Проверка статистических гипотез
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Июля 2013 в 10:18, курсовая работа
Краткое описание
В настоящее время отмечены стремительным расширением области применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они применяются в различных науках: физике, техники, геологии, биологии, лингвистике, медицине, социологии, управлении и т.д. Методы математической статистики используются при принятии решения в условиях неопределенности. Один из основных разделов статистики - теория проверки статистических гипотез. Понятие практической статистики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных статистических параметров анализируемого явления с имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).
Содержание
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................ 4
1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ .......................................... 6
1.1 Статистические гипотезы ........................................................................... 6
1.2 Сравнение центров двух выборочных распределений ........................... 6
1.3 Сравнение центров нескольких выборочных распределений ................ 7
1.4 Сравнение выборочных дисперсий ........................................................... 8
1.5 Правило объединения выборок ............................................................... 10
2. ВЫБОР ТЕХНОЛОГИИ, ЯЗЫКА И СРЕДЫ РАЗРАБОТКИ ................ 13
2.1 Концепция объектно-ориентированного программирования .............. 13
2.2 Выбор языка программирования, среды разработки ............................ 14
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ПРОГРАМНОГО ПРОДУКТА ........... 18
5. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР ....................................................................... 20
5.1 Сравнение средних арифметических двух выборок ............................. 20
5.2 Сравнение выборочных дисперсий при помои критерия Фишера ...... 21
5.3 Объединение выборок .............................................................................. 21
5.4 Метод Тьюки ............................................................................................. 22
5.5 Критерий Кохрена. .................................................................................... 23
5.6 Критерий Батлетта. ................................................................................... 25
5.7 Определение границ существования математического ожидания ...... 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................... 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .
Вложенные файлы: 1 файл
Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко
Инженерно-технический институт
Кафедра информационных технологий и автоматизированного
управления производственными процессами
КУРСОВАЯ РАБОТА
по специальности
тема: «
ПРОВЕРКА СТАТЕСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
»
Работу выполнил
студент группы
ИТ09Др62ИВ1
Голованенко К.
Руководитель
Бабич А. П.
Тирасполь, 2013
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................ 4
1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.......................................... 6
1.1 Статистические гипотезы........................................................................... 6
1.2 Сравнение центров двух выборочных распределений ........................... 6
1.3 Сравнение центров нескольких выборочных распределений................ 7
1.4 Сравнение выборочных дисперсий........................................................... 8
1.5 Правило объединения выборок ............................................................... 10
2. ВЫБОР ТЕХНОЛОГИИ, ЯЗЫКА И СРЕДЫ РАЗРАБОТКИ................ 13
2.1 Концепция объектно-ориентированного программирования.............. 13
2.2 Выбор языка программирования, среды разработки ............................ 14
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ПРОГРАМНОГО ПРОДУКТА........... 18
5. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР....................................................................... 20
5.1 Сравнение средних арифметических двух выборок ............................. 20
5.2 Сравнение выборочных дисперсий при помои критерия Фишера...... 21
5.3 Объединение выборок.............................................................................. 21
5.4 Метод Тьюки ............................................................................................. 22
5.5 Критерий Кохрена..................................................................................... 23
5.6 Критерий Батлетта.................................................................................... 25
5.7 Определение границ существования математического ожидания...... 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................... 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................. 30
ПРИЛОЖЕНИЕ............................................................................................... 31
4
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время отмечены стремительным расширением области
применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они
применяются в различных науках: физике, техники, геологии, биологии,
лингвистике, медицине, социологии, управлении и т.д. Методы математической
статистики используются при принятии решения в условиях неопределенности.
Один из основных разделов статистики - теория проверки статистических
гипотез. Понятие практической статистики, процедура обоснованного
сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины
неизвестных статистических параметров анализируемого явления с
имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными
(выборкой).
Статистическая проверка гипотез проводится с помощью некоторого
статистического критерия по общей логической схеме, включающей
нахождение конкретного вида функции от результатов наблюдения
(критической статистики), на основании которой принимается окончательное
решение. Например, могут рассматриваться гипотезы об общем законе
распределения исследуемой случайной величины, об однородности двух или
нескольких обрабатываемых выборок, о числовых значениях параметров
исследуемой генеральной совокупности и др. Результат проверки может быть
либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе),
либо неотрицательным. В первом случае гипотеза ошибочна, во втором – ее
нельзя считать доказанной: просто она не противоречит имеющимся
выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с ней обладать
и другие гипотезы. Для статистической проверки гипотез используются разные
критерии. В частности, когда проверяется согласие между выборочным и
гипотетическим распределениями, используется критерий согласия, например,
критерий Пирсона «хи-квадрат», критерий Колмогорова-Смирнова и др.
5
Статистические критерии приводятся вместе с указанием как тех
областей, где их применение вполне оправдано, так и тех областей, где
применение требует осторожности. Большое внимание уделено построению
критериев, в том или ином смысле наилучших.
Цель работы - привить навыки по обработке экспериментальных данных,
представленных несколькими выборками сравнительно небольшого объема,
доказательства гипотез о равенстве их средних арифметических и дисперсий, а
также о возможности их объединения в одну выборку суммарного объема.
Поставленная цель определила задачи работы:
1. Определить сущность, понятие проверки статистических гипотез.
2. Рассмотреть этапы проверки статистических гипотез.
3. Рассмотреть критерии проверки статистических гипотез и применить
их на практике.
4. Ознакомиться с различными проверками статистических гипотез.
5. Определение актуальности данной тематики и возможности ее
перехода в ВКР, ее практической или научной значимости;
6. Создание структуры ПО и необходимой сопроводительной
документации.
Структура работы: данная работа состоит из введения, пяти глав,
заключения, списка литературы и приложения. Во введении изложен ход
предстоящей работы. 1 глава содержит теоретическое описание общих понятий
проверки статистических гипотез. Во 2 главе выбирается и обосновывается
выбор технологии, языка программирования и среды разработки для ПО. В
третьей главе описан алгоритм ПО. В четвертой приведены расчеты проверок
различных типов статистических гипотез. В заключении подведены итоги
работы, сделаны выводы. Список литературы включает литературные
источники, используемые в ходе работы. В приложении представлен материал,
необходимый для проверки статистических гипотез.
6
1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
1.1 Статистические гипотезы
Под статистическими гипотезами понимаются некоторые предположения
относительно
характера
распределения
вероятностей
генеральных
совокупностей и их параметров.
Проверка
гипотезы
заключается
в сопоставлении
некоторых
статистических показателей (критериев проверки), вычисленных по данным
выборки, со значением этих показателей, определенных теоретически в
предположении, что гипотеза верна. Как правило, одновременно проверяются
две гипотезы - нулевая (обозначается Н
0
) и альтернативная (обозначается H
1
).
Нулевая гипотеза заключается в утверждении равенства чего-то чему-то,
например, запись Н
0
:
X
= М[X] означает нулевую гипотезу, состоящую в
утверждении
равенства
выборочного
среднего
арифметического
математическому ожиданию генеральной совокупности. Альтернативная гипо-
теза, напротив, заключается в утверждении неравенства этих же величин, чему
соответствует запись
X
M
H
1
.
При проверке гипотезы предварительно задаются некоторым уровнем
значимости q (обычно q=1, 2 или 5 %), то есть степенью риска, при котором
может быть принята неправильная гипотеза. Тогда вероятность попадания
критерия проверки в область допустимых значений (доверительная
вероятность) равна Р
дов
= = 1 - q /100. Если значения критерия, вычисленные по
данным выборкам, окажутся в критической области, то нулевая гипотеза Н
0
бракуется и принимается альтернативная гипотеза H
1
. При значении критерия,
принадлежащих области допустимых значений, ничего нельзя утверждать
категорически, а можно лишь сделать заключение, что данные выборки не
противоречат нулевой гипотезе Н
0
.
1.2 Сравнение центров двух выборочных распределений
7
Одна
из
наиболее часто встречающихся задач статистической
проверки гипотез заключается в сравнении центров распределений двух
нормально распределенных величин X
1
и Х
2
, то есть
Н
0
:
2
1
X
X
;
2
1
1
:
X
X
H
.
Для ее решения предварительно определяются оценки математического
ожидания, (средние арифметические)
1
X
и
2
X
, а также эмпирические
дисперсии
2
1
S
и
2
2
S
, а в качестве критерия берется t-распределение Стьюдента
2
1
2
1
2
2
1
n
n
n
n
S
X
X
t
(1.1)
где
)1
(
)1
(
)1
(
)1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
S
n
S
n
S
- средневзвешенная дисперсия с числом
степеней свободы
2
2
1
n
n
, а
1
n
и
2
n
- соответствующие объемы выборок.
По таблице критических значений (таблице 5 Приложения ) для
выбранного уровня значимости q находим t
табл
(q,v). Если t < t
табл
,то гипотеза
Н
0
о равенстве центров распределения принимается, если нет - отвергается и
принимается альтернативная гипотеза
1
H
.
С помощью критерия Стьюдента можно решать задачи не только о
равенстве (неравенстве) центров распределения двух выборок, но и о равенстве
(неравенстве) центра распределения выборки некоторому числу (в том числе и
нулю), а также о доверительных границах и интервалах.
1.3 Сравнение центров нескольких выборочных распределений
Если встречается задача о сравнении центров нескольких выборочных
распределений, то ее можно решить поочередным сравнением центра каждой
выборки всеми другими с помощью критерия Стьюдента. Однако эта
достаточно длительная процедура может быть сокращена с помощью одного из
методов множественных сравнений. Рассмотрим один из наиболее простых
таких методов - метод Тьюки.
8
Пусть имеются k выборок одинакового объема n, имеющих свои
cpeдние арифметические
j
X
и эмпирические дисперсии S
2
j
. Тогда в случае,
если выборки взяты из нормальных совокупностей, существует некоторый
интервал
S
T
, внутри которого центры выборок статистически неразличимы
n
S
k
q
Q
S
T
2
)
;
;
(
(1.2)
где Q(q; k; v) = R/S = (
min
max
X
X
) / S - стьюдентизированный размах
(таблица 4 Приложения );
k
j
j
S
k
S
1
2
2
)
/1
(
- средняя выборочная дисперсия с v = k(n-1) числом
степеней свободы.
1.4 Сравнение выборочных дисперсий
Весьма часто встречается задача о равенстве двух выборочных
(эмпирических) дисперсий, когда надо определить, взять ли две выборки из
двух генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями (или даже из
одной генеральной совокупности). По данным двух выборок находят
эмпирические дисперсии (оценки дисперсий) S
2
1
с v
1
=
1
1
n
степенью свободы
и S
2
2
с v
2
=
1
2
n
степенью свободы. В этом случае нулевая гипотеза,
подлежащая проверке, запишется как H
0
: S
2
1
= S
2
2
, а альтернативная ей как Н
1
:
S
2
1
S
2
2
.
Для проверки нулевой гипотезы составляют дисперсионное отношение
2
2
2
1
/ S
S
F
,
(1.3)
которое представляет собой F-распределение Фишера. При этом в
числитель всегда следует ставить большую дисперсию, так как теоретически
распределение F всегда больше единицы.
Затем по выбранному уровню
значимости q и степеням свободы
1
и
2
находим табличное (критическое)
значение
табл
F
(q;
1
,
2
) (таблица 6 Приложения ).
9
Если F
табл
F
. То нулевая гипотеза
Н
0
о равенстве выборочных
дисперсий принимается, если F >
табл
F
, то нулевая гипотеза Н
0
отвергается и
принимается альтернативная гипотеза
1
H
.
Критерий Фишера используется при проверке точности измерений одних
и же величин в разных сериях опытов или разными операторами, приборами и
т.п.
Иногда в статистических расчетах приходится иметь дело с несколькими
выборками, относительно которых надо решить вопрос об однородности их
эмпирических дисперсий. Другими словами, надо решить вопрос, в одинаковых
ли условиях (с одинаковой ли точностью, погрешностью) получены выборки и,
следовательно можно ли сравнивать их между собой.
Для проверки гипотезы об однородности эмпирических дисперсий
следует пользоваться критерием Кохрена, который основан на законе
распределения отношения максимальной эмпирической дисперсии
max
2
j
S
к
сумме всех дисперсий, то есть
k
j
j
j
S
S
G
1
2
max
2
.
(1.4)
Это распределение имеет степени свободы v
1
=
1
1
n
(где n - объем одной
выбор и v
2
= k, (где k - число выборок) и меняется в пределах 0 < G < 1.
Важным условием применения критерия Кохрена является одинаковый объем n
во всех k выборках. Затем по выбранному уровню значимости q и степеням
свободы
1
и
2
входим таблицу критических значений (таблица 3 Приложения
) и определяем
(
табл
G
q;
1
;
2
). Если вычисленное значение G
табл
G
, то
принимается нулевая гипотеза
2
2
2
2
2
1
0
:
k
j
S
S
S
S
H
об одинаковости
(однородности, статистической
неразличимости) всех эмпирических
дисперсий. В этом случае можно считать, что любая выборка имеет среднюю
дисперсию
10
k
j
j
S
k
S
1
2
2
)
/1
(
.
(1.6)
Если выполняется соотношение G >
табл
G
, то нулевая гипотеза
отвергается и принимается альтернативная
2
max
2
2
2
2
1
1
:
j
k
S
S
S
S
H
, то есть
максимальная дисперсия существенно отличается от остальных.
В случаях, когда приходится решать вопрос об однородности
эмпирических дисперсий нескольких выборок неодинакового объема из
нормально распределенных генеральных совокупностей, следует прибегать к
критерию Бартлетта
k
j
j
j
p
S
S
C
Q
1
2
2
ln
ln
1
,
(1.5)
где
k
J
j
k
C
1
)
/1(
)
/1(
)1
(3
1
1
- поправочный коэффициент;
2
1
2
)
/1
(
j
k
j
j
p
S
S
- средневзвешенная дисперсия;
k
j
j
1
- число степеней свободы всех выборок;
2
j
S
и
1
1
n
j
- дисперсия и число степеней свободы j-й выборки.
Поскольку критерий Бартлетта Q распределяется по закону
2
,то
вычисленное по формуле (2.5) значение сравнивается с табличным
)
;
(
2
k
тадл
q
или
2
табл
(Р
ДОВ
,
k
), где v
2
=k - 1 (таблица 5).
Если Q
2
табл
,то принимается нулевая гипотеза
2
2
2
2
2
1
0
:
k
j
S
S
S
S
H
.
В этом случае впредь вместо любой дисперсии можно использовать
средневзвешенную S
2
p
с ее числом степеней свободы v. Если Q >
2
табл
или Q < 0,
то принимается альтернативная гипотеза
1
H
, которая утверждает, что по
крайней мере одна из дисперсий (либо самая маленькая, либо самая большая)
существенно отличаются от остальных.
1.5 Правило объединения выборок
11
Всегда следует стремиться иметь выборку как можно большего объема.
Это объясняется тем, что при выборках малого объема чрезмерно велики
ошибки (статический разброс) выборочных параметров, особенно дисперсий,
что может приводить к неточностям при принятии решений, а то и прямо к
неверным
решениям.
Так,
статистический
разброс
выборочного
среднеквадратичного отклонения (СКО) в относительных единицах может быть
подсчитан как
4.
1
2
1
)
(
n
S
.
(1.6)
Другими словами, ошибка в определении СКО может достигать
Две и более выборок могут быть объединены в одну выборку суммарного
объема тогда и только тогда, когда одновременно доказаны статистическая
неразличимость их дисперсий и средних арифметических. При этом параметры
объединенной выборки могут быть подсчитаны непосредственно или по
формулам
j
k
j
j
j
n
X
n
X
1
,
(1.7)
k
J
j
j
j
j
k
j
n
n
X
X
S
S
1
2
2
1
2
)
(
.
(1.8)
Объем выборки, n
10
20
50
100
500
Относительная ошибка,
%
100
/)
(
S
23,2
16,1
10,1
7,1
3,2
Таблица 1.Относительная ошибка при различных объемах выборок
.
12
где
j
X
,
2
j
S
, n
j
- средняя арифметическая, выборочная дисперсия и объем
j-й выборки соответственно.
13
2. ВЫБОР ТЕХНОЛОГИИ, ЯЗЫКА И СРЕДЫ РАЗРАБОТКИ
2.1 Концепция объектно-ориентированного программирования
Для реализации программы планируется использовать объектно-
ориентированное программирование.
Объектно-ориентированное программирование или ООП (object-oriented
programming) —методология программирования, основанная на представлении
программы в виде совокупности объектов, каждый из который является
реализацией
определенного типа,
использующая
механизм пересылки
сообщений и классы, организованные в иерархию наследования.
Первым бросающимся в глаза отличием ООП от структурного
программирования является использование классов. Класс - это тип,
определяемый программистом, в котором объединяются данные и функции их
обработки.
В наиболее общей и классической постановке объектно-ориентированный
подход базируется на концепциях:
- объекта и идентификатора объекта;
- атрибутов и методов;
- классов;
- иерархии и наследования классов.
Любая сущность реального мира моделируется в виде объекта. Любой
объект при своем создании получает генерируемый системой уникальный
идентификатор, который связан с объектом во все время его существования и
не меняется при изменении состояния объекта.
Каждый объект имеет состояние и поведение. Состояние объекта - набор
значений его атрибутов. Поведение объекта - набор методов (программный
код), оперирующих над состоянием объекта. Значение атрибута объекта - это
тоже некоторый объект или множество объектов. Состояние и поведение
объекта инкапсулированы в объекте; взаимодействие между объектами
14
производится на основе передачи сообщений и выполнении соответствующих
методов.
Множество объектов с одним и тем же набором атрибутов и методов
образует класс объектов. Допускается порождение нового класса на основе уже
существующего класса - наследование. В этом случае новый класс, называемый
подклассом существующего класса (суперкласса) наследует все атрибуты и
методы суперкласса. В подклассе, кроме того, могут быть определены
дополнительные атрибуты и методы.
Различаются случаи простого и множественного наследования. В первом
случае подкласс может определяться только на основе одного суперкласса, во
втором случае суперклассов может быть несколько. Если в языке или системе
поддерживается единичное наследование классов, набор классов образует
древовидную иерархию.
Одной из более поздних идей объектно-ориентированного подхода
является идея возможного переопределения атрибутов и методов суперкласса в
подклассе (перегрузки методов).
Таким образом, все эти свойства и дали преимущество объектно-
ориентированной технологии. Этот подход является наиболее гибким и
удобным в настоящее время.
2.2 Выбор языка программирования, среды разработки
В соответствие с заданием языком программирования был выбран С#,
среда разработки Visual Studio 2008.
Язык C# является наиболее известной новинкой в области создания
языков программирования. Явившись на свет в недрах Microsoft, он с первых
своих шагов получил мощную поддержку. Язык признан международным
сообществом.
. Компиляторы Microsoft строятся в соответствии с международными
стандартами языка.
15
Язык C# является молодым языком и продолжает интенсивно
развиваться. Каждая новая версия языка включает принципиально новые
свойства. Не исключением явилась и версия 3.0, рассматриваемая в данном
учебном курсе.
Руководителем группы, создающей язык C#, является сотрудник
Microsoft Андреас Хейлсберг. Как отмечал сам Андреас Хейлсберг, C#
создавался как язык компонентного программирования, и в этом одно из
главных достоинств языка, направленное на возможность повторного
использования созданных
компонентов.
Создаваемые компилятором
компоненты являются само документируемыми, помимо кода содержат
метаинформацию, описывающую компоненты, и поэтому могут выполняться
на различных платформах.
Отметим следующие важные факторы, которые повлияли на выбор
данного языка программирования:
- C# создавался и развивается параллельно с каркасом Framework.Net и в
полной мере учитывает все его возможности;
- C# является полностью объектно-ориентированным языком;
- C# является мощным объектным языком с возможностями наследования
и универсализации;
- C# является наследником языка C++. Общий синтаксис, общие
операторы языка облегчают переход от языка С++ к C#.Сохранив основные
черты своего родителя, язык стал проще и надежнее;
-
Благодаря каркасу Framework .Net, ставшему надстройкой над
операционной системой, программисты C# получают преимущества работы с
виртуальной машиной. Framework .Net поддерживает разнообразие типов
приложений на C#;
- Реализация, сочетающая построение надежного и эффективного кода,
является немаловажным фактором, способствующим успеху C#.
Как уже отмечалось, принципиальной новинкой этой версии является
возможность построения новых типов программных проектов, что
16
обеспечивается новой версией каркаса Framework .Net 3.5. Если не считать этой
важной особенности, то идейно Visual Studio 2008 подобна предыдущим
версиям Visual Studio 2005 и Visual Studio 2003.
Основной причиной выбора Visual Studio 2008 является ее открытость.
Это означает, что наряду с языками программирования, включенными в среду
фирмой Microsoft в среду могут добавляться любые языки программирования,
компиляторы которых создаются другими фирмами.
Открытость среды не означает полной свободы. Все разработчики
компиляторов при включении нового языка в среду разработки должны
следовать определенным ограничениям. Главное ограничение, которое можно
считать и главным достоинством, состоит в том, что все языки, включаемые в
среду разработки Visual Studio .Net должны использовать единый каркас –
Framework .Net. Благодаря этому достигаются многие желательные свойства:
легкость использования компонентов, разработанных на различных языках;
возможность разработки нескольких частей одного приложения на разных
языках; возможность бесшовной отладки такого приложения; возможность
написать класс на одном языке, а его потомков — на других языках. Единый
каркас приводит к сближению языков программирования, позволяя вместе с
тем сохранять их индивидуальность и имеющиеся у них достоинства.
Преодоление языкового барьера – одна из важнейших задач современного
мира. Visual Studio .Net, благодаря единому каркасу, в определенной мере
решает эту задачу в мире программистов.
Объем занимаемой памяти на диске составляет 228 КБ (233 472 байт).
Основные
конструктивные,
технологические
и
технико-
эксплуатационные характеристики ЭВМ:
- процессор с тактовой частотой 1 ГГц или выше;
- операционная система Microsoft Windows ХР с пакетом обновления 2
(SP2) или более поздние версии Windows;
- емкость оперативной памяти не меньше 256 Мб;
17
- свободное место на винчестере 20 Гб (включая 2 Гб, на котором
установлена операционная система).
18
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ПРОГРАМНОГО ПРОДУКТА
Для начала рассмотрим этапы проверки гипотезы:.
1) Формулируется проверяемая гипотеза Н
0
.
2) Выбирается критерий проверки - X.
3) Выбирается уровень значимости α и критическая область Q, так,
чтобы условная вероятность попадания критерия в Q при условии
справедливости гипотезы равнялась α, т.е. Р{X Ε Q/H
0
) = α.
4) Выполняем эксперимент и находим экспериментальное значение
критерия Х
э
.
5) Если критерий не попадает в критическую область, гипотеза
принимается, если X Ε Q, то отвергается.
Исходные выборки пользователь может вводить вручную или
импортировать из приложения Excel.
Результат оформляется так: гипотеза Н
0
проверена по критерию Х на
уровне значимости α и принята (или отвергнута).
На рисунке 1 показана структурная схема приложения.
19
да
нет
нет
да
Рисунок 1. Алгоритм программного продукта
Вывод о верности гипотезы
Ввод k (число выборок)
Формируем
гипотезу
Критерийt-
распределение
Стьюдента
Критерий
Кохрена
Сравнение
среднеарифметических
выборок
Ввод (импорт) исходных
выборок
Сравнение выборочных
дисперсий выборок
𝑘 > 2
Выборки
одного
объема
МетодТьюки
𝑘 > 2
Критерий
Фишера
Критерий
Батлетта
20
5. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР
5.1 Сравнение средних арифметических двух выборок
Для сравнения среднего арифметического двух выборок, воспользуемся
критерием Стьюдента. Из исходной выборки (таблица 1 Приложение) выделяем
с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел (таблица 8
Приложение) две частные выборки, объемами n
1
=12 и n
2
=16.
Таблица 2. Исходные выборки
X1
223 217 343 213 151 193 158 255 273 243 197 144
X2
299
153
254 204 299 241 153 245 197 243 175 222 261 309 274 209
Теперь докажем для этих выборок статистическую неразличимость
(различимость) средних арифметических, то есть необходимо принять или
опровергнуть следующие гипотезы:
Н
0
:
2
1
X
X
;
2
1
1
:
X
X
H
.
Для этого определим параметры выборок
𝑋
1
, 𝑋
2
,𝑆
1
2
,𝑆
2
2
.
Для определения
среднего арифметического воспользуемся формулой:
𝑋 =
1
𝑛
𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
;
𝑋
1
= 217,5;
𝑋
2
= 233,625.
Для определения выборочной дисперсии воспользуемся формулой:
𝑆
1
2
=
1
𝑛−1
(𝑥
𝑖
− 𝑋)
2
𝑛
𝑖=1
:
𝑆
1
2
= 3211,182 ;
𝑆
2
2
= 2446,25.
В качестве критерия возьмем t-распределение Стьюдента:
𝑡 =
|𝑋
1
−𝑋
2
𝑆
2
𝑛
1
∗𝑛
2
𝑛
1
+𝑛
2
,
21
где
𝑆
2
=
𝑛
1
−1 ∗𝑆
1
2
+ 𝑛
2
−1 ∗𝑆
2
2
𝑛
1
−1 +(𝑛
2
−1)
- средневзвешенная дисперсия с числом
степеней свободы
𝜗 = 𝑛
1
+ 𝑛
2
− 2
, а
𝑛
1
и
𝑛
2
– соответствующие объемы
выборок. В нашем случае
𝑛
1
=12
и
𝑛
2
=16
.
𝜗 = 12 + 16 − 2 = 26 ,
𝑆
2
=
12−1 ∗3211,182+ 16−1 ∗2446,25
12−1 +(16−1)
= 2769,875;
𝑡 =
217,5−233,625
2769,875
12∗16
12+16
= 0,8023.
После вычислений получили:
t=0,8023
, а
t
таб
= 2,059
(таблица 5
Приложение). Т.к.
t < t
таб
, то принимаем гипотезу о статистической
неразличимости средних арифметических этих выборок.
5.2 Сравнение выборочных дисперсий при помои критерия Фишера
Для сравнения выборочных дисперсий воспользуемся критерием Фишера.
В этом случае нулевая гипотеза, подлежащая проверке, запишется как H
0
: 𝑆
1
2
=
𝑆
2
2
, а альтернативная ей H
1
:
𝑆
1
2
≠ 𝑆
2
2
.
Для проверки
нулевой
гипотезы составляем дисперсионное
отношение
𝐹 =
𝑆
1
2
𝑆
2
2
, которое представляет собой F-распределение Фишера;
𝐹 =
3211,182
2446,25
= 1.312696
.
F
таб
=2,54 (таблица 6 Приложение) при степенях свободы
𝜗
1
= 𝑛
1
− 1 = 11
и
𝜗
2
= 𝑛
2
− 1 = 15
.
Т.к.
F < F
таб
, то мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. гипотезу о
равенстве выборочных дисперсий.
