремы, доказанной А.Н.Тихоновым в дипломной  работе и утверждающей, что произведение любого числа бикомпактных пространств  бикомпактно. Можно сослаться лишь на то, что теорема Тихонова занимает первое место по числу ссылок на нее в мировой математической литературе. Деятельность А.Н.Тихонова в области топологии закреплена в таких определениях как "тихоновское  произведение", "тихоновский куб", "тихоновское пространство". Чтобы  подчеркнуть роль А.Н.Тихонова в  формировании топологии, приведем цитату из широко известного в мировой литературе учебника общей топологии американского  математика Дж.Л.Келли: "Классическая теорема А.Н.Тихонова о произведении бикомпактных пространств, несомненно, является самой полезной теоремой о  бикомпактности. Весьма правдоподобно, что это вообще самая важная теорема  общей топологии".

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

 

 

1. Тихонова теорема

 

Тихонова теорема о бикомпактности произведения: топологическое  произведение любого множества бикомпактных пространств бикомпактно. Это одна из основных теорем общей топологии; установлена А. Н. Тихоновым в 1929. Она играет весьма существенную и часто ключевую роль в построении практически всех разделов общей топологии и во многих ее применениях. В частности, Т. т. имеет основное значение для построения бикомпактных расширений вполне регулярных Т ₁ -пространств (т. <е. тихоновских пространств). С ее помощью строится расширение Стоуна - Чеха произвольного тихоновского пространства. Т. т. позволяет указать стандартные бикомпактные пространства - обобщенные канторовы дисконтинуумы   являющиеся произведениями дискретных двоеточий в количестве   и тихоновские кубы  - произведения  экземпляров обычного отрезка I числовой прямой. В качестве   здесь может фигурировать любой кардинал. Значение обобщенных канторовых дисконтинуумов   и тихоновских кубов  связано прежде всего с тем, что они являются универсальными объектами: каждый нульмерный бикомпакт гомеоморфен замкнутому подпространству некоторого   и каждый бикомпакт гомеоморфен замкнутому подпространству некоторого   

Теорема Тихонова применяется при доказательстве нспустоты предела обратного спектра из бикомпактных пространств, при построении теории абсолютов, в теории бикомпактных групп. Если же иметь в виду опосредованные ее применения, то почти вся общая топология попадает в сферу действия этой теоремы Тихонова. Так же трудно перечислить прямые и опосредованные применения теоремы Тихонова в других областях математики. Практически они встречаются всюду, где важную роль играет понятие компактности, - в частности в функциональном анализе (банаховы пространства в слабой топологии, меры на топологич. пространствах), в общей теории оптимального управления и т. д.

 

БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО - топологическое пространство, в каждом открытом покрытии к-рого содержится конечное подпокрытие того же пространства. Следующие утверждения равносильны: 1) пространство X бикомпактно; 2) пересечение  любой центрированной системы замкнутых  в X множеств не пусто; 3) пересечение  любой максимальной центрированной системы замкнутых в X множеств не пусто; 4) пересечение произвольной убывающей вполне упорядоченной  последовательности любой мощности непустых замкнутых в X множеств не пусто; 5) каждая центрированная система  подмножеств множества X имеет точку  прикосновения в X; 6) каждый ультрафильтр на X сходится в X; 7) для каждого бесконечного подмножества М множества X в X существует точка полного накопления. Подпространство n-мерного евклидова пространства бикомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Понятие бикомпактного топологического  пространства занимает фундаментальное  положение в топологии и современном  функциональном анализе; при этом нек-рые  принципиальные свойства Б. п. (с многочисленными  приложениями) рассматриваются уже  в математическом анализе, например всякая непрерывная функция, определенная на Б. п., ограничена и принимает наибольшее и наименьшее значения.

Тихоновским произведением  топологических пространств   называется топологическое пространство  , в котором базу топологии образуют множества  , где   открыто в   для любого   и   для всех индексов кроме конечного их числа.

Произведение счетного числа  метризуемых пространств метризуемо.  

Доказательство. Пусть   - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве   существует ограниченная метрика   соответственно.

Рассмотрим  .                                                               

Покажем:

1.   является метрикой на   и   .

2. топология, порожденная  метрикой  , совпадает с топологией произведения пространств  .

1. Проверим выполнимость  аксиом метрики.

1)  (так как   - метрика по условию).

2)  ,  .

Так как  ( -метрика по условию), то  , тогда  .

3) Докажем, что  .

,  ,  . Но так как выполняется неравенство  , то будет выполняться неравенство:

, тогда  .  

 Теперь докажем, что  .

, где   геометрическая прогрессия, а  , тогда  .

2. 1) Покажем, что каждое  множество  , открытое в топологии, индуцированной метрикой  , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку  . Существует такое  , что  . Далее достаточно найти положительное число   и открытые множества  , такие, что  .

Пусть  - положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.                                                                                                     

Для   положим   и   для  .

Для каждой точки    . Рассмотрим полученные суммы. Так как  , где   , то  . Так как   для любых  , то  . Тогда  , т.е.  . Таким образом  . Следовательно, множество   открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество   открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой  .

Требуется доказать, что  для любой точки   найдется такое  , что  .

Так как множество   открыто в топологии произведении, то   для некоторого множества  , где   - открыто в   и   для любого   и   для всех индексов   кроме конечного их числа. Поскольку   и   открыто в  , то   для конечного числа индексов, для которых  . Пусть   - наименьший из этих значений  . Докажем, что  . Возьмем произвольное  . Тогда  . Отсюда   для любого  . Это означает, что   для любого  . Получили  . Следовательно, множество   открыто в топологии, индуцируемой метрикой  . Теорема доказана.

2. Произведения топологических пространств

 

1. Пусть {Xα : α ∈ A}— декартово произведение некоторого множества множеств, т. е. множество всех таких отображений x: A → α∈A Xα, что x(α) ∈ Xα.

Если B ⊆ A, то определена естественная проекция pB :{Xα : α ∈ A} →{Xα : α ∈ B}, ставящая в соответствие точке произведения x (отображению x: A → α∈A Xα) её ограничение на множество B. Эту проекцию будем иногда обозначать такжечерез pA B. Если множество B состоит из одного элемента α, то отображение pB будем обозначать через pα.

Если x ∈ {Xα : α ∈ A}, то x(α) будем называть α-й координатой точки x и обозначать её иногда через xα.

2. Пусть теперь сомножители Xα произведения X = {Xα : α ∈ A} являются топологическими пространствами. Тогда на множестве X можно рассмотреть наименьшую топологию, относительно которой все проекции pα : X → Xα непрерывны (см. 1.6). Множество X с этой топологией и называется топологическим, или тихоновским, или просто произведением пространств Xα.

Согласно 1.6 предбазу пространства X образуют всевозможные множества вида p−1 α U, где U открыто в пространстве Xα, а базу, следовательно, — всевозможные конечные их пересечения p−1 α1U1 ∩...∩p−1 αsUs.

3. Предложение. Пусть X — топологическое произведение  пространств Xα, α ∈ A, и пусть f : Y → X — такое отображение, что все композиции pα ◦ f : Y → Xα непрерывны. Тогда отображение f также непрерывно.

4. Понятие категории. Пусть  C = {O,M}— класс элементов двух сортов. Элементы из O называются объектами, а элементы из M—морфизмами.

Для каждого морфизма f определена единственная упорядоченная пара (X, Y ) объектов, и f называется морфизмом из X в Y . В этой ситуации X иногда обозначают через domf, а Y — через rngf. Семейство всех морфизмов из X в Y обозначается через [X, Y ].

Семейство C = {O,M} называется категорией, если выполнены следующие условия:

а) для каждой пары морфизмов f и g c rngf = domg определён единственный морфизм h с domh = domf и rngh = rng g, называемый композицией морфизмов f и g и обозначаемый через g ◦ f;

б) для каждого объекта X ∈ O существует единственный морфизм из X в X, обозначаемый через idX, такой что idY ◦f = f = idX ◦f для всякого морфизма f : X → Y ;

в) (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) для  всякой тройки морфизмов с rngf = domg и rng g = domh.

5. Примерами категорий  являются топологические пространства  и непрерывные отображения, группы  и гомоморфизмы, линейные пространства и линейные отображения и т. д. Во всех этих категориях idX — это тождественное отображение объекта X, а композиции морфизмов суть обычные композиции отображений.

6. Пусть {Xα : α ∈ A}— некоторое множество объектов категории C. Объект X ∈ C и множество морфизмов pα : X → Xα, α ∈ A, категории C называется (категорным) произведением множества {Xα : α ∈ A}, если для всякого набора {Y,qα : Y → Xα} ⊆ C в категории C существует такой единственный морфизм h: Y → X, что pα ◦ h = qα для всех α ∈ A.

7. Из определения вытекает  единственность категорного произведения

с точностью до изоморфизма, т. е. морфизма f : X → Y , для которого существует такой морфизм g: Y → X, что g ◦ f = idX и f ◦ g = idY .

В самом деле, предположив  существование двух категорных произведений {X, pα} и {Y,qα}, получаем существование таких морфизмов g: X → Y и h: Y → X, что pα ◦ h = qα и qα ◦ g = pα. Рассмотрим композицию k = h ◦ g: X → X. Это такой морфизм, что pα ◦ k = pα ◦ (h ◦ g)=(pα ◦ h) ◦ g = qα ◦ g = pα. Но по определению произведения существует единственный морфизм k со свойством pα ◦k = pα. В то же время ясно, что таким морфизмом является idX. Значит, h◦ g = idX. Аналогично, g ◦h = idY , чем единственность произведения доказана.

В то же время произведение существует не во всякой категории. Одним из простейших примеров является категория, состоящая из двух пространств — «связного» и «слипшегося» двоеточий — и всех их непрерывных отображений.

8. Предложение. В категории  Top всех топологических пространств  и всех их непрерывных отображений категорное произведение существует и совпадает с тихоновским.

9. Предложение. Произведение  подпространств Yα ⊆ Xα, α ∈ A, совпадает с подпространством α∈A (p−1 α Yα) произведения{Xα : α ∈ A}.

10. Пусть fα : Xα →  Yα, α ∈ A, — отображения. Тогда отображение f : Xα → Yα, определяемое равенствами f(x)(α) = fαx(α), называется произведением отображений fα и обозначается через α∈A fα.

Произведение f непрерывных  отображений fα непрерывно в силу 2.3, поскольку qα ◦ f = fα ◦ pα, где qβ : Yα → Yβ — проектирование произведения на сомножитель.

11. Пусть fα : X → Yα,  α ∈ A, — отображения. Тогда отображение f : X → Yα, определяемое равенствами f(x)(α) = fαx, называется диагональным произведением отображений fα и обозначается через ∆ α∈A fα.

Диагональное произведение f непрерывных отображений fα непрерывно согласно 1.3, поскольку qα ◦ f = fα.

12. Первая теорема Тихонова. Произведение любого числа бикомпактных пространств бикомпактно.

13. Предложение. Произведение  хаусдорфовых (регулярных) пространств хаусдорфово (соответственно регулярно).

Из 12 и 13 вытекает следующее утверждение.

14. Следствие. Произведение  бикомпактов есть бикомпакт.

15. Предложение. Произведение  τ  ω0 штук пространств Xα  веса wXα τ имеет вес τ.

16. Бикомпакт Iτ, являющийся  произведением τ  ω0 экземпляров  отрезка I = [0; 1] числовой прямой, называется  тихоновским кубом веса τ. Легко видеть, что на самом деле вес тихоновского куба Iτ равен τ.

17. Топологическое пространство X называется Tρ-пространством, если для всякой точки x ∈ X и всякого не содержащего её непустого замкнутого множества F ⊆ X существует такая непрерывная функция ϕ: X → I, что ϕx = 0 и ϕF = 1.