Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

      Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется  тождественно, т.е. справедливо для любых допустимых значений входящих   в   него        переменных. Для того чтобы доказать    тождество,    необходимо           преобразовывать одну из частей тождества до полного совпадения этих частей. Если обе части доказываемого тождества выражаются через разности a – b, b – c, c – a, то удобно сделать замену: x= a – b, y= b – c, z = c – a; тогда x + y + z = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0. 

2.2.1. Неравенства 

Задача: Доказать, что если а и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b ≥c, то справедливы неравенства:

a² + b² = c²/2,    a⁴ + b⁴ = c⁴/8,     a⁸ + b⁸ = c⁸/128.

Доказательство:

Введем  элементарные симметрические многочлены σ₁ = a+b, σ₂ = ab.

Мы имеем: S₂ = a² + b² = σ₁² – 2σ₂ = σ₁² – 2*¼ ( σ₁² –z) = ½ σ₁² + ½z.

Так как z ≥ 0, а по условию задачи σ₁ ≥ c, то S₂ ≥ ½c², т.е.

a² + b² ≥ ½c².

Применяя к  полученному неравенству то же рассуждение, находим:

a⁴ + b⁴ ≥ ½(½c²)²=⅛с⁴.

Аналогично находим, что a⁸ + b⁸ ≥ с⁸/128.

Применяя метод  математической индукции, можно таким  путем доказать, что если a + b ≥ c и n- произвольное натуральное число, то

a²ⁿ + b²ⁿ ≥ (1/2^2n-1)*c²ⁿ.

Задача 2: Доказать, что для любых положительных чисел x,y,z справедливо неравенство σ₁σ₂ ≥ 9σ_3.

Доказательство:

Так как  числа x,y,z положительны, то σ₁>0, σ₂>0, σ₃>0.   Поэтому неравенства σ₁² ≥ 3σ₂,  σ₂² ≥ 3σ₁σ₃,   можно    перемножить.   

Мы получили σ₁²σ₂² ≥ 9σ₁σ₂σ₃.   Сокращая на положительную величину σ₁σ_2,    

мы и  получаем требуемое неравенство  σ₁σ₂ ≥ 9σ_3.    Равенство σ₁σ₂ = 9σ_3, достигается лишь в том случае,  если  x=y=z.

2.2.2. Доказательство тождеств 

Задача: Доказать тождество (x+y+z)(xy+xz+yz) – xyz = (x+y)(x+z)(y+z).

Доказательство:

Левая часть  тождества есть не что иное, как  σ₁σ₂ – σ₃.

Раскроем скобки в правой части тождества. Мы получаем:

(x+y)(x+z)(y+z)= x²y + x²z + y²x + xz² + y²z + yz² + 2xyz= O(x²y) + 2σ₃=

=(σ₁σ₂–3σ₃) + 2σ₃ = σ₁σ₂ – σ₃.

Итак, тождество доказано.  

2.3. Системы уравнений  

2.3.1. Системы уравнений  от двух переменных 

Задача: Решить систему уравнений:

   x⁵ + y⁵ = 33,

     x + y = 3.

Решение: Полагая S₅=x⁵ + y⁵ , σ₁=x+y, σ₂=xy, получаем:

 σ₁⁵ -5σ₁³σ₂ + 5σ₁σ₂²= 33,

  σ₁=3;

Подставив σ₁ в первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно σ₂:

15σ₂² – 135σ₂ + 210 = 0 |: 15,

  σ₂² – 9σ₂ + 14 = 0,

Решим его. Пусть  σ₂=t, тогда уравнение имеет вид t² – 9t + 14 = 0.

Тогда по теореме  Виета получаем:

   t₁ + t₂ = 9,

   t₁t₂ = 14.

  t₁ =7,

  t₂ =2. 

Итак, σ₂=2 и σ₂=7. Мы получили две системы уравнений:

    x + y = 3,                            x + y = 3,

    xy = 2;                                xy = 7;

Решая их методом подстановки, получим четыре системы решения  первоначальной системы:

    x₁=2,      x₂=1,       x₃=3/2 + (√19/2)*i,      x₄=3/2 – (√19/2)*i,      

    y₁=1;      y₂=2;       y₃=3/2 – (√19/2)*i;     y₄=3/2 + (√19/2)*i;

Ответ: (2;1); (1;2); (3/2 + (√19/2)*i; 3/2 – (√19/2)*i); (3/2 – (√19/2)*i; 3/2+ (√19/2)*i).

2.3.1. Системы уравнений  от трех переменных 

Задача: Решить систему уравнений

      x + y + z = 2,

      x² + y² + z² = 2,

      xyz = 0.

Решение:

Это – симметрическая система уравнений. Положим x + y + z = u,

xy + xz + yz = v,   xyz = w. Поскольку     x² + y² + z² = (x + y + z)² -2(xy + yz+xz),   то x² + y² + z² = u² – 2v, и, следовательно, заданная система имеет следующий вид:

    u = 2,

    u² – 2v = 2,

   w = 0.

Отсюда  мы получаем u = 2, v =1, w = 0. Эта система полностью эквивалентна исходной системе. Для ее решения необходимо найти корни кубического уравнения z³ – 2z² + z = 0:

z³ – 2z² + z = 0,

Вынесем z за скобки. Получим: z(z² – 2z +1) =0, z₁ = 0 или z² – 2z +1 =0,

   z₂ + z₂ = 2,

   z₂z₃ = 1;

   z₂ = 1,

  z₃ = 1.

Получили три  корня. А решения первоначальной системы получаются путем перестановок этих корней.

Ответ: (0;1;1), (1;1;0), (1;0;1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      Решение нестандартных заданий, задач повышенной сложности позволяет развивать  логику мышления, а также повышает шансы    учащегося на успешную сдачу экзамена по математике и более легкое обучение в ВУЗе.   Одним из методов решения таких задач является метод применения симметрических многочленов. В данной работе были изучены основные понятия и факты теории симметрических многочленов от двух и трех переменных и применение их в решении уравнений, неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений.

     К сожалению, такой раздел алгебры  как теория симметрических многочленов  выходит за рамки школьной программы, хотя минимальные знания по этой теме могут быть весьма полезны при решении целого ряда задач. Например, решение алгебраических уравнений высших степеней и их систем, разложение многочленов на множители, доказательство тождеств и др.

     Метод, основанный на свойствах симметрических многочленов, не является столь универсальным при решении систем как первый метод, но при выполнении определенных условий приводит к решению уравнений, степени которых ниже исходных. Кроме того, данный метод позволяет решать и другие алгебраические задачи.

        Таким образом, основная задача  нашей работы – изучение основных понятий и фактов теории симметрических многочленов от двух переменных и применение их в решении уравнений, неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений достигнута. 
 
 
 
 

Библиографический список 

1. Алгебра и начала анализа. Учебник 11кл.//Авторы: Г.К. Муравин, О.В. Муравина. 2010 г. Изд-во: Дрофа.
2. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. Учебник 8 кл. //Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. 2010 г. Изд-во: Просвещение. Москва.

3. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967.

4. Дородницин В.А., Еленин Г.Г. Симметрия в решениях уравнений математической физики. М.: Знание, 1984. № 4.

5. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. № 8.

6. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. № 7.

7. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.

8. Мигдал А.Б. Поиски истины. М.: Молодая гвардия, 1983.