5.3 Объединение выборок
Т. к. мы доказали статистическую неразличимость дисперсий и средних
арифметических данных двух выборок, то мы можем их объединить. Параметра
объединенной выборки подсчитаем непосредственно и по формулам:
𝑋 =
𝑛
𝑗
𝑋
𝑗
𝑘
𝑗=1
𝑛
𝑗
𝑘
𝑗=1
;
22
𝑆
2
=
𝑆
𝑗
2
+(𝑋
𝑗
−𝑋)
2
𝑘
𝑗=1
𝑛
𝑗
𝑘
𝑗=1
,,
где
,
,
— среднее арифметическое, выборочная дисперсия и
объем j-й выборки соответственно.
Параметры подсчитанные непосредственно:
𝑋 = 226,7143 , 𝑆
2
= 2733,323.
Параметры подсчитанные по формулам:
𝑋 =
12∗217.5 +(16∗233.625)
12+16
= 226,7143 ,
𝑆
2
=
3211,182+ 217.5−226.7143
2
∗12+ 2446.25+ 233.625−226.7143
2
∗16
12+16
= 2837,755 .
Сравнение полученных
результатов показывает, что
средние
арифметические совпадают практически полностью, в то время как дисперсии в
пересчете на среднеквадратическое отклонение дают разницу в 1,88%, что
вполне допустимо для нашего объема.
5.4 Метод Тьюки
Для доказательства статической различимости (неразличимости) средних
арифметических более двух выборок воспользуемся критерием Тьюки. Из
выборки, приведенной в таблице 1 (Приложение), выделить с помощью
таблицы равномерно распределенных случайных чисел четыре (k=4) выборки
объемом n= 6 каждая.
Таблица 3. Выборки
X1
X2
X3
X4
14 225
80 323
89 157
1
245
90 203
82 215
80 323
87 175
56 251
77 265
83 286
51 199
86 253
30 294
86 253
76 274
7
251
6
153
50 180
49 273
39 195
28 206
75 343
69 300
23
Докажем статистические неразличимости (различимости) средних
арифметических
этих
выборок.
Для этого
вычисляем средние
арифметические 𝑋
𝑗
и эмпирические дисперсии 𝑆
𝑗
2
полученных выборок:
Таблица 4. Средние арифметические и дисперсии выборок
№ выборки
X1
X2
X3
X4
𝑋
𝑗
229,667
242,667
257
244,333
𝑆
𝑗
2
677,867
3947,47
5707,6
2332,667
Так как выборки взяты из нормальных совокупностей, то существует
некоторый интервал TS, внутри которого центры выборок статистически
неразличимы.
𝑇 ∗ 𝑆 = 𝑄 𝑞;𝑘;𝑣 ∗
𝑆
2
𝑛
,
где
𝑄 𝑞;𝑘;𝑣 =
𝑅
𝑆
= (𝑋
𝑚𝑎𝑥
− 𝑋
𝑚𝑖𝑛
)/𝑆
— стьюдентизированный размах.
𝑆
2
=
1
𝑘
𝑆
𝑗
2
𝑘
𝑗=1
= 3166,4
- средняя выборочная дисперсия с
𝜗 = 𝑘 𝑛 − 1 = 4 ∗ 5 = 20
числом степеней свободы.
Для нашего случая имеем:
Q(5%;4;20)=3,958 ; 𝑆
2
= 3166,4 ;
𝑇𝑆 = 3,958 ∗
3166,4
6
= 90,925
.
Сопоставив найденный интервал с данными выборок, можно сделать
вывод, что все центры выборок попадают в интервал статистической
неразличимости, а значит, гипотеза о статистической неразличимости средних
арифметических этих выборок принимается.
5.5 Критерий Кохрена.
Теперь докажем статистические неразличимости (различимости)
выборочных дисперсий. Для этого воспользуемся критерием Кохрена.
Доказательство сводится к проверке нулевой гипотезы H
0
:
𝑆
1
2
= 𝑆
2
2
= 𝑆
3
2
=
𝑆
4
2
. Так как число выборок
k=4 > 2
, а объем каждой выборки n=6 одинаков, то
24
для проверки нулевой гипотезы используем критерий Кохрена, который
основан на законе распределения отношения максимальной эмпирической
дисперсии
к сумме всех дисперсий, т.е.
𝐺 =
𝑆
𝑗
2
𝑚𝑎𝑥
𝑆
𝑗
2
𝑘
𝑗=1
.
Это распределение имеет степени свободы
𝜗1 = 𝑛 − 1 = 5
, где n- объем
одной выборки и
𝜗2 = 𝑘 = 4
, где k-число выборок; и меняется в пределах
0< G <1
.
По
выбранному
уровню
значимости q=5% и
степеням
свободы выбираем табличное значение
.
Для нашего случая имеем:
𝐺 =
257
229,667+242,667+257+244,333
= 0,264;
𝐺табл 5%;5;4 = 0,5895.
Т.к.
, то принимается нулевая гипотеза H0:
𝑆
1
2
= 𝑆
2
2
= 𝑆
3
2
= 𝑆
4
2
, т.е.
доказана статистическая неразличимость выборочных дисперсий.
Так как было одновременно доказаны статистическая неразличимость
дисперсий и средних арифметических данных выборок, то мы имеем право
объединить их в одну. Параметры объединенной выборки подсчитаем сначала
по формулам, приведенным в п 2.3:
𝑋 =
6∗(229,667+242,667+257+244,333)
6∗4
= 243,41675 ,
𝑆
2
=
677,867+ 229,667−243,417
2
∗6+ 3947,47+ 242,667−243,417
2
∗6+ 5707,6+ 257−243,417
2
∗6+
2332,667+ 244,333−243,417
2
∗6)
6∗4
=
3260,142
Параметры объединенной выборки, подсчитанные непосредственно:
𝑋 = 243,41675;
𝑆
2
= 2851,21.
25
Сравнение полученных
результатов показывает,
что
средние
арифметические совпадают полностью, в то время как дисперсии в пересчете
на среднеквадратическое отклонение дают разницу в 12,54%, что допустимо
для нашего объема.
5.6 Критерий Батлетта.
Теперь докажем статистические неразличимости (различимости)
эмпирических дисперсий 6 выборок рассмотренных ранее и найдем
средневзвешенную дисперсию.
Т.к. мы имеем частные выборки неодинакового объема, то для
доказательства статистической неразличимости (различимости) эмпирических
дисперсий этих выборок применим критерий Бартлетта.
𝑄 =
1
𝐶
𝑣𝑙𝑛𝑆
𝑝
2
−
𝑣
𝑗
𝑘
𝑗=1
𝑙𝑛𝑆
𝑗
2
,
где
𝐶 = 1 +
1
3(𝑘−1)
1
𝑣
𝑗
𝑘
𝑗=1
−
1
𝑣
— поправочный коэффициент.
— средневзвешенная дисперсия;
— число
степеней свободы всех выборок;
и
— дисперсия и число степеней свободы j — й выборки.
Для нашего случая имеем:
С = 1 +
1
3 ∗ 6 − 1
∗ (
1
11
+
1
15
+
1
5
+
1
5
+
1
5
+
1
5
−
1
11 + 15 + 5 ∗ 4
) = 1,062389.
