Дифференциальные уравнения

Содержание

 

Понятие дифференциального  уравнения………………………………………3

 

Определение понятия дифференциальное уравнение…………………………3

 

Виды дифференциальных уравнений  и методы их решения…………………..5

 

Дифференциальные уравнения  первого порядка……………………………….5

 

Дифференциальные уравнения  второго порядка……………………………….9

 

Дифференциальные уравнения  высших порядков…………………………….12

 

Список литературы…………………………………………………………… 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие дифференциального  уравнения

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

 

Определение понятия дифференциальное уравнение

 Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,  не является дифференциальным уравнением.

 

• Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

 

• Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные  до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

 

• Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

 

• В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

 

• Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874)

 

 

• Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

 

• Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привел к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

 

 

• Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

 

• Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

 

Виды дифференциальных уравнений и методы их решения

Дифференциальные  уравнения первого порядка.

• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида  .

Запишем несколько примеров таких  ДУ  .

Дифференциальные уравнения   можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению  , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0. Примерами таких ОДУ являются  .

Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения   при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести  .

Дифференциальное уравнение  первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.  
 
Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов  , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.  
 
Обозначив  , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены  и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.  
 
Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение  уравнения с разделяющимися переменными.

 

Пример:

Решить дифференциальное уравнение  .

 
Решение.

В данном случае p(x) = 1 и h(y) = y(y +2). Разделим уравнение на h(y) и перенесем dx в правую часть:       

Заметим, что при делении  мы могли потерять решения y = 0 и y = −2 в случае когда h(y) равно нулю. Действительно, убедимся, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть      

Подставляя это в уравнение, получаем: 0 = 0. Следовательно, y = 0 будет являться одним из решений. Аналогично можно проверить, что y = −2 также является решением уравнения.  
 
Вернемся обратно к дифференциальному уравнению и проинтегрируем его:      

Интеграл в левой части  можно вычислить методом неопределенных коэффициентов:      

Таким образом, мы получаем следующее разложение рациональной дроби в подыинтегральном выражении:       

Следовательно,      

Переименуем константу: 2C = C₁. В итоге, окончательное решение уравнения записывается в виде:      

Общее решение здесь выражено в неявном виде. В данном примере  мы можем преобразовать его и  получить ответ в явной форме  в виде функции y = f(x,C₁), где C₁ − некоторая константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений. 

 

Линейные  неоднородные дифференциальные уравнения  первого порядка.

 

В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений  первого порядка можно привести

Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).

 

 

Дифференциальное  уравнение Бернулли 

.

Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например,  .

Дифференциальное уравнение  Бернулли сводится к линейному дифференциальному  уравнению первого порядка подстановкой  .

Можно также пользоваться методом, основанным на представлении  функции y как y(x) = u(x)v(x).

 

Уравнения в  полных дифференциалах 

.

Если для любых значений x и y выполняется  , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

К примеру, левая часть  дифференциального уравнения  представляет собой полный дифференциал функции  .

 

Дифференциальные  уравнения второго порядка.

 

 

• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  .

ЛОДУ с постоянными  коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни  характеристического уравнения  . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися  , действительными и совпадающими   или комплексно сопряженными  . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как  , или  , или   соответственно.

 

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  . Корнями его характеристического уравнения   являются k ₁ = -3 и k ₂ = 0. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид 

 

Линейные  неоднородные дифференциальные уравнения  второго порядка с постоянными  коэффициентами 

.

Общее решение ЛНДУ второго  порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы   общего решения соответствующего ЛОДУ   и частного решения   исходного неоднородного уравнения, то есть,  . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами  , посвящен предыдущий пункт. А частное решение   определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго  порядка с постоянными коэффициентами приведем 

 

Линейные  однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 

 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка  .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ   на некотором отрезке [a; b]представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y ₁ и y ₂ этого уравнения, то есть,  .

Главная сложность заключается  именно в нахождении линейно независимых  частных решений дифференциального  уравнения этого типа. Обычно, частные  решения выбираются из следующих  систем линейно независимых функций: 

Однако, далеко не всегда частные  решения представляются в таком  виде.

Примером ЛОДУ является  .

Общее решение ЛНДУ   ищется в виде  , где   - общее решение соответствующего ЛОДУ, а   - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении   мы только что говорили, а   можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести  .

 

 

Дифференциальные  уравнения высших порядков.

 

Дифференциальные  уравнения, допускающие понижение  порядка.

Порядок дифференциального  уравнения  , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой  .