Система сердца и артериальной системы Робинсона

Для человека в норме в покое величина внутреннего сопротивления левого  желудочка   равна  примерно 

При  повышении  уровня  активности сердечно-сосудистой  системы повышается  изометрическое  давление   Р0 и  частота  пульса  f   (и  следовательно,  εf),    а   величина внутреннего    сопротивления   Ri    остается   практически постоянной.

Таким способом была получена еще одна зависимость в модели регуляции сердца — изменение величины внутреннего сопротивления от остальных переменных системы. Кроме того, в модель были введены зависимости параметров модели сосудистой системы от переменных  системы.

Сопротивление  сосудов

определяется по физиологическим данным интактного организма человека. В этой формуле  Рс - систолическое артериальное давление; РД —диалогическое артериальное давление; Q - средняя величина кровотока;  ε — длительность     фазы     изгнания; f – частота пульса.

Было обнаружено, что для самых различных состояний сердечно-сосудистой системы и организма величина сопротивления сосудов колеблется в незначительных пределах — от 0,13 до 0,20     (М. П. Сахаров, 1969).

Диастолическое давление РД связано с величиной сопротивления периферических сосудов Rp:

PД=Rp∙Q.

 

2.3. Модель сердца и артериальной  системы Робинсона

В моделях сердца, основанных на использовании эмпирических свойств изолированных мышц и уравнений Хилла, важное место занимает гемодинамическая регуляция. Зависимости гемодинамической регуляции сердца можно попытаться вывести на основании зависимостей, полученных с изолированных мышц. Так, давление в желудочке сердца определяется усилием его мышцы, его объем—длиной мышечных волокон, объемная скорость кровотока — скоростью сокращения мышечных волокон, конечно-диастолический объем желудочка— величиной   исходной   длины   мышцы.

Тогда   зависимость  первоначальной  скорости   изотонического сокращения и от величины изотонической силы р в соответствии с уравнением Хилла при постоянных величинах параметров а и b можно поставить в связь с нагрузочной характеристикой сердца.

В свою очередь, зависимость скорости изотонического сокращения v при определенной величине изотонической нагрузки р от исходной длины мышцы lн можно связать с зависимостью объемной скорости кровотока от конечно-диастолического давления при постоянном артериальном давлении.

В работах (Beneken, De Wit, 1967, Robinson, 1963) авторы, как указывалось выше, при разработке моделей пытались на основе уравнений Хилла описать динамическую связь давления в желудочке сердца и скорости кровотока внутри пульсового периода в течение систолы и диастолы. Эта попытка была уже выше подвергнута критике. Однако, по-видимому, вполне правомочно с помощью уравнений Хилла установить связь средних величин    переменных    за    период систолы и диастолы.

В эти модели, кроме характеристик мышц в соответствии с уравнением Хилла, не были введены никакие другие зависимости гемодинамической регуляции. Другие зависимости были получены на модели сердца уже как следствие.

Оказалось, что они вполне отвечают эмпирически найденным зависимостям. Следует отметить, что модель Бенекена, Де Вита сложна и, кроме сердца, содержит модель сосудистой системы  и  регуляции. Здесь речь идет о характеристиках только модели сердца   (разомкнутая  система  гемодинамики).

Связь средних значений переменных может быть установлена также с помощью модели сердца и артериальной системы, приведенной во второй части работы Robinson   (1963)   (рисунок 4).

Рисунок 4. Модель сердца и артериальной системы Робинсона

Основным элементом модели сердца (слева от штрихпунктирной линии) является особый элемент, обведенный пунктирным квадратом, представляющий собой усилительную цепь, имеющую коэффициент усиления по току от входа на выход, равный единице. Это значит, что ток, притекающий от источника, равен току, оттекающему в сосудистую систему, моделируемую RpCa—цепочкой справа от штрихпунктирной линии. Изометрическое давление в желудочке сердца в ku (коэффициент усиления цепи по напряжению) раз больше, чем диастолическое давление притока (напряжение на емкости С).

Robinson (1963) построил модель желудочка сердца в виде цилиндра, стенки которого состоят из мышечных волокон. Он использовал для этих целей уравнения Хилла.

Объем V цилиндра связан с длиной волокон l соотношением

Давление внутри цилиндра Р связано с усилием р, развиваемым   волокнами,   соотношением

где h—высота цилиндра.

Используя зависимости Хилла и формулы для объема и давления, Робинсон строил трехмерные зависимости связи давления Р, объема V и скорости  изменения  объема (рис.  5)     для    случая, когда   цилиндр   состоит  из  одних  сократительных   элементов.

Рисунок 5. Трёхмерные зависимости давления, объема и скорости изменения объёма модели желудочка Робинсона.

 

Электрическая модель прямой аналогии, описываемая полученными зависимостями, изображена на рисунке 6.

Рисунок 6.  Электрическая   модель  желудочка  Робинсона

Сократительному элементу СЕ соответствует левая часть схемы, а последовательному эластичному элементу ЭЕ1—правая. При составлении схемы автор исходил из того, что электрическая емкость Po(V) описывает зависимость изометрического давления от объема желудочка. Эта емкость нелинейна. Связь изометрического давления и объема P0(V) находим из трехмерных зависимостей рис. 5, полагая, что скорость изменения объема (скорость кровотока)    

Однако реальное давление, получаемое в желудочке   сердца,   меньше, чем изометрическое, на величину Величина напряжения      между  точками   а—б   меньше   величины напряжения  P0(V)   на   величину     падения напряжения на сопротивлении , т. е. на величину    Величина - наклон   характеристики   Р( ) (рис. 5)    к оси ,   который   получается   при   условии,   что   характеристики Р( ) и P0(V)  линейны.

Модель сердца при работе в систолу представляет собой цилиндр, стенки которого состоят из мышечных волокон (см. рис. 6) (сократительный элемент СЕ и последовательный  эластичный  элемент ЭЕ ).

Рисунок 7.     Электрическая     модель    сердечно-сосудистой    системы   Робинсона  для  систолы желудочка.

Рисунок  8.   Электрическая     модель    сердечно-сосудистой     системы     Робинсона для диастолы желудочка.

Полная схема модели сердечно-сосудистой системы для систолы включает в себя модель сердца и модель сосудистой системы в виде эластичного резервуара (рисунок 7), сопротивления сосудов и клапана Ra , эластичности сосудистой системы Са и периферического сопротивления R5.

Процессы в диастолу описываются с помощью электрической схемы (рисунок8), где P1 — давление наполнения  желудочка   (давление    в    предсердии),   R1 — сопротивление митрального клапана, P0(V) и - характеристики желудочка в диастолу, аналогичные характеристикам в систолу, но отвечающие зависимости Ро тiп .

Временной ход процессов в модели получают путем решения на вычислительной машине уравнений, описывающих  приведенные схемы

для систолы:

для диастолы:

 

где величина P характеризует изменения давления в желудочке от  времени и   моделируется     напряжением между точками а и б.

Переход от расчета процессов в систолу к расчету процессов в диастолу и обратно производится путем изменения расчетного алгоритма, т. с. перехода от схемы рисунка 7 к схеме рисунка 8 и обратно. Этот переход происходит скачкообразно в моменты времени, соответствующие смене систолы диастолой и наоборот. При переходе от одного  этапа   к   другому передаются конечные значения объема V желудочка и объема резервуара сосудистой системы, описываемой емкостью Сa.

Рисунок 9. Диаграмма, описывающая процессы в модели Робинсона.

Процессы в модели иллюстрируют кривые на рис. 9, где Р - давление, V -  объем желудочка. В установившемся состоянии, когда средние величины притока и оттока равны между собой, процесс описывается замкнутой фигурой— циклом. Верхняя дуга (С) соответствует систоле, нижняя дуга (Д) — диастоле. Прямые вертикальные линии соответствуют скачкообразному изменению давления в желудочке сердца без изменения   его  объема   (изометрическая    фаза    сокращения). 

