Парