Задачи по предмету "Цифровые устройства"

Задание 1.

На вход АЦП системы передачи непрерывных сообщений поступает случайный первичный сигнал, мощность которого и ширина спектра . Плотность распределения сигнала – нормальная. Среднее значение случайного сигнала равно нулю.

Случайный сигнал в АЦП подвергается дискретизации, а его выборки – линейному преобразованию. Преобразованные выборки квантуются и кодируются. Число уровней квантования для всех вариантов равно 256. Обработка сигнала – согласованная фильтрация.

 

Определить:

1.Интервал  дискретизации;

2.Интервал  квантования (для линейного преобразования) и интервалы    квантования (для нелинейного преобразования);

3. Мощность  шума квантования;

4.Отношение  мощности первичного сигнала  к мощности шума квантования  в Дб;

5.Производительность  дискретного источника (на выходе  квантователя);

6. Скорость  цифрового потока на выходе  квантователя;

7.Вероятности  появления символов двоичных  слов на выходе АЦП;

8.Скорость  цифрового потока на выходе  АЦП;

9.Вероятность  реализации выборки, значение которой  равно  , и дифференциальную энтропию.

 

Случайный процесс в АЦП дискретизируется и преобразуется в двоичные числа. Шкала квантования линейная с числом уровней L=256.

Процесс взятия выборок называется дискретизацией. Выборки берутся через одинаковые интервалы времени. При дискретизации получают выборочные значения из непрерывного аналогового сигнала.

Интервал дискретизации выбирается в соответствии с теоремой Котельникова. Согласно этой теореме, дискретизация не приводит к искажениям, если Δt≤1/2F, где F − верхняя граничная частота спектра сигнала. Интервал дискретизации рассчитывается по формуле (1.1).

Для равномерной плотности , , где − постоянная величина, − основание прямоугольника.

Из условия нормирования определим :

, ,

Определим математическое ожидание и дисперсию входного сигнала:

Тогда из условия

Найдём аналитическое выражение одномерной плотности распределения вероятности:

Интервал квантования определяется формулой (1.2).

L – количество уровней квантования.

Под шумом квантования понимают совокупность разностей между отсчетными значениями первичного сигнала (сообщения) b(kΔt) и ближайшими к этим значениям уровнями квантования bД(kΔt), k=0,1,2,3…

Средняя мощность шума квантования определяется формулой (1.4).

При L>>1 принято считать, что шум квантования распределен по равномерному закону в интервале от до .

Отношение мощности первичного сигнала к мощности шума квантования рассчитывается по формуле (1.5).

Энтропия дискретного источника, отнесённая к среднему времени передачи одного символа T, называется производительностью источника дискретных сообщений.

 −  среднее количество информации, которая содержится в возможных символах на выходе источника дискретных сообщений, рассчитывается по формуле (1.7). Величина называется энтропией дискретного источника.

Скорость цифрового потока передачи информации равна количеству взаимной информации, делённому на среднее время передачи одного символа.

Скорость цифрового потока на выходе квантователя определяется выражением (1.9).

Энтропия, приходящаяся на один элемент двоичной кодовой последовательности, определяется формулой (1.10), где − длина кодового слова при кодировании.

Вероятности появления символов двоичных кодовых слов на выходе АЦП можно получить, решая уравнение (1.11). Причём p(0)+p(1)=1.

Скорость цифрового потока передачи информации на выходе АЦП определяется формулой (1.12).

Вероятность попадания случайной величины в i-ый промежуток равна:

,

где - срединное значение i-го интервала .

Так как , то для имеем:

Дифференциальная энтропия источника непрерывных сообщений позволяет оценить среднее количество информации, которое содержится в непрерывных сообщениях или непрерывных сигналах.

Дифференциальная энтропия гауссовской случайной величины не зависит от её среднего значения и возрастает с ростом дисперсии.

 

Задание 2.

Двоичные слова с выхода АЦП преобразуются в линейные сигналы. Носитель 1-ой ступени модуляции – М-последовательность. Носитель 2-ой ступени модуляции – гармонический сигнал, известный точно. Модуляция носителя – по форме. Период последовательности –31. Длина блока – 4. Символы кода последовательности: -1, 1.

 

Определить:

Структурную схему формирователя линейного сигнала, включающего модуляторы и генераторы сигналов (носителей сообщения). Привести структурную схему и описание работы формирователя. Временные и спектральные диаграммы, поясняющие работу формирователя линейного сигнала, должны иметь информацию о параметрах сигнала, а также масштабные сетки с указанием размерности.

Рассчитать:

1. Ширину  спектра сигналов носителей информации.

2. Ширину  спектра сигналов на выходах  модуляторов.

3. Базу  модулированного сигнала.

 

М-последовательности формируются регистрами сдвига с обратной связью. Генератор М-последовательностей формирует на выходах последовательности нулей и единиц. На рис. 2.1 приведена схема генератора ШПС, кодированного М-последовательностью. Генератор содержит регистр сдвига с обратными связями и сумматор по модулю два. Положение управляемого переключателя (7) определяется двоичным числом блока с выхода источника дискретного сообщения. Импульсы с выхода тактового генератора определяют длительность единичного интервала ШПС, а также длительность единичного интервала двоичных кодовых комбинаций на выходе источника дискретных сообщений. В модуляторе производится модуляция косинусоидальной несущей шумоподобными сигналами.

Рис. 2.1 Структурная схеме генератора М-последовательности,

где 1 – 5– ячейки регистра сдвига, 6 – сумматор по модулю 2, 7 – управляемый переключатель, 8 – фазовый модулятор.

 

До подачи тактовых импульсов (ТИ) в регистр сдвига было записано число 00011.

С поступлением 1-го ТИ в 1-ую ячейку запишется «1», т. к. сумма по модулю два третьего и пятого регистров равна 1. Во 2-ю ячейку перейдет цифра 0, ранее содержащаяся в 1-й ячейке. Соответственно в 3-ю, 4-ю и 5-ю ячейки запишутся цифры, ранее содержащиеся во 2-ой, 3-ей и 4-ой ячейках, т. е. 0, 0, 1.

Состояния ячеек приведены в таблице.

Номер ТИ	Состояния ячеек регистра сдвига
	1	2	3	4	5
-	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1
2	1	1	0	0	0
3	0	1	1	0	0
4	1	0	1	1	0
5	1	1	0	1	1
6	1	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0

С поступлением последующих ТИ процесс смены состояния ячеек продолжится. В результате на их выходах будет генерироваться ШПС, кодированный циклически сдвинутыми М-последовательностями.

При непрерывном поступлении тактовых импульсов ШПС периодически повторяется через время, равное , где – период М-последовательности, определяемый числом разрядов к регистров сдвига (к=5 для заданной М-последовательности), – длительность периода тактовых импульсов. Для кодирования различных блоков модуляция по форме предполагает использование отличающихся последовательностей. Исходя из длины блока k=5 определим количество применяемых М-последовательностей (равно числу блоков)

n=2k=16

На рис. 2.2. изображена структурная схема формирователя линейного сигнала, где 1 – тактовый генератор, 2,3,4 – 1-й, 2-й и 2к-ый генераторы M-последовательностей, 5 – источник дискретных сообщений, 6 – управляемый переключатель, 7 – фазовый модулятор.

Рис. 2.2. Структурная схема формирователя линейного сигнала

Поясним работу схемы на рис. 2.2 временными диаграммами (рис. 2.3).

Рис. 2.3.Временные диаграммы работы модулятора

Выберем частоту ГСИТ такой, чтобы в пределах tи умещалось несколько периодов высокой частоты

Ширина спектра видеосигнала, состоящего из прямоугольных импульсов, определяется длительностью этих импульсов (учитываем положительные частоты)

- на  выходе АЦП,

- на  выходе модулятора.

При преобразовании сигнала в модуляторе 2-й ступени его спектральная плотность переносится из области нижних в область высоких частот без искажений спектральных составляющих. Ширина спектра модулированного сигнала при этом увеличивается в два раза

Произведение длительности на ширину спектра называется базой сигнала. N – длина кодового слова.

Для данного сигнала база численно равна количеству импульсов в пачке М-последовательности.

Рис. 2.4.Спектральные диаграммы, поясняющие работу модулятора

 

Задание 3.

При передаче линейного сигнала по линии связи с шириной полосы 66 МГц на этот сигнал накладывается нормальный шум. Мощность шума  для всех вариантов равна 0,1 . Мощность сигнала на входе приемника . Ширина полосы шума во много раз больше ширины полосы сигнала.

1.Выбрать  и изобразить структурную схему  оптимального приемника для заданного  варианта линейного сигнала. Привести  описание работы приемника и  временные, спектральные диаграммы.

2.Выбрать  уровни порогов в  приемнике.

3.Определить  вероятность ошибки.

4.Привести  математическую модель двоичного  канала связи.

 

Под синтезом оптимального приёмника понимают отыскание его структуры. Задача синтеза: найти структуру приёмника, которая удовлетворяет исходным условиям и ограничениям и при этом обеспечивает совокупность показателей качества, наилучших в смысле заданного критерия оптимальности.

Математический синтез заключается в математической формулировки совокупности исходных данных и критерия оптимальности, а также в отыскании чисто математическим путем такой структуры приёмника, которая удовлетворяет исходным данным, критерию оптимальности и требуемой совокупностей показателей качества.

В качестве критерия оптимальности выберем критерий максимума отношения правдоподобия, записанного в виде неравенства (3.1), причем .

Помеха является нормальным белым шумом со спектральной плотностью N0. Канал связи является дискретно-непрерывным. Время анализа сигнала и шума равно длительности единичного интервала . Используя описание n-мерной плотности распределения вероятности белого шума N(t) и математическое описание непрерывного и дискретно-непрерывного каналов связи, перепишем неравенство (3.1). Все М-последовательности при приёма сигнала известны точно, поэтому при распространении на N=16 различных сигнала критерий оптимальности приёмника запишем в виде:

где ,

z(t) – смесь сигнала и шума, поступающих на вход приемника,

ui(t) – полезный сигнал, соответствующий передаче i-го блока,

Ei – энергия сигнала ui(t).

Так как все сигналы ui(t) (i=0, 2, …, 16) имеют одинаковую энергию, то неравенство (3.2) перепишем в виде

или

Структурная схема оптимального приемника приведена на рис. 3.1. Приёмник синтезирован с целью поэлементного приёма сигнала, с числом возможных букв алфавита m=2, причём каждому элементу ставится в однозначное соответствие определённый сигнал.

Структурная схема оптимального приемника приведена на рис. 3.1. Для когерентного сложения необходимо обеспечить: совпадение начальных фаз опорных генераторов , i=1,2..n с заданной точностью, совпадение задержки опорных с задержкой принимаемых сигналов.

Рис. 3.1. Структурная схема оптимального приемника

Рис. 3.2. Временные диаграммы, поясняющие работу приёмника

Значение порога, необходимое для работы решающего устройства, определяется из выражений (3.3) и (3.4) и равно: