Логическое строение школьного курса геометрии

Первый признак –  две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников.

Вспомнив необходимый  материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с. предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных.

Следующие признаки связаны  с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей.

После доказательства одного из признаков формулируются все  остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно).

Задачный материал по теме «Признаки  параллельности прямых» целесообразно  дополнить поисковыми заданиями  без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы.

Например, задача.

1. Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объяснить.
2. Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b и секущей с равны α и . Могут ли а и b быть параллельны?
3. Прямые АВ и СD – параллельны. . Чему равен ?

Возможно использование  более свободных по характеру  выполнения заданий на составление  задач по чертежу.

Например: используя рисунок, составьте  несколько задач.

1. 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

По рис.2: а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF;

       б)  ;

       в)  ;

       г)  Как построить сумму АD+ВС?

Вопросы для  самопроверки:

1. Какова роль материала о параллельных и перпендикулярных прямых в школьном курсе планиметрии?
2. С чего целесообразно начинать изучение этого материала в школьном курсе геометрии?
3. Какие варианты определения параллельных прямых встречаются в школьных учебниках?
4. Как решается вопрос о существовании параллельных прямых в действующих школьных учебниках геометрии?
5. Какие идеи лежат в основе доказательства признака параллельности прямых (через равенство накрест лежащих углов) в школьных учебниках?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17

 

Тема 4. Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение.

План.

1. Роль и место геометрических построений в школьном курсе.
2. Методика обучения решению задач на построение.
3. Основные методы решения задач на построение в школьном курсе и некоторые рекомендации по их использованию.

Содержание лекции:

1. Задачи на построение – это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов (чаще всего – линейки и циркуля).

Роль задач на построение в школьном курсе:

1. Способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ.
2. Развивают конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки.
3. Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействуют развитию логического мышления школьников, в частности – мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу.
4. Способствуют прочному закреплению теоретического материала курса.
2. Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:
1. Ознакомительный этап (1-4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами – линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла.
2. Пропедевтический этап (5-6 кл.). более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника.
3. Систематический курс геометрии (7-11 кл.).

7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений).

8 класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» – используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения).

9 класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» – задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников.

(10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии (часто используются при решении конструктивных задач типа «Докажите, что через точку вне плоскости можно провести…»; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости.

3. Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:
1. анализ; 2) построение (синтез); 3) доказательство; 4)исследование.

Не все указанные  этапы с самого начала обязательно  должны явно присутствовать при решении  задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном  виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений (если возможно).

Рассмотрим на примере  следующей задачи на построение реализацию указанных этапов.

Задача. Построить треугольник по данному периметру и двум его внутренним углам α и γ.

4. После рассмотрения основных элементарных задач на построение, навыки, в решении которых обрабатываются до автоматизма, учащиеся приступают к знакомству с первым общим методом решения задач на построение, предварительно рассмотрев понятие геометрического места точек (Г.М.Т.). При введении понятия Г.М.Т. необходимо обратить внимание школьников на следующий факт: при определении того, является ли данная фигура геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, необходимо фактически проверить два взаимно обратных утверждения:
1. любая точка фигуры обладает указанным свойством;
2. любая точка, обладающая данным свойством принадлежит этой фигуре.

Метод геометрических мест сводится к отысканию некоторого множества точек, характеризуемого условием, имеющим вид конъюнкции , где Р₁(х) – фигура, удовлетворяющая первому условию, Р₂(х) – фигура, удовлетворяющая второму условию и т.д.

В качестве первой задачи, решаемой М.Г.М. целесообразно  предложить школьникам задачу, уже известную  им – построение треугольника по трем сторонам. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет:

а) находится на расстоянии b от точки А (это окружность с центром в точке А и радиусом b);

б) на расстоянии а от точки В.

Точка С будет являться пересечением этих двух геометрических мест точек (окружностей). Правда, здесь надо еще одно Г.М.Т. рассмотреть – заданную полуплоскость относительно прямой АВ. Далее переходим к решению задач М.Г.М. типа№32: построить треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

Следующий метод задач на построение – метод координат (8 класс) или алгебраический метод. Он сводится к построению фигур на координатной плоскости, исходя из имеющихся уравнений этих фигур. У школьников он особых проблем не вызывает в силу его алгоритмичности, достаточно широкого знакомства с ним как на уроках алгебры, так и геометрии.

Пример: Построить геометрическое место точек плоскости, для которых  .

Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:

1. она может быть построена по данным задачи;
2. она связана с искомой так, что ее построение обеспечивает построение искомой фигуры.

Наибольшие затруднения  у школьников вызывают задачи на построение, решаемые методом подобия (9 кл.) хотя непосредственно таких задач немного, учителю следует в эвристической беседе при решении одной из задач на этапе анализа подвести школьников к выводу, что условие соответствующих задач целесообразно разбить на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры (то есть определяет ее с точностью до подобия), а другая – ее размеры. По первой части строят фигуру, подобную искомой, а затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части.

 

Вопросы для  самопроверки:

1. Что такое задача на построение? Когда она считается решенной?
2. Какова роль задач на построение в школьном курсе?
3. Какие геометрические построения осуществляются в курсе математики: а) начальной школы; б) пропедевтическом курсе 5-6 классов; в) в систематическом курсе геометрии 7-11 классов?
4. В чем суть основных этапов решения задач на построение?
5. Какие основные методы решения задач на построение Вы знаете? В чем их сущность? Какие из этих методов используются в школьном курсе геометрии?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17

Дополнительно: Аргунов Б.И., Балк Т.Б. Геометрические построения на плоскости. Учпедгиз, 1955.

 

Тема 1. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии.

План.

1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике.
2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики.
3. Методические рекомендации по изучению многоугольников.

Содержание лекции:

Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим:

1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся.
2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни.
3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.
4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.
5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах.

В систематическом курсе планиметрии  материал о многоугольниках можно  разбить на 3 основных блока.

1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:
1. определение треугольника, сопутствующих понятий,
2. равнобедренный треугольник,
3. равенств<span class="dash041e_0431_044b_0