 

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Практическая реализация выше описанных моделей осуществлялась в приложении Simulink пакета Matlab. Элементы электрической схемы брались из библиотеки SimPowerSystems, в основном это были резистор, конденсатор, источники тока и напряжения: Series RLC Branch (блок из последовательно соединенных нагрузки, емкости и индуктивного элемента; для получения какого-то одного элемента, например, резистора, необходимо установить необходимое значение сопротивления, а значения ёмкости и индуктивности принять ничтожно малыми), AC Voltage Source, AC Current Source. В качестве измерительного устройства использовался идеальный вольтметр Voltage Measurement, построение графиков зависимости давления от времени осуществлялось при помощи блока XY Graph, на X-вход(верхний) которого подавался сигнал от имитатора аналоговых часов Clock, а на Y-вход(нижний) - сигнал от вольтметра. В параметрах XY Graph необходимо установить соответствующие диапазоны значений X и Y, а также время шага Sample time, например, 0,001 с.

1. Модель Сахарова.

Для построения модели Сахарова в качестве источника изометрического давления использовалось сочетание блоков Pulse Generator, значение амплитуды импульсов которого устанавливалось на уровне 100 В, время периода – 1с, процент пульсаций от периода – 30%, и Controlled Voltage Source, выполняющего функцию совмещения блока Pulse Generator с электрической схемой. Значения сопротивлений Ri = 4 Ом, Rc=2 Ом.

Первоначально при построении схемы в качестве источника диастолического давления использовался идеальный синусоидальный источник напряжения, однако кардинальное различие между практическим и теоретическим видом зависимости P(t) указало на неверность этого решения: 

Рисунок 10. Модель Сахарова с источником напряжения в качестве источника диастолического давления

 

Рисунок 11. Теоретическая зависимость P(t)

 

 

Рисунок 11. Полученная зависимость P(t) при источнике напряжения AC Voltage Source в качестве источника диастолического давления

 

 

Отсюда следует, что в качестве источника изометрического давления нужно использовать источник тока. При этом надо отметить, что для получения соразмерного результата необходимо брать очень низкое значение амплитуды тока. Как видно из рисунков 13-15,  приемлемый результат получился при значении A=1,00001 А.

Рисунок 12. Модель Сахарова с источником тока в качестве источника диастолического давления

 

Рисунок 13. Зависимость P(t) при амплитуде тока A=0,001 А

Рисунок 14. Зависимость P(t) при амплитуде тока A=0,0001 А

 

Рисунок 15. Зависимость P(t) при амплитуде тока A=0,00001 А

 

2. Модель Робинсона

При построении моделей Робинсона я ориентировался на график изменения давления в процессе систолы и диастолы.

 

 

Рисунок 16. График изменения давления

В модели для систолы желудочка использовались следующие значения параметров: Po=100 B, Rs =4 Ом, Ra =2 Ом, R5=1 Ом, Ce =0,2 Ф, Са=0,1 Ф.

Рисунок 17. Модель Робинсона для систолы желудочка

Рисунок 18. Зависимость P(t) в состоянии покоя.

 

Рисунок 19. Зависимость P(t) при нагрузке

Рисунок 20. Зависимость P(t) при увеличении эластичности стенок сосуда (Се)

 

Учитывая, что систола желудочка длится 0,3 с, то отрезок графика в этом диапазоне совпадает с теоретическим.

При построении модели желудочка в диастолу использовался снова блок Pulse Generator и синусоидальный источник напряжения. Использовались следующие значения параметров: Po=100 В, P1=100 В, R1=10 Ом, Rd=10 Ом.

 

Рисунок 21. Модель Робинсона для диастолы желудочка

 

Рисунок 22. Зависимость P(t) в покое

Рисунок 23. Зависимость P(t) при нагрузке

Так как диастола начинается  примерно с 0,35 с и длится  в покое около 0,55 с, то полученный результат можно считать сопоставимым с теоретическим.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Учитывая то, что описанные модели бесконечно устарели и годятся лишь для рассмотрения истории моделирования сердечно-сосудистой системы, то, разумеется, никакой практической пользы данная работа принести не может. Построенные в Matlab модели являются лишь первым шагом на пути серьёзного и осознанного подхода к данному вопросу. Полученные графики, приблизительно сходные с теоретическими, говорят лишь о правильности построения схем, однако никакой экспериментальной ценности  не несут. Перспективой в данном случае может служить более глубокое и детальное изучение биомеханики сердца и освоение Matlab на уровне языка программирования для создания современных и совершенных моделей. Ввиду отсутствия теоретической базы, неплохо было бы разработать лабораторный практикум по созданию электрических и не только моделей различных систем организма в Matlab для освоения работы с программой.