Понятие системного анализа и его основные принципы

Требуется обосновать сравнение между  объектами и выбрать наилучший  из них.

Задача состоит в выборе наиболее значимого элемента е_i или группы этих элементов при разных предположениях относительно требований к точности совпадения мнений всех экспертов.

E = { е_i } i = 1,6

К = К₁ К₂…...К₁₀

Оценки  рассматриваемых показателей каждым из опрашиваемых экспертов

α^К_j , i = 1,2…6 К = 1,2….10 совпадают с данными таблицы 4.

Теперь построим матрицу соответствия.

С этой целью для каждой пары объектов (е_i ,е_j) определим коэффициенты соответствия с_ij, исходя из предположения, что объект е_i предпочтительнее е_j...

Результаты  расчётов представлены следующей матрицей С (табл. 5).

Таблица 5

Матрица С

еj		еi
е1		е2	е3	е4		е5		е6
сij = е1					С12 = 0,6		0,6		0,7	0,6	0,4
е2	0,4						0,5		0,6	0,3	0,3
е3	0,4				0,5				0,8	0,5	0,4
е4	0,3				0,4		0,2			0,2	0,3
е5	0,4				0,7		0,5		0,8		0,7
е6	0,6				0,7		0,6		0,7	0,3

Расчет  коэффициента С₁₂.

Выдвигаем гипотезу, что е₁ предпочтительнее е_2. Это предположение разделяют экспертов. Множество критериев, соответствующих этому предположению, С₁₂ имеют номера: К = 2, 3, 4, 5, 6, 8. Следовательно

С₁₂ =

Аналогично  рассчитываются значения остальных  элементов матрицы С.

После построения матрицы соответствия С нужно  рассчитать значение элементов матрицы  несоответствия Д.

Элемент матрицы несоответствия Д  учитывает те критерии, по которым  существует противоречие вынесенной гипотезе, что объект е₁ предпочтительнее объекта е_2. Для расчёта необходимо:

Для пары объектов ( е_i ,е_j) показатель d_ij (1) рассчитывается следующим образом:

Выделяется  множество экспертов, оценки которых  противоречат выдвинутой гипотезе, что  объект е₁ предпочтительнее объекта е_2. К = 1, 3, 5, 10.

Для этих критериев рассчитаем разность оценок объектов е₁ и е₂ — величину несоответствия.

[α¹₂ - α¹ ₁] = 3.

[α³₂ - α³ ₁] = 4.

[α⁵₂ - α⁵ ₁] = 3.

[α¹⁰₂ - α¹⁰ ₁] = 2.

Полученные  величины упорядочиваются в порядке  невозрастания: [4, 3, 3, 2]

3. Показатель  несоответствия d₁₂ (1) = вычисляется как отношение первого члена последовательности из п.2 к масштабу шкалы.

Матрица Д (1)имеет вид (рис. 6).

Таблица 6

Матрица Д

dij = еj		еi
е1		е2	е3	е4		е5		е6
е1					d12 (1) = 0,4		0,6		0,5	0,8	0,6
е2	0,4						0,4		0,3	0,4	0,2
е3	0,7				0,5				0,6	0	1
е4	0,5				0,5		0,5			0,5	0,8
е5	0,2				0,7		0,7		0,8		0,4
е6	0,8				0,6		0,5		0,2	0,6

Данные  матриц С и Д (s) позволяют построить  графы сравнения объектов при  различных требованиях к порогам  соответствия и несоответствия и  выделить ядро соответствующего графа.

Рассмотрим, как изменяются графы в зависимости  от значения параметров (c, d, s).

Пусть s = 1, С = 0,7, d = 0,3. Тогда можно провести сравнение только для двух объектов — е₃ и е_1.

Ядро графа включает пять элементов  í е₁ е₂ е₄ е₅ е₆ ý.

Другими словами, эти объекты при  указанных требованиях к совпадению мнений экспертов не сравнимы между  собой. При этом объект е₁ признаётся более значимым, чем объект (показатель) е_3.

Снижение требований к порогу соответствия С = 0,6 приводит к дополнительной возможности  сравнения показателей е₂ и е₁. (рис б). Следовательно, ядро этого графа содержит теперь элементы íе₂ е₄ е₅ е₆ ý.

При s = 2 и тех же порогах соответствия и несоответствия (С = 0,8, d = 0,3) граф содержит единственный элемент (показатель), превосходящий  все остальные. Таким образом, показатель е₅ может быть принят в качестве основного при решении данной проблемы с указанной степенью риска, отраженной набором оценок степени согласованности мнений экспертов. Точно так же введение более строгих требований к порогу несоответствия (уменьшение значения d с 0,3 до 0,2) приводит к введению в ядро графа элемента е₆. Исследование изменений ядер графов в зависимости от изменения требований к параметрам согласования различных критериев (различных мнений экспертов) позволяет упорядочить рассматриваемые объекты.

Задание 5. Оценка сложных систем в условиях риска и неопределенности

В ресторане решено делать бизнес-ланч.

Процесс производства позволяет изготавливать 70, 120 или 150 бизнес-ланчей. Число посетителей  колеблется от 60 до 160. Необходимо определить число изготавливаемых бизнес-ланчей а_i, если число посетителей k_j.

Матрица эффективности имеет вид (руб).

Таблица 7

Матрица эффективности

а/к	к1 = 60	к2= 95	к3= 125	к4= 160
а1= 70	-1600	2300	2300	2300
а2= 120	-4000	5300	7800	7800
а3= 150	-6200	-1750	10000	9500

1. Критерий  среднего выигрыша. Предполагает  задание вероятностей состояния  обстановки Р_i. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки.

Оптимальной системе будет соответствовать  максимальная оценка.

К = ∑  Р_i ∙ к _ij

Определим частоту каждого к_i:

Р₁ = 0,14; Р₂ = 0,22; Р₃ = 0,28; Р₄ = 0,36.

Определим оценку:

К(а₁) = 0,14 ∙ (-1600) + 0,22 ∙ 2300 + 0,28 ∙ 2300 + 0,36 ∙ 2300 = 1768,18.

К(а₂) = 0,14 ∙ (-4000) + 0,22 ∙ 5300 + 0,28 ∙ 7800 + 0,36 ∙ 7800 = 5651,14.

К(а₃) = 0,14 ∙ (-6200) + 0,22 ∙ (-1750) + 0,28 ∙ 10000 + 0,36 ∙ 9500 = 5072,16.

Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120.

2. Критерий  Лапласа (достаточного основания)

Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований  предполагать иное.

К = 1/к∑К_ij, для каждого i, а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.

К(а₁) = 0,333 ∙ (-1600 + 2300 + 2300 + 2300) = 1325,0.

К(а₂) = 0,333 ∙ (-4000 + 5300 + 7800 + 7800) = 4225,0.

К(а₃) = 0,333 ∙ (-6200 + (-1750) + 10000 + 9500) = 2887,5.

Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120.

3. Критерий  осторожного наблюдателя (критерий  Вальда). Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные  потери). Он гарантирует определенный  выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при  неизвестной обстановке нужно  поступать самым осторожным образом,  ориентируясь на минимальное  значение эффекта каждой системы.

Для этого  в каждой строке матрицы находится  минимальная из оценок систем

К(а_i) min К_ij.

j

Оптимальной считается система из строки с  максимальным значением эффективности

Копт = max (minK_ij) для всех ij

i j

К(а₁) = min(-1600; 2300; 2300; 2300) = −1600.

К(а₂) = min(-4000; 5300; 7800; 7800) = −4000.

К(а₃) = min(-6200; −1750; 10000; 9500) = −6200.

Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₁ = 70.

В любом  состоянии обстановки выбранная  система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая  осторожность является в ряде случаев  недостатком критерия.

4. Критерий  пессимизма-оптимизма (критерий  Гурвица). Критерий обобщенного максимина.  Согласно данному критерию при  оценке и выборе систем не  разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать  во внимание самое высокое  и самое низкое значение эффективности  и занимать промежуточную позицию.  Эффективность находится как  взвешенная с помощью коэффициента  α сумма максимальных и минимальных  оценок.

К(a_i) = α max K_ij + (1− α) ∙ min K_ij

j j

0≤ α  ≤1

Копт = max { α max K_ij + (1 + α) ∙ min K_ij}

i j j

d = 0,6

К(а₁) = 0,6 ∙ 2300 + (1−0,6) ∙ (-1600) = 740.

К(а₂) = 0,6 ∙ 7800 + (1−0,6) ∙ (-4000) = 3080.

К(а₃) = 0,6 ∙ 10000 + (1−0,6) ∙ (-6200) = 3520.

Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₃ = 150.

При α = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина. На практике используются значения α из интервала (0,3÷0,7).

5. Критерий  минимального риска (критерий  Севиджа)

Минимизирует  потери эффективности при наихудших  условиях. В этом случае матрица  эффективности должна быть преобразована  в матрицу потерь. Каждый элемент  определяется как разность между  максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

∆ К_ij = maxK_ij — K_ij

После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия.

K(a_i) = max∆ К_ij

j

Kопт  = min (max∆ К_ij)

I j

Таблица 8

Матрица потерь

а/к	к1 = 60	к2= 95	к3= 125	к4= 160	∑к
а1= 70	0	3000	7700	7200	17900
а2= 120	2400	0	2200	1700	6300
а3= 150	4600	7050	0	0	11650

Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120.

Комментарий: критерий отражает сожаления  по поводу того, что выбранная система  не оказалась лучшей при определении  состава обстановки. Например, если выбрать число бизнес-ланчей а₁, а угрозу n₃ , то сожаление, что не выбрано лучшее число бизнес-ланчей а₂ составит 7700.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может  оцениваться по ряду критериев. На выбор  каждого из них может влиять ряд  факторов:

а) природа  конкретных операций и ее цель — в одном случае допустим риск — в другом — гарантированный результат

б) причина  неопределенности — закон природы — разумные действия противника

в) характер лица, принимающего решение: — склонность добиться большего, идя на риск — всегда осторожные действия

Результаты  всех расчётов записываются в одну табл. 9.

Таблица 9

Результаты

а\к	к1	к2	к3	к4	Ср. выигр	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	-1600	2300	2300	2300	1768,18	1325,0	1600	740	17900
а2	-4000	5300	7800	7800	5651,14	4225,0	4000	3080	6300
а3	-6200	-1750	10000	9500	5072,16	2887,5	6200	3520	11650

Тип критерия для выбора рационального  варианта выбирается на аналитической  стадии рассмотрения сложных систем. Очевидно, что по большинству критериев  оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120, следующий по значимости вариант — число бизнес-ланчей — а₃ = 150.

Задание 6. Постановка задачи математического программирования

В процессе принятия решений часто  необходимо вербальное описание проблемы преобразовать в формальное описание задачи и затем использовать известный метод её решения.

Для того, чтобы возникла задача, необходимо определить допустимую область решений, определить факторы, влияющие на это  решение. Для формализации задачи нужно  определить количественные зависимости  между факторами и результатами; в совокупности они образуют ограничения  на деятельность системы. При постановке экстремальной задачи, среди ограничений выделяют одно или несколько и используют их в качестве критерия (простого или сложного, сконструированного из нескольких).

В результате постановка задачи математического  программирования сводится к формированию ограничений деятельности системы, которые затем разделяются на критерии и ограничения. Критерий позволяет  оценить решения и определить лучшее из них.

Постановка задачи сводится к переводу словесного описания ситуации в формализованное, в котором определяется переменная, ограничения и целевая функция.

Постановка любой задачи заключается  в том, чтобы перевести их словесное  описание в формальное. Широкое распространение  получили модели математического программирования.