Контрольная работа по "Финансовой математике"

Федеральное государственное  образовательное 

бюджетное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Финансовый  университет  при Правительстве Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Тульский филиал Финуниверситета

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

По дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 6

 

 

 

Выполнил:

студент 4 курса 5 потока

факультета ФиК

специальности финансы

группы дневной

Абрамова Е.Ю.

№ личного дела 10ффд41576

 

Проверил:

Кочетыгов А.А.

 

 

 

 

Тула 2013

Задание № 1

Приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Кредит от ком. банка на жилищное строительство	36	46	55	35	39	50	61	37	42	54	64	40	47	58	70	43

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3;α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости  уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r₁=0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

 

Решение:

1. Мультипликативная модель Уинтерса с линейным ростом опирается на экспоненциальную схему и для шага прогнозирования, равного единице, т.е. для τ = 1, имеет вид:

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значения ряда Y(t) из таблицы 1.

Для расчета значения a(0) и b(0) нам понадобится Рисунок 1 (также эти значения можно найти с помощью MS Office Excel добавив линию тренда):

Рис 1

Линейная модель:

Метод наименьших квадратов  дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0)  по следующим формулам:

                                 

                                      

Промежуточные расчеты  для  вычисления коэффициентов приведены  в таблице 2:

Таблица 2

Промежуточные расчеты  для  вычисления коэффициентов

1		36	-8,9	-3,5	12,3	31,1	51,4
2		46	1,1	-2,5	6,3	-2,8	46,4
3		55	10,1	-1,5	2,3	-15,2	43,0
4		35	-9,9	-0,5	0,3	4,9	41,3
5		39	-5,9	0,5	0,3	-2,9	41,3
6		50	5,1	1,5	2,3	7,7	43,0
7		61	16,1	2,5	6,3	40,3	46,4
8		37	-7,9	3,5	12,3	-27,6	51,4
		359			42	35,5	364,07
ср	4,5	44,875			5,25

 

a(0) = Y_ср – b₀×t_ср = 44,9 – 0,845×4,5=41,07.

Y_p(t) = 41,071 + 0,8452t 

Продолжая аналогично для , строится модель Хольта-Уинтерса. При использовании MS Office Excel составим следующую таблицу 3 с введением соответствующих формул в нужные ячейки. Для α₁=0,3;α₂=0,6; α₃=0,3.

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t	Xt	at	bt	Ft	Xt(расч)	εt	Xл	Отн. Погр. В %
-3				0,85992
-2				1,079672
-1				1,279749
0		41,071	0,8452	0,78045
1	36	41,90064	0,840533	0,859473	36,044592	-0,04459	41,9162	-0,001237
2	46	42,70049	0,828326	1,078231	46,146436	-0,14644	42,7614	-0,003183
3	55	43,36333	0,77868	1,272911	55,705941	-0,70594	43,6066	-0,012835
4	35	44,35317	0,842031	0,785652	34,450644	0,549356	44,4518	-0,007790
5	39	45,24963	0,858358	0,860921	38,844074	0,155926	45,297	0,003995
6	50	46,18726	0,882141	1,080822	49,715078	0,284922	46,1422	0,005697
7	61	47,32508	0,958843	1,282539	59,915174	1,084826	46,9874	0,017783
8	37	47,92713	0,851805	0,777464	37,93438	-0,93438	47,8326	-0,025254
9	42	48,78075	0,85235	0,860965	41,99479	0,00521		0,000123
10	54	49,73176	0,881948	1,083824	53,644556	0,355444		0,006582
11	64	50,3999	0,817806	1,274922	64,914042	-0,91404		-0,014282
12	40	51,28719	0,838651	0,778939	39,819934	0,180066		0,004502
13	47	52,86505	1,060414	0,87782	44,878549	2,121451		0,045137
14	58	53,80209	1,023402	1,080345	58,445717	-0,44572		-0,007685
15	70	54,84944	1,030587	1,275701	69,898217	0,101783		0,001454
16	43	55,67702	0,969682	0,774962	43,527125	-0,52712		-0,012258
Итого								17,78

 

2. Оценить точность  построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Для проверки точности рассчитаем относительные погрешности каждого  уровня:

Ε_отн=abs{Ε(t)}/Y(t) ×100%

По полученным результатам  определим среднее значение с  помощью функции СРЗНАЧ.

=17,78/16=1,11(%).

=1,11 % не превышает  5% значит точность модели высокая.

Следовательно,  условие  точности выполнено.

 

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования

– Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек таблица 4, а также с помощью диаграммы полученной в MS Office Excel рисунок 2.

Таблица 4

Промежуточные расчеты для  оценки адекватности модели

t	E(t)	Точки поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)×E(t-1)
1	-0,045	хххх	0,002	хххх	хххх
2	-0,146	0	0,021	0,0104	0,0065
3	-0,706	1	0,498	0,3130	0,1034
4	-0,273	1	0,074	1,5758	-0,3878
5	0,156	1	0,024	0,1548	0,0857
6	0,285	0	0,081	0,0166	0,0444
7	1,085	1	1,177	0,6398	0,3091
8	-0,934	1	0,873	4,0772	-1,0136
9	0,005	0	0,000	0,8828	-0,0049
10	0,355	1	0,126	0,1227	0,0019
11	-0,914	1	0,835	1,6116	-0,3249
12	0,180	0	0,032	1,1971	-0,1646
13	2,121	1	4,500	3,7690	0,3820
14	-0,446	1	0,199	6,5903	-0,9456
15	0,102	1	0,010	0,2998	-0,0454
16	-0,527	хххх	0,278	0,3955	-0,0537
Сумма	2,298	10	8,961	21,656	-2,007

 

Общее число поворотных точек  в нашем примере равно p=10

Рассчитаем значение р_расч:

Рис 2

Если количество поворотных точек p больше р_расч, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=10, р_расч=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

– Проверка независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитали значение d  и если полученное значение больше 2 то находим уточненное значение равное  4-d

Уточненное значение d =4–2,42=1,52

В нашем случае d₂<d<2, 1,37<1,52<2. Уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Если модуль рассчитанного  значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1)<r табл., то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)|=0,246 < r_таб=0,32 – условие независимости выполняется.

–Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению  определяем по RS –критерию.

Рассчитаем значение RS:

где E_max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t),

E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t),

S - среднее квадратическое отклонение;

E_max=2,121;   E_min=-0,934

Полученное значение попадает в заданный интервал, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построение точечного прогноза

Составим прогноз на 4 шага вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). 

Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16.   

Рассчитав значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t) таблица 5.   

Для t=17,18,19,20 имеем:   

Y_p(17)= Y_p (16+1)=[a(16)+1×b(16)] ×F(16+1-4)=49,7

Y_p (18)= Y_p (16+2)=[a(16)+2×b(16)] ×F(16+2-4)=62,2

Y_p (19)= Y_p (16+3)=[a(16)+3×b(16)] ×F(16+3-4)=74,7

Y_p (20)= Y_p (16+4)=[a(16)+4×b(16)] ×F(16+4-4)= 46,2

 

Таблица 5

t	Xt	Xt(расч)
1	36	36,044592
…	…	…
…	…	…
16	43	43,527125
17		49,725598
18		62,245546
19		74,738308
20		46,153464