Эконометрика

Задание 1. Сформулируйте основные принципы и методы построения линейных эконометрических моделей спроса, предложения, ценообразования. Приведите примеры

 

При построении линейной модели спроса, предложения и ценообразования, чаще всего учитываются не только значения показателей, но важное место отводится факторам, влияющим на спрос и предложение. Например, на спрос очень часто влияет уровень доходов населения, сезонность, ставки процентов в банке и многие другие факторы. Так и на предложение могут влиять повышенные цены на ресурсы, научно-технический прогресс, налоги и многое другое.

Рассмотрим первую модель, наиболее часто применяющуюся не только для построения моделей спроса, предложения и ценообразвоания, но и многих других экономических показателей.

где t – временной фактор, в течение которого изменяется спрос и предложение; а0 и а1 – расчетные параметры.

Модель, приведенная выше, называется трендовой моделью экономической динамики, иначе кривая роста для экономических процессов. Ее основная цель – на ее основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени.

В настоящее время насчитывается  большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Показанная выше модель относится к разряду полиномиальных кривых роста. Это простейшие кривые роста, которые могут принимать и другой вид:

(полином первой степени)

(полином второй степени)

(полином третьей степени)

Параметр а1 называют линейным приростом, параметр а2 – ускорением роста, параметр а3 – изменением ускорения роста.

Для расчета параметров применяют метод наименьших квадратов  или записывают уравнения в матричной форме. Поскольку к матричной форме нахождения параметров мы вернемся позднее, то запишем нахождение параметров с помощью метода наименьших квадратов.

Для полинома первой степени:

Для полинома второй степени:

Для полинома третьей степени:

Таким образом, могут быть получены все параметры полиномиальных моделей.

Чтобы правильно подобрать  наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Но, чаще всего, при построение линейных моделей спроса, предложения и ценообразования для прогнозирования приходится использовать ту модель, которая при ее анализе дает лучшие результаты. Анализ модели проводится по случайной величине et. Начальные параметры записываются в виде , где (или другая полиномиальная кривая роста), а et – случайная величина. Есть две основные возможные причины случайности:

1. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущем тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые невозможно, либо по которым отсутствует информация. Таким образом, наша модель является упрощением действительности.
2. Трудности в измерении данных (присутствуют ошибки измерений), а также ошибка образуется при округлении расчетных значений.

Ход измерения данного показателя во временном ряде связывают не с  фактором, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов.

Необходимо определить какая модель будет лучше анализировать исходный параметр, т.е. определить тип тенденции.

Существует несколько  способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих целях можно использовать и коэффициент автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанные по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Рассмотрим выбор наилучшего типа тренда на примере.

Имеются данные спроса на сахар за 10 месяцев 2011 года в процентах к уровню декабря 2011 года:

 

Месяц	Темп роста спроса на сахар	Месяц	Темп роста спроса на сахар
Январь	82,9	Июнь	121,6
Февраль	87,3	Июль	118,6
Март	99,4	Август	114,1
Апрель	104,8	Сентябрь	123,0
Май	107,2	Октябрь	127,3

 

Построим график данного  временного ряда. На нем наглядно видно  наличие возрастающей тенденции. Возможно существование линейного тренда. Для дальнейшего анализа необходимо определить коэффициенты автокорреляции по уровням этого ряда и их логарифмам (таблица 1).

 

 

Таблица 1

Автокорреляционная функция временного ряда темпов роста спроса на сахар за 10 месяцев 2011 г., % к уровню декабря 2011г.

Лаг	Автокорреляционная функция
	По уровням ряда	По логарифмам уровней ряда
1	0,901	0,914
2	0,805	0,832
3	0,805	0,896

 

Высокие значения коэффициентов  автокорреляции первого, второго и  третьего порядков свидетельствуют  о том, что ряд содержит тенденцию. приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням этого ряда и по логарифмам уровней позволяют сделать вывод: если ряд содержит линейную тенденцию, то она выражена в неявной форме (например полином второго порядка) или экспоненциальный тренд.

Зависимость спроса, предложения и ценообразования от времени часто не ярко выражена. Лучшей для анализа этих явлений будут модели, так называемой множественной регрессии, в которых спрос или предложение зависят от многих факторов. Такие модели чаще применяются поскольку позволяют прогнозировать значения показателя при изменении того или иного фактора.