𝑆
𝑝
2
=
1
46
11 ∗ 3211,182 + 15 ∗ 2446,25 + 5 ∗ 677,867 + 5 ∗ 3947,47 + 5 ∗ 5707,6 + 5
∗ 2332,667 = 2942,278;
𝑄 =
1
1,062389
(46𝑙𝑛 2942,278 − (11𝑙𝑛3211,182
+ 15𝑙𝑛2446,25
+ 5𝑙𝑛677,867 + 5𝑙𝑛3947,47 + 5𝑙𝑛 5707,6 + 5𝑙𝑛 2332,667)) =5,2
𝜒
таб
2
= 1,15.
26
Т.к.
Q > 𝜒
таб
2
, то все дисперсии признаются статистически различимыми. А
значит, объединить их в одну выборку нельзя.
Сравним теперь эмпирические дисперсии частных выборок.
Таблица 5. Сравнение дисперсий частных выборок
Выборки
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X10
Объемы
12
16
6
6
6
6
28
24
176
Дисперсии 3211,18 2446,25 1544
2772
804,8
3543,2 2733,32 2061,90 2517,77
Относительн
ые ошибки
21,0351 18,0775 30,714755830,7147 30,7147 30,7147 13,5333 14,6489 5,34064
При выборках малого объема чрезмерно велики ошибки (статистический
разброс), особенно дисперсий, что может приводить к неточностям при
принятии решений, а то и прямо к неверны решениям.
5.7 Определение границ существования математического ожидания
Определим границы существования математического ожидания.
Доверительный интервал будем находить по формуле:
𝑋 − 𝑡
𝛼
2
,𝑛−1
𝑆
𝑛
≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡
𝛼
2
,𝑛−1
𝑆
𝑛
,
где 𝛼- уровень значимости, 𝑡
-
распределения, которое находят по таблице
Стьюдента.
Таблица 6. Границы существования МО
Объѐм
Среднее
Дисперсия
t(табл.)
нижняя
Верхняя
6
229,667
677,867
2,5706
202,34383
256,99017
6
242,667
3947,47
2,5706
176,73165
308,60235
6
257
5707,6
2,5706
177,71598
336,28402
6
244,333
2332,67
2,5706
193,64732
295,01868
12
217,5
3211,18
2,201
181,49508
253,50492
16
233,625
2446,25
2,1314
207,27046
259,97954
24
221
2061,9
2,0687
201,82541
240,17459
28
226,714
2733,32
2,045
206,50926
246,91934
176
235,303
2517,78
1,9749
227,8333
242,7725
27
По данной таблице можно сделать вывод, что с увеличением объема
выборки величина доверительного интервала уменьшается.
28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе курсовой работы были выполнены все задачи, поставленные в
начале. Был написан алгоритм проверки статистических гипотез. Я приобрел
навыки по непосредственной обработке экспериментальных данных,
представленных несколькими выборками сравнительно небольшого объема.
Так же были доказаны гипотезы о равенстве (неравенстве) средних
арифметических и дисперсий данных выборок, о возможности их объединения
в одну выборку суммарного объема. Проведенная работа позволила сделать
следующие общие выводы:
- Под статистической гипотезой понимаются различного рода
предположения относительно характера или параметров распределения
случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты
наблюдений в случайной выборке.
- Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по
имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую
гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по
определенным правилам.
-
Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления
согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими).
- В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для
проверки гипотез.
-Проверка статистических
гипотез
–
необходимая методика,
используемая для получения данных в статистике.
29
30
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических
формул: Учеб. пособие для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш.
шк. 1988. - 239 с. (с.23-25).
2. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике
и науке: Методы обработки данных / Пер. с англ.; Под ред. Э.К.Лецкого. -
М.: Мир, 1980.-610с. (С.155- 166, 259-282).
3. Статистические
методы
обработки
эмпирических
данных:
Рекомендации.-М.: Изд-во стандартов. 1978. - 232 с. (С. 82-88. 93 - 94).
4. Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики /Пер.с
чешек. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 356 с. (С. 16 - 19, 26 - 27, 30 -
34, 84 - 147, 160-163, 166- 167).
5. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики /Пер.
с англ. - М.: Финансы и статистика, 1982. - 344 с. (С. 139 - 143, 166 - 170,
201 - 204).
6. Долгов Ю.А. Статистическое моделирование : Учебник для вузов.-
Тирасполь: РИО ПГУ, 2002.- 280 с. (с. 19-31).
31
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Исходные данные
С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Е
Т А Б Л И Ц Ы
Х
1
Х
2
Х
3
Y Х
1
Х
2
Х
3
Y Х
1
Х
2
Х
3
Y
245 256 29.4 64.2 249 271 20.4 65.3 209 237 16.9 56.0
274 268 22.5 68.2 151 282 17.5 54.7 299 311 23.2 76.5
318 282 21.2 75.0 238 229 24.2 59.4 195 285 24.1 61.2
232 315 24.5 69.3 300 245 32.8 47.1 299 316 24.1 77.3
243 198 23.5 56.1 212 157 21.4 47.1 152 304 18.4 57.7
153 330 25.2 61.9 193 304 28.0 63.8 300 302 19.3 75.0
251 320 25.9 72.3 195 202 24.7 51.0 248 364 24.8 77.2
197 234 22.0 54.9 219 260 20.0 60.4 238 219 25.3 58.3
217 244 27.4 59.1 258 247 27.4 64.4 292 267 22.0 70.1
223 246 18.6 59.0 230 248 25.8 61.0 238 322 24.0 70.8
274 279 25.0 69.9 144 288 21.9 55.2 343 309 24.5 82.0
193 257 18.0 56.7 172 341 25.7 65.5 274 248 17.4 65.1
145 315 21.7 58.6 220 246 18.4 58.6 265 309 26.3 72.2
225 293 21.7 65.4 278 215 27.5 62.8 309 303 19.2 76.2
319 234 27.2 70.0 208 284 21.6 62.3 263 194 17.4 57.2
215 266 26.8 61.5 204 280 23.0 61.5 323 298 32.1 78.9
299 286 18.5 72.9 273 231 30.8 64.6 205 319 34.8 67.9
192 287 19.8 60.5 180 286 23.3 59.4 215 253 22.6 59.4
207 242 21.5 57.0 199 233 24.4 55.3 286 300 25.8 74.0
255 182 20.2 55.1 289 309 22.0 74.9 177 294 19.1 59.5
277 260 21.0 67.4 256 263 18.2 64.9 216 195 22.6 52.4
209 314 20.9 66.0 164 289 18.9 57.3 253 225 19.0 60.0
222 275 22.8 63.0 158 317 24.7 60.8 175 262 22.8 55.8
176 317 20.7 62.4 251 253 24.9 64.0 203 324 34.0 68.2
213 273 26.4 62.1 172 299 20.3 59.7 157 288 20.4 56.6
255 221 22.4 60.2 254 239 19.3 61.9 203 292 24.1 63.0
283 293 17.2 71.7 210 356 24.6 71.7 258 272 20.2 66.5
206 324 26.3 67.5 229 254 20.1 60.9 142 292 22.9 55.6
252 223 30.5 61.1 196 264 20.5 58.2 202 251 16.6 56.8
294 263 21.0 69.8 294 286 28.4 73.5 205 281 30.6 62.7
241 265 19.9 63.6 288 254 33.2 69.5 265 260 23.4 66.3
221 263 16.0 60.5 292 268 12.3 69.0 273 230 32.3 64.7
32
Продолжение таблицы
Х
1
Х
2
Х
3
Y
Х
1
Х
2
Х
3
Y
Х
1
Х
2
Х
3
Y
186 312 26.6
63.7 242. 267 22.9 64.4
205
255 16.8 57.7
222 276 29.8
64.0 278
240 24.3 65.5
340
207 31.6 69.7
241 280 24.2
66.0 319
284 24.5 75.7
188
253 19.6 55.8
261 303 24.8
71.3 324
311 23.2 78.3
215
255 22.2 59.6
341 301 17.6
79.5 278
229 30.7 64.9
185
337 25.4 66.5
260 266 21.1
66.1 160
295 22.2 58.0
149
288 17.1 55.2
214 286
18.8
62.8 260
262 17.4 65.2
338
281 24.7 77.6
195 302 25.6
63.4 167
278 18.3 56.2
228
228 29.3 58.9
201 248
21.3
57.0 293
286 22.6 72.7
300
323 24.4 78.3
270 281
23.4
69.4 215
242 21.1 57.9
205
243 26.7 57.5
301 299
22.1
75.2 270
224 17.8 61.7
255
279 21.2 67.1
172 337 25.2
65.0 328
299 24.6 78.7
252
292 22.5 68.6
228 244
19.8
59.5 211
261 26.3 60.4
214
281 27.5 63.4
157 291
17.6
56.6 226
213 17.9 55.2
129 282 20.0 52.5
330 316 24.0
80.9 336
301 17.7 79.0
165 333 27.9 64.0
203 259 22.4
58.7 194
240 24.9 55.6
207.
207
268 18.2 59.7
146 307 20.1
57.6 169
304 27.1 60.8
211.
211
254 22.0 59.0
343 313 25.9
82.3 197
275 21.2 59.8
235
299 17.3 66.7
262 296 17.1
69.5 194
198 24.4 50.4
324
331 25.9 82.1
181 242 22.0
54.0 245
251 22.8 62.7
312
273 24.3 73.5
218 302 17.7
65.1 190
316 25.4 64.5
243
223 15.8 58.1
195 268 20.9
58.7 256
278 22.9 67.4
236
278 23.5 65.1
238 236 23.7
60.2 230
198 24.0 54.6
190
223 25.6 53.1
258 325 24.9
73.6 241
222 19.1 58.2
228
202 23.9 54.8
202 229 24.6
55.2 228
181 20.0 51.8
199
311 26.8 65.2
289 336 33.2
79.7 272
260 23.4 28.2
282
335 27.5 78.0
255 178 14.6
53.9 309
251 18.7 69.8
33
Таблица 2
Квантили распределения 2
34
Таблица 3
Критические точки распределения Стьюдента
Число
степе
ней
свобо
ды k
Уровень значимости
(двусторонняя критическая значимость)
0,10
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
1
6,31
12,7
31,82
63,7
318,3
637,0
2
2,92
4,30
6,97
9,92
22,33
31,6
3
2,35
3,18
4,54
5,84
10,22
12,9
4
2ДЗ
2,78
3,75
4,00
7,17
8,61
5
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
6
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
7
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
8
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
9
1,83
2,26
2,82
3,25
4,30
4,70
10
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4,59
11
1,80
2,28
2,72
3,11
4,03
4,44
12
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
13
1,77
2,16
2,65
3,01
3,85
4,22
14
1,76
2,14
2,62
2,98
3,79
4,14
15
1,75
2,13
2,60
2,95
3,73
4,07
16
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,01
17
1,74
2,11
2,57
2,90
3,65
3,96
18
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
19
1,73
2,09
2,54
2,86
3,58
3,88
20
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
21
1,72
2,08
2,52
2,83
3,53
3,82
22
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79.
23
1,71
2,07
2,50
2,81
3,49
3,77
24
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
25
1,71
2,06
2,49
2,79
3,45
3,72
26
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
27
1,71
2,05
2,47
2,77
3,42
3,69
28
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
29
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
30
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
40
1,68
2,02
2,42
2,70
3,31
3,55
60
1,07
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
120
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
35
Таблица 4.
Таблица П.3
Нормированная функция Лапласа
z
t
t
e
z
0
2
2
2
1
)
(
Сотые доли z
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3849
0,4192
0,4452
0,4641
0,4772
0,4860
0,4918
0,4953
0,4974
0,4886
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3437
0,3869
0,4207
0,4463
0,4649
0,4778
0,4864
0,4920
0,4954
0,4975
0,4986
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3888
0,4222
0,4474
0,4656
0,4783
0,4867
0,4922
0,4956
0,4975
0,4987
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3925
0,4236
0,4484
0,4664
0,4788
0,4871
0,4924
0,4954
0,4976
0,4987
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2703
0,2995
0,3464
0,3508
0,3944
0,4251
0,4495
0,4671
0,4793
0,4874
0,4926
0,4958
0,4977
0,4988
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3533
0,3962
0,4265
0,4505
0,4678
0,4798
0,4877
0,4928
0,4959
0,4978
0,4988
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3980
0,4279
0,4515
0,4686
0,4803
0,4880
0,4930
0,4960
0,4978
0,4988
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3980
0,4292
0,4525
0,4693
0,8908
0,4883
0,4932
0,4962
0,4979
0,4989
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3997
0,4306
0,4535
0,4699
0,4812
0,4886
0,4934
0,4963
0,4980
0,4989
0,0365
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,2621
0,4015
0,4319
0,4545
0,4706
0,4817
0,4889
0,4936
0,4964
0,4980
0,4989
36
Таблица 5.
