Контрольная работа по "Прикладная математика"

Содержание

 

Задача 5 3

Задача 15 5

Задача 25 5

Задача 35 5

Задача 45 5

Задача 55 5

Задача 65 5

Задача 75 5

Задача 85 5

Список литературы 5

Задача 5

Из 24 частных банков, работающих в городе, нарушения в уплате налогов имеют место в 7 банках.

Налоговая инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из 24 банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких, которые допускают нарушения в уплате налогов?

Решение

Обозначим через В случайное  событие – в ходе проверки будет  установлен факт наличия среди частных  банков города таких, которые допускают  нарушения. Событие В наступит, если среди выбранных случайным образом  для проверки трех банков есть допускающие  нарушения и хотя бы в одном  из них эти нарушения будут  обнаружены. Пусть событие А_i состоит в том, что среди выбранных для проверки трех банках в i банках имеют место нарушения в уплате налогов. Очевидно, что i = 0, 1, 2, 3 и события A₀, A₁, A₂, A₃ образуют полную группу и попарно несовместимы. Тогда

Р(В) = Р(А₁В) + Р(А₂В) + Р(А₃В) =

Получили формулу полной вероятности:

Вероятности найдем по формуле:

В этой формуле:

Вычислим вероятности :

Учитывая, что банки  проверяются независимо один от другого, условные вероятности определим  по формуле:

где i = 0, 1, 2, 3, р = 0,8 – вероятность того, что допущенные в проверяемом банке нарушения будут выявлены.

Подставляя найденные  значения в формулу, определяем:

Т.е. вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких, которые допускают нарушения в уплате налогов составляет 0,56

Задача 15

Случайная величина Х – годовой  доход наугад взятого лица, облагаемого  налогом. Плотность распределения этой случайной величины имеет вид:

 

Требуется:

• определить значение параметра A,
• найти функцию распределения F(x),
• вычислить математическое ожидание m_х и среднее квадратическое отклонение _х,
• определить размер годового дохода х₁, не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

Решение

1. Параметр А найдем из условия:

 

Откуда А = 176,9

Таким образом,

 

2. Функцию распределения найдем по формуле:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

3. Определим математическое ожидание m_x и среднее квадратическое отклонение σ_x

4. Определим размер годового дохода х₁, не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется доход случайно выбранного налогоплательщика

Т.к. по определению F(x) = P(X < x), то

Р(Х  х₁) = 1 – P(X < x₁) = 1 – F(x₁) = 0,5

Отсюда F(x₁) = 0,6, следовательно,

откуда

2,4lnx₁ = ln(1,71), откуда lnx₁ = 2,22; x₁=9,1

Задача 25

Выборочная проверка размеров дневной  выручки оптовой базы от реализации товаров по 100 рабочим дням дала следующие  результаты:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
Ji	0 - 5	5 - 10	10 - 15	15-20	20 - 25	25 - 30	30 - 35	35 - 40
ni	4	6	8	18	24	20	14	6

 

Здесь

i - номер  интервала наблюденных значений  дневной выручки;

J_{i -} границы i – го интервала в условных денежных единицах;

n_i - число рабочих дней, когда дневная выручка оказывалась в пределах i - го интервала.

Требуется:

• найти оценки и соответственно математического ожидания и дисперсии случайной величины Х (дневной выручки оптовой базы) соответственно;
• считая распределение случайной величины Х нормальным, определить вероятность того, что  в наудачу выбранный день дневная выручка составит не менее 15 у.д.е.

Решение

В качестве параметров и нормального распределения возьмем оценки и . Все необходимые вычисления проведем в таблице:

Х	ni	хi	ui	ni ui	(ni ui)2
0 – 5	4	2,5	-4	-16	256
5 – 10	6	7,5	-3	-18	324
10 – 15	8	12,5	-2	-16	256
15 – 20	18	17,5	-1	-18	324
20 – 25	24	22,5	0	0	0
25 – 30	20	27,5	1	20	400
30 – 35	14	32,5	2	28	784
35 – 40	6	37,5	3	18	324
	100			-2	2668

Вероятность Р(Х  15) того, что в наудачу выбранный день дневная выручка составит не менее 15 условных денежных единиц, можно вычислить с использованием функции Лапласа по формуле

 

 

Т.е. из 100 дней работы выручка превышает 15 условных денежных единиц около 88 дней.

 

Задача  35

По наблюдениям  случайной величины (Х, Y), сгруппированным в корреляционную таблицу, требуется:

1. построить поле корреляции;
2. вычислить групповые средние и построить линию групповых средних;
3. вычислить коэффициент корреляции , коэффициент линейной детерминации   и пояснить его смысл;
4. записать уравнение   эмпирической линии регрессии, построить ее график и пояснить смысл.

х y	5	10	15	20	25	30
10	3	5
20		4	4
30			7	35	8
40			2	10	8
50				5	6	3

 

Решение

Построим корреляционное поле:

 

 

 

 

х y	5	10	15	20	25	30	Итого
10	3	5					8
20		4	4				8
30			7	35	8		50
40			2	10	8		20
50				5	6	3	14
Итого	3	9	13	50	22	3	100

 

 

Групповые средние:

Линия групповых  средних:

 

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

5	3	15	75		10	8	80	800
10	9	90	900		20	8	160	3200
15	13	195	2925		30	50	1500	45000
20	50	1000	20000		40	20	800	32000
25	22	550	13750		50	14	700	35000
30	3	90	2700			100	3240	116000
	100	1940	40350

 

Найдем  выборочные средние:

Найдем  средние квадратические отклонения:

Найдем  вспомогательную величину:

Найдем  коэффициент корреляции:

 

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Равенство коэффициента нулю свидетельствует об отсутствии линейной связи. Равенство коэффициента -1 или +1 показывает наличие функциональной связи. Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «-» — на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака).