Исследование влияния сжимаемости на величину баротермического эффекта при фильтрации газа

министерство общего и профессионального образования  российской федерации

стерлитамакский государственный  педагогический институт Кафедра теоретической  физики

 

МАРИО1980mail.ru

 

Исследование влияния  сжимаемости на величину баротермического эффекта при фильтрации газа

 

Дипломная работа

 

Научный руководитель: д.т.н., проф.

Филиппов А.И. ст. пр. Миколайчук Н.П.

 

 

Стерлитамак 2002

 

 содержание 

 

введение

глава 1. постановка задачи о температурном поле в нефтегазовом пласте

8 1.1. Уравнения состояния  реального газа

8 1.2. Основные уравнения,  описывающие процесс фильтрации  газа в пористой среде………………………………..…………………….11

1.3. Описание задачи 13

1.4. Математическая постановка  задачи 14

1.4.1. Математическая постановка  температурной задачи 14

1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи 15

1.5. Основные идеи метода  характеристик………………………….…15

1.6. Выводы………………………………………………………..……..22

 

Глава 2. Аналитическое решение  задачи о баротерми-ческом эффекте  для реальных уравнений состояния 23

2.1. Решение гидродинамической задачи 23

2.2. Решение температурной задачи 25

2.3. Выводы 27

Глава 3. Получение Аналитических  выражений решения задачи о баротермическом  эффекте с учетом барической сжимаемости 27

3.1. Решение гидродинамической задачи  для линеаризованного уравнения состояния 27

3.2. Температурная задача в линеаризованном  случае 28 3.3. Выводы 30

 

Глава 4.

анализ результатов расчетов и  Исследование температурных полей, возникающих при фильтрации газа 30

4.1. Анализ результатов расчетов  температурных полей 31

4.2. Изучение вклада сжимаемости  в величину баротермического  эффекта 38 4.3. Выводы 40

Заключение 41

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 42 ПРИЛОЖЕНИЯ 43

 

Введение

 Актуальность темы исследования. Одной из наиболее актуальных  проблем современной геофизики  является разработка теории температурных и гидродинамических полей при фильтрации газа. Они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, отыскание решений которых представляет значительные трудности. Особую значимость подобные задачи приобретают в связи с различными технологическими приложениями. Например, в последнее время возрос интерес к термическим исследованиям газовых пластов, как к одному из способов повышения эффективности газодобычи. На основании анализа температурных кривых выявляются интервалы притоков, заколонных перетоков, интервалов отложения газовых гидратов и т.д. Для решения практических задач необходимо знать зависимость температуры от расстояния; температуры от времени при различных параметрах пластов. Цель работы: Целью данной работы является разработка теории баротермического эффекта при фильтрации газа в прискважинной зоне газовых пластов и изучение вклада различных физических процессов. Задачами исследования являются - разработка математической модели термодинамических эффектов в прискважинной зоне газовых пластов; - постановка задачи о баротермическом эффекте в прискважинной зоне, построение аналитического решения; - проведение расчетов и анализ вклада различных физических процессов в температурное поле в прискважинной зоне; - изучение влияния сжимаемости на величину баротермического эффекта. Научная новизна: Впервые получено аналитическое решение нелинейной задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости, исследованы пространственно-временные распределения температурных полей при фильтрации газа в пористой среде; получены графики зависимости температуры от различных

 

параметров и изучен вклад сжимаемости. Практическая ценность заключается  в возможности использования  результатов исследований в физике пористых сред, в газодобывающей промышленности. - полученные аналитические зависимости позволяют произвести оценку эффективности фильтрации газа в конкретных условиях и выбирать оптимальный режим. - полученные результаты можно использовать для термического контроля за процессом фильтрации газа в пористой среде; - результаты работы позволяют оценивать эффективность фильтрации газа и с учетом полученных результатов корректировать последующую технологию воздействия. Краткая характеристика содержания работы: Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении обоснована актуальность темы дипломной работы, поставлены задачи исследования и приводятся краткие сведения по работе. В первой главе представлены основные уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористом пласте. Сформулирована физическая и математическая постановки температурной и гидродинамической задач. Во второй главе найдено решение гидродинамической задачи методом разделения переменных, методом характеристик построено решение температурной задачи и осуществлен анализ полученного аналитического решения на частных случаях. В третьей главе осуществлены численные расчеты тепловых полей с помощью программного пакета Mathcad. Описан анализ вклада различных физических процессов. В заключении подводятся итоги проведенного исследования. При выполнении работы оказали большую помощь д.т.н., проф. Филиппов А.И., ст. пр. Миколайчук Н.П., ст. лаб. Скворцова О.В. В связи с этим, хочу выразить им большую благодарность за оказанную помощь в выполнении дипломной работы, указание путей решения возникающих трудностей, советы по рациональной организации труда. СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ коэффициент температуропроводности, ; температура, ; давление, ; скорость фильтрации, ; скорость конвективного переноса тепла, ; Р=с с/cpl; m пористость; относительная вязкость газа, проницаемость, ; коэффициент сжимаемости, ; коэффициент теплопроводности, ; радиус контура питания, ; радиус скважины, ; плотность газа, ; коэффициент Джоуля Томсона, ; удельная теплоемкость газа насыщающего пористую среду, ; адиабатический коэффициент, ; время, ; глава 1. постановка задачи о температурном поле в нефтегазовом пласте