Таблица П.4
Стьюдентизированный размах при q=5 %
Число выборок k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
24
30
40
60
120
17,97
6,085
4,501
3,927
3,635
3,461
3,344
3,261
3,199
3,151
3,082
3,033
2,998
2,971
2,950
2,919
2,888
2,858
2,829
2,800
2,772
26,98
8,331
5,910
5,040
4,602
4,339
4,165
4,041
3,949
3,887
3,773
3,702
3,649
3,609
3,578
3,532
3,486
3,442
3,399
3,356
3,314
32,82
9,798
6,825
5,757
5,218
4,896
4,691
4,529
4,415
4,327
4,199
4,111
4,046
3,997
3,958
3,901
3,845
3,791
3,737
3,685
3,633
37,08
10,88
7,502
6,287
5,673
5,305
5,060
4,886
4,756
4,654
4,508
4,704
4,333
4,277
4,232
4,166
4,102
4,039
3,977
3,917
3,858
40,41
11,74
8,037
6,707
6,033
5,628
5,359
5,167
5,024
4,912
4,751
4,639
4,557
4,495
4,445
4,373
4,302
4,232
4,163
4,096
4,030
43,12
12,44
8,478
7,053
6,330
5,895
5,606
5,399
5,244
5,124
4,950
4,829
4,741
4,673
4,620
4,541
4,464
4,389
4,314
4,241
4,170
45,40
13,03
8,853
7,347
6,582
6,122
5,815
5,597
5,432
5,305
5,119
4,990
4,897
4,824
4,768
4,684
4,602
4,521
4,441
4,363
4,286
47,36
13,54
9,177
7,602
6,802
6,319
5,998
5,767
5,595
5,461
5,263
5,131
5,031
4,946
4,896
4,807
4,720
4,635
4,550
4,468
4,387
49,07
13,99
9,462
7,826
6,995
6,493
6,158
5,918
5,739
5,599
5,395
5,254
5,150
5,071
5,008
4,915
4,824
4,735
4,646
4,560
4,474
51,96
14,75
9,946
8,208
7,324
6,789
6,431
6,175
5,983
5,833
5,615
5,463
5,352
5,267
5,199
5,099
5,001
4,904
4,808
4,714
4,622
37
Таблица 6.
Таблица П.5
F-распределение Фишера при q=5 %
2
1
2
3
4
6
10
15
20
30
40
60
120
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40
60
120
19,0
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,32
3,23
3,15
3,07
3,00
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,92
2,84
2,76
2,68
2,60
19,3
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,69
2,61
2,53
2,45
2,37
19,3
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,42
2,34
2,25
2,17
2,10
19,4
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
19,4
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,95
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
19,4
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,93
1,84
1,75
1,66
1,57
19,4
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,84
1,74
1,65
1,55
1,46
19,4
8,59
5,72
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,79
1,69
1,59
1,50
1,39
19,4
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
19,4
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,74
2,58
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22
19,5
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,92
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,62
1,51
1,39
1,25
1,00
38
Таблица 7.
Таблица П.6
G-распределение Кохрена при q=5 %
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
36
144
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
0,975
,871
,768
,684
,616
,561
,516
,478
,445
,392
,335
,271
,235
,198
,158
,113
,063
0,939
,798
,684
,598
,532
,480
,438
,403
,373
,326
,276
,221
,191
,159
,126
,089
,049
0,906
,746
,629
,544
,480
,431
,391
,358
,331
,288
,242
,192
,166
,138
,108
,077
,042
0,877
,707
,589
,506
,445
,397
,359
,329
,303
,262
,219
,174
,149
,124
,097
,068
,037
0,853
,677
,560
,478
,418
,373
,336
,307
,282
,244
,203
,160
,137
,114
,089
,062
,034
0,833
,653
,536
,456
,398
,353
,318
,290
,267
,230
,191
,150
,129
,106
,083
,058
,031
0,816
,633
,517
,439
,382
,338
,304
,277
,254
,219
,181
,142
,122
,100
,078
,055
,029
0,801
,617
,502
,424
,368
,326
,293
,266
,244
,210
,174
,136
,116
,096
,074
,052
,028
0,788
,602
,488
,412
,357
,315
,283
,257
,235
,202
,167
,130
,111
,092
,071
,050
,027
0,734
,547
,437
,364
,313
,276
,246
,223
,203
,174
,143
,111
,094
,077
,060
,041
,022
0,660
,475
,372
,307
,261
,228
,202
,182
,165
,140
,114
,088
,074
,060
,046
,032
,016
0,581
,403
,309
,251
,212
,183
,162
,145
,131
,110
,089
,067
,057
,046
,035
,023
,012
Примечание: в таблице опущена целая часть чисел, которая во всех случа-
ях равна 0.
39
Таблица 8.
Таблица П.7
Равномерно распределѐнные случайные числа
10 09 73 25 33
37 54 20 48 05
08 42 26 89 53
99 01 90 25 29
12 80 79 99 70
76 52 01 35 86
64 89 47 42 96
19 64 50 93 03
09 37 67 07 15
80 15 73 61 47
34 67 35 48 76
24 80 52 40 37
23 20 90 25 60
38 31 13 11 65
64 03 23 66 53
80 95 90 91 17
20 63 61 04 02
15 95 33 47 64
88 67 67 43 97
98 95 11 68 77
39 29 27 49 45
00 82 29 16 65
35 08 03 36 06
04 43 62 76 59
12 17 17 68 33
66 06 57 47 17
31 06 01 08 05
85 23 97 76 02
63 57 33 21 35
73 79 64 57 53
34 07 27 68 50
45 57 18 24 06
02 05 16 56 92
05 32 57 70 78
03 52 96 47 78
36 69 73 61 70
35 30 34 26 14
68 66 57 48 18
90 55 35 75 48
35 80 83 42 82
65 81 33 98 85
86 79 90 74 39
73 05 38 52 44
28 46 82 87 09
60 93 52 03 44
11 19 92 91 70
23 40 30 97 32
18 62 38 85 79
83 49 12 56 24
35 27 38 84 35
98 52 01 77 67
11 80 50 54 31
83 45 29 96 34
88 68 54 02 00
99 59 46 73 48
14 90 56 86 07
39 80 82 77 32
06 28 89 80 83
86 50 75 84 01
87 51 76 49 69
22 10 94 05 58
50 72 56 82 48
13 74 67 00 78
34 76 66 79 51
91 82 60 89 28
60 97 09 34 33
29 40 52 42 01
18 47 54 06 10
90 36 47 64 93
93 78 56 13 68
50 50 07 39 98
52 77 56 78 17
68 71 17 78 17
29 60 91 10 62
23 47 83 41 13
65 48 11 76 74
80 12 43 56 35
74 35 09 98 17
69 91 62 68 03
09 89 32 05 05
17 46 85 09 50
17 72 70 80 15
77 40 27 72 14
66 25 22 91 48
14 22 56 85 14
58 04 77 69 74
45 31 82 23 74
43 23 60 02 10
36 93 68 72 03
46 42 72 67 88
73 03 95 71 86
21 11 54 82 53
45 52 16 42 37
76 62 11 39 90
96 29 77 88 22
40 21 81 65 44
14 38 55 37 63
96 28 60 26 55
94 40 05 64 18
54 38 21 45 98
91 49 91 45 23
80 33 69 45 98
44 10 48 19 49
12 55 07 37 42
63 60 64 93 29
68 47 92 76 86
26 94 03 68 58
85 15 75 79 54
11 10 00 20 40
16 50 53 44 84
46 16 28 35 54
70 29 73 41 35
32 97 92 65 75
12 86 07 46 97
40 21 95 25 63
94 75 08 99 23
53 14 03 33 40
57 60 04 08 81
96 64 48 94 39
43 65 17 70 82
37 08 92 00 48
42 05 08 23 41
22 22 20 64 13
28 70 72 58 15
07 20 73 17 90
40
Информация о работе Проверка статистических гипотез