Контрольная работа по «Математике»

ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по математике часть 3

 

 

 

 

Студент: Самохина Анастасия Александровна              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 2014

Задание 1. Из города А в город В ведут 5 дорог, и из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение:

Из города А в город В -существует 5 способов перемещения, для каждого из этих способов мы можем взять любой из 3 способов перемещения из города В в город С.

Поэтому  5×3=15-  способов.

Ответ: 15 путей, проходящих через В, ведут из А в С

Задание 2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?

Решение:

Выбрать перчатку на левую руку можно  6 способами. При каждом таком выборе левой перчатки можно 5 способами выбрать правую перчатку, не совпадающую по размеру с выбранной левой. По правилу произведения то, о чем спрашивается, можно выбрать 6×5=30 способами.

Ответ: 30 способами.

Задание 3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

Решение:

По условию задачи, в одной команде должен быть 1 юноша, а в другой 2. При таких условиях задачи, комвнду можно сформировать так: юношу в первую команду можно выбрать C31 способами, выбрать девушек в эту команду можно C53 способами. Оставшиеся 2  юноши и 2 девушки составят другую команду. Значит, всего имеется C31·C53=30 способов разбиться на команды.

Ответ: 30 способов.

Задание 4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 – спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Решение:

Разместим троих желающих пассажиров спиной к паровозу, это можно сделать  A53 способами,   а четверых желающих пассажиров лицом к паровозу (на 5 местах)- это можно сделать  A54 способами.  Осталось 3 «безразличных» пассажира и для них 3 места. Их можно разместить 3! способами.

Значит, всего способов размещения

A54·A53·3!=43200.

Ответ: 43200 способов.

Задание 5. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?

Решение:

Имеем случай сочетания с повторениями Cnm=Cmn+m-1=(n+m-1)!/m!(n-1)!

В нашей задаче n=12, m=10

 Cmn+m-1=(n+m-1)!/m!(n-1)!=

=(12+10-1)!/10!(12-1)!=21!/10!·11!=352716

Ответ: 352716.

Задание 6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании, по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?

Решение: Победитель будет определен в случаях, если А (ровно два судьи определили одного и того же спортсмена X), В (ровно три судьи назвали одного и того же спортсмена X).  

p(A)=1/102,  p(B)=1/103. Однако спортсмен X – любой из 10 спортсменов, поэтому  доля всех возможных случаев

p=10-1/102+1/103=0,11.

Ответ: 0,11.

Задание 7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1, 2, 3, …, 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?

Решение:

Неблагоприятные исходы: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4) (в этих случаях сумма чисел меньше 9). Всего исходов C310. Значит, всего благоприятных исходов C310-4=120-4=116.

Ответ: 116.

Задание  8. Человек имеет 6 друзей и в течении 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?

Решение:

Выбрать 3 друзей из 6 можно C63=20 способами. Значит, всего можно составить 20 различных компаний. Эти компании надо распределить на 20 дней. Это можно сделать 20!=2432902008176640000 способами.

Ответ: 20!=2432902008176640000 способами.

Задание 9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

   Решение.

A1 – множество людей, взявших бутерброды с колбасой,

A2 – множество людей, взявших бутерброды с сыром,

A3 – множество людей, взявших бутерброды с ветчиной,

A4 – множество людей, взявших только пирожки. По условию:

|A1 U A2 U A3 U A4|=92;

|A1|=47; |A2|=38; |A3|=42; |A4| − ?

|A1 I A2|=28; |A1 I A3|=31; |A1 I A4|=0;

|A2 I A3|=26; |A2 I A4|=0; |A3 I A4|=0;

|A1 I A2 I A3|=25;

|A1 I A2 I A4|=|A1 I A3 I A4|=|A2 I A3 I A4|=0;

|A1 I A2 I A3 I A4|=0.

По правилу включения-исключения можно выразить число людей, поехавших на загородную прогулку с помощью формулы:        

|A1 U A2 U A3 U A4|=∑|Ai|− ∑|Ai I Aj|+

         i − 1       1≤ i < j≤ 4  

 

+∑|Ai I Aj I Ak|−|A1 I A2 I A3 I A4|.

1≤ i < j < k ≤ 4

Подставляя указанные выше числовые значения, получим уравнение для нахождения неизвестного |A4| .

92=47+38+42+|A4|–(28+31+26)+25+0+0+ 0–0

92=127+|A4|–85+25

|A4|=25.

Ответ: 25 человек взяли с собой пирожки.

Задание 10. Найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:

 F=2x1+x2-x3+x4-x5

при условиях

x1+x2+x3=5

2x1+x2+x4=9

x1+2x2+x5=7

x1, x2, … , x5 ≥ 0

Решение:

Преобразуем целевую функцию

F=(2х1+х2 +х4)-х3-х5=9-х3-х5.

Учитывая не отрицательность переменных х1, х2, х3, х4, х5 видим, что наибольшее значений целевой функции  может быть при х3 =0, х5=0, если при таких значениях будут выполняться все ограничения.

Имеем : х1+х2=5            х1+х2=5                        

2х1+х2+х4=9  или  х2-х4=1  или                   

х1+2х2=7           х2=2

х1=3

х4=1 

х2=2

Все переменные неотрицательны и удовлетворяют  ограничениям и несут максимум  Z=9 целевой функции.