 

1.1. Уравнения состояния реального  газа Модель идеального газа  хорошо описывает свойства газообразного  состояния вещества при средних и высоких температурах (от комнатной и выше) и небольших давлениях (около атмосферного). Расчет свойств газов в широком интервале экспериментальных условий требует использования уравнения состояния реального газа[1]. Реальным газом называется газ, между молекулами которого существуют заметные силы межмолекулярного взаимодействия. Оно имеет электромагнитную и квантовую природу и осуществляется посредством сил межмолекулярного притяжения и отталкивания. Силы притяжения, проявляющиеся на расстояниях r между центрами молекул порядка 10-7 см, называются ван-дер-ваальсовыми силами. Они убывают с расстоянием r 7, что соответствует изменению потенциальной энергии по закону r 6. Различают три вида ван-дер-ваальсовых сил [7]: Ориентационные силы между двумя молекулами, обладающими постоянными дипольными моментами. Они стремятся расположить молекулы упорядоченно так, чтобы векторы дипольных моментов ориентировались вдоль одной прямой. Этому препятствует тепловое движение молекул. Индукционные

силы, возникающие между молекулами, обладающими высокой поляризуемостью. Если молекулы достаточно сближены, то под действием электрического поля одной из них в другой возникает индуцированный дипольный момент. Дисперсионные силы возникают в результате возбуждения колебаний электронов в молекуле (атоме) под влиянием колебаний электронов в другой молекуле (атоме). Колебания электронов соседних молекул происходят в одинаковой фазе и приводят к притяжению двух молекул (атомов). Величина дисперсионных сил определяется нулевой энергией молекул (атомов), если их колебания можно рассматривать как колебания линейных гармонических осцилляторов. Полная потенциальная энергия ван-дер-ваальсовых сил описывается суммой: U = Uор + Uинд + Uдисп.(I.1.1)Для полярных молекул основную роль играют ориентационные силы притяжения, для остальных молекул дисперсионные силы. Энергия ван-дер-ваальсового притяжения составляет (0,1 1) ккал/моль [7]. В большинстве случаев ван-дер-ваальсовы силы притяжения перекрываются значительно превосходящими их химическими валентными силами притяжения с энергиями порядка (10 100) ккал/моль. Согласно упрощенной модели ван-дер-ваальсовых сил, молекулы газа абсолютно упругие шары притягиваются с силами, достигающими наибольшего значения при непосредственном их соприкосновении. Силы отталкивания проявляют себя на значительно меньших расстояниях. Для описания свойств реальных газов применяют различные уравнения состояния, отличные от уравнения Клапейрона-Менделеева. Наиболее удобны двухпараметрические уравнения, разрешимые относительно давления и содержащие объем в третьей степени (кубические уравнения состояния). Первое такое уравнение было предложено Ван-дер-Ваальсом в 1873 г. Уравнение Ван-дер-Ваальса состояния реального газа имеет следующий вид [7]: ,(I.1.2)где V0 объем 1 моля газа, а внутреннее давление, обусловленное силами притяжения между молекулами, b поправка за собственный объем молекул, учитывающая действие сил отталкивания между молекулами и равная учетверенному объему молекул в 1 моле газа: ,(I.1.3) .(I.1.4) Здесь NA число Авогадро, d диаметр молекулы, U(r) потенциальная энергия притяжения двух молекул. Уравнение состояния Бертло (1900г.): .(I.1.5)Здесь а и b связаны с параметрами критического состояния (в критической точке) соотношениями [8]: .(I.1.6)Уравнение состояния Вукаловича и Новикова [7]: .(I.1.7)Здесь B1, B2 и т.д. так называемые вириальные коэффициенты весьма сложного вида. Их вычисление производится с учетом ассоциации молекул объединения под влиянием ван-дер-ваальсовых сил притяжения. Уравнение состояния Майера [7]: ,(I.1.8)где: di=dqi1*...dqin. Здесь Uпij взаимная потенциальная энергия i-й и j-й молекул, взаимодействующих по закону центральных сил, qi1,......,qin обобщенные координаты i-той молекулы, обладающей n степенями свободы.

 

Уравнение Камерлинг-Оннеса (1901) [8]: (I.1.9)где , . Уравнение Редлиха-Квонга (1949 г.) [8]: (I.1.10)Здесь 0,42748·R2·T2,5k/Pk, b = 0,08664·R·Tk/Pk. Уравнение Редлиха-Квонга считается наилучшим двухконстантным уравнением. При его выводе авторы не руководствовались какими-то определенными теоретическими обоснованиями [8]. Это уравнение следует рассматривать как произвольную, но удачную эмпирическую модификацию предшествующих уравнений состояния. Уравнение Мартина (1967 г.) [8]: ,(I.1.11)где 27·R2·T2k/(64Pk), b = R·Tk/(8Pk).

 

1.2. Основные уравнения,  описывающие процесс фильтрации  газа в пористой среде 

 

В последнее время наблюдается  рост

 

интереса к различным термодинамическим  эффектам в пористых средах. Это  связано с их многообразными практическими  приложениями[4,5]. Особую важность упомянутые проблемы имеют в физике нефтегазоносных пластов. Поля давления в нефтегазоносных пластах в условиях разработки, как правило, нестационарны. Дросселирование нефти и газа приводит к проявлению баротермического эффекта изменению температуры при течении нефти или газа в пористой среде в нестационарном поле давления. Величина барометрического эффекта в отличие от эффекта Джоуля Томсона, наблюдающегося при стационарном дросселировании, зависит от коллекторских свойств пористой среды, времени, геометрии течения и других факторов. Эти особенности баротермического эффекта обеспечивают возможность его практического применения при исследовании скважин и пластов. В основу исследований положена полная система уравнений для - той фазы (компонента), описывающих баротермический эффект. Ядром этой системы является уравнение для температуры с учетом термодинамических эффектов высокого порядка [9] (I.2.1)где первое слагаемое в левой части уравнения (I.2.1) описывает изменение температуры в пласте со временем, второе за счет конвекции (перемещения больших объемов газа). Первое слагаемое в правой части ответственно за теплопроводность, второе за межфракционный теплообмен, третье описывает адиабатический эффект, четвертое эффект Джоуля-Томсона и пятое влияние поля тяготения Земли. Вторым уравнением системы является уравнение неразрывности, которое записывается в виде: .(I.2.2)Фильтрация газа подчиняется закону Дарси .(I.2.3)К системе добавляется уравнение состояния .(I.2.4)Система (I.2.1)-(I.2.4) является нелинейной, кроме того, уравнения (I.2.1)-(I.2.2) являются взаимосвязанными.

 

1.3. Описание задачи Рассмотрим  температурную задачу в полярной  системе координат, где среда  представлена одной бесконечной  областью (рис.1). Область является  пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения газа из бесконечности к скважине радиуса , ось которой совпадает с осью

 

Рис. 1. постановка задачи

 

При описании температурной задачи примем следующие допущения: - пористый пласт считается однородным и изотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам; - давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными; - породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и однородными по своим теплофизическим свойствам; - температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают; - естественное тепловое поле Земли считается стационарным; - пласт расположен на глубине порядка 1 2 км, поэтому суточные и сезонные колебания температуры не достигают пласта; - адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем пренебрегаем.

 

1.4. Математическая постановка задачи 

 

Математическая постановка задачи включает температурную задачу, гидродинамическую  задачу, уравнение состояния и  соотношение для поля скорости конвективного  переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие постановки задач. 1.4.1. Математическая постановка температурной задачи

 

Математическая постановка задачи для всех областей представляется уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с учетом закона фильтрации Дарси: .(I.4.1.1)Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры: начальном ,(I.4.1.2)и граничном .(I.4.1.3)1.4.2. Математическая

 

постановка гидродинамической задачи

 

Математическая постановка гидродинамической  задачи в полярной системе координат  примет следующий вид. Учитывая, что  для осесимметричного течения поле давления является функцией координаты r уравнение можно представить  в виде: ,(1.4.2.1)Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть PC давление на границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура питания ,(1.4.2.2)давление поддерживается равным Рс: ,(1.4.2.3)Pс давление на контуре питания. При значении радиуса, равном радиусу скважины ,(1.4.1.3)давление поддерживается равным PW: ,(1.4.1.4)где PW давление в скважине.

 

1.4. Основные идеи метода характеристик[6]

 

В данном разделе рассмотрим метод  характеристик. Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде: (1.4.1)где а, b, с, d, e, f, g заданные непрерывные функции от x и y (или в частном случае, постоянные). Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных: (1.4.2)Здесь и новые независимые переменные. Функции и , связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно х и у; это надо понимать следующим образом: если функции и и отображают некоторую область G плоскости Оху в область G* плоскости O, то при этом каждой точке ( ,) области G* соответствует только одна точка области G (иначе говоря, отображение области G на G*, даваемое функциями и , является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы якобиан преобразования (т. е. определитель ) нигде в области G не обращался в нуль. Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции u по х и у через производные от и по и : (1.4.31) (1.4.32)Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от двух переменных (здесь u зависит от и , которые, в свою очередь, зависят от x и у). Для того чтобы выразить , через производные по и , учтем формулу (1.4.31) и применим снова правило дифференцирования сложной функции: Следовательно, (1.4.41)Аналогично найдем: (1.4.42) (1.4.43)Правые части равенств (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43) представляют собой линейные функции относительно частных производных , Подставляя u'x, u'y, u'xx,... из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с неизвестной функцией и и независимыми переменными и : (1.4.5)где (1.4.5)a функция, линейная относительно и , u , u . Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных подобрав функции и так, чтобы они являлись решениями уравнения: (1.4.6)Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения. Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство (1.4.7)было общим интегралом уравнения (1.4.8)в той же области G. Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у) решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у)