Например, предположим  спрос на картофель (показатель y) зависит от заработной платы (фактор х1), времени года (фактор х2), места расположения области (фактор х3), накоплений населения в банках (фактор х4), уровня инфляции в месяц (фактор х5). Некоторые факторы можно принять за числовые значения, например времена года: зима – 2, весна – 2,5, лето – 3, осень – 3,5 (или по месяцам). Тогда можно построить многофакторную модель регрессии: . Такая модель будет ярко показывать, что произойдет со спросом на картофель, если изменится заработная плата, и (или) инфляция и т.д.

Для нахождения параметров модели используют либо метод наименьших квадратов, либо матричную запись.

Матрица Х – показывает факторы, матрица Y – показатель, матрица А - коэффициенты регрессии.

 

; ;

 

Таким образом, уравнение  множественной регрессии примет вид: .

С помощью элементарных действий над матрицами найдем  выражение матрицы А: , где X’ – транспонированная матрица Х.

Задание 2

Имеются данные, характеризующие  динамику спроса (y) в зависимости  от насыщенности рынка (x1) и фактора цен (x2):

Y (спрос)	46,3	44,1	42,8	40,3	38,4	37,3
X1 – насыщенность рынка	121,8	135,4	137,8	140,3	142,8	144,3
X2 – цена	16,3	16,9	17,3	17,7	18,1	18,5

Требуется предвидеть дальнейшее поведение спроса на периоды t7, t8, t9 и t10. Оцените адекватность выводов.

Решение. Сначала оценим характер изменения факторов x₁ и x₂ во времени.

Изучим поведение насыщенности рынка от времени.

Как мы видим, начиная с момента  времени t_2,  устанавливается линейный рост фактора x₁ во времени.

При этом следует опустить из рассмотрения точку, соответствующую  начальному моменту времени, как  несоответствующую общей закономерности.

Уравнение линейной регрессии  ищем в виде:

Расчет параметров такого уравнения осуществляем обычным методом наименьших  квадратов (МНК) путем решения системы:

Построим расчетную  таблицу для вычисления параметров a и b.

Т	Х1	Х1*Т	Х1*Х1	Т*Т
2	135,4	270,8	18333,16	4
3	137,8	413,4	18988,84	9
4	140,3	561,2	19684,09	16
5	142,8	714	20391,84	25
6	144,3	865,8	20822,49	36
20	700,6	2825,2	98220,42	90

Имеем:

Решаем систему уравнений  и находим параметры регрессии:

а =131; b = 2,28

Итак, уравнение регрессии:

X1(t)= 2.28*t  + 131

Коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов ( ) найденная функция регрессии описывает связь между исходными значениями параметров X и Y

где  – объясненная вариация (отклонение расчетных значений от среднего уровня ряда);  – общая вариация (отклонение фактических значений от среднего уровня ряда).

Имеем:

 

Ввиду очень высокого значения коэффициента детерминации можно не проверять значимость полученного уравнения.

Выполним прогноз на интересуемые промежутки времени:

x1(t7) = 2.28*7+131 = 146,96

x1(t8) = 2.28*8+131 = 149,24

x1(t9) = 2.28*9+131 = 151,52

x1(t10) = 2.28*10+131 = 153,80

Изучим теперь поведение другого фактора во времени (расчеты приведем в сокращенном варианте).

Прослеживается явный  линейный характер зависимости фактора Х2 от времени.

Выполним прогноз на интересуемые промежутки времени:

Х2(t7) = 0.4286*7+15.967 = 18,967

Х2(t8) = 0.4286*8+15.967 = 19,396

Х2(t9) = 0.4286*9+15.967 = 19,824

Х2(t10) = 0.4286*10+15.967 = 20,253

Выполним прогноз на интересуемые промежутки времени:

Теперь выявим связь  результата с факторами

Сначала сформируем расчетную таблицу:

	Y	X1	X2	X2*X2	X1*X1	Y*X1	Y*X2	X1*X2
	46,3	121,8	16,3	265,69	14835,24	5639,34	754,69	1985,34
	44,1	135,4	16,9	285,61	18333,16	5971,14	745,29	2288,26
	42,8	137,8	17,3	299,29	18988,84	5897,84	740,44	2383,94
	40,3	140,3	17,7	313,29	19684,09	5654,09	713,31	2483,31
	38,4	142,8	18,1	327,61	20391,84	5483,52	695,04	2584,68
	37,3	144,3	18,5	342,25	20822,49	5382,39	690,05	2669,55
Сумма:	249,2	822,4	104,8	1833,74	113055,7	34028,32	4338,82	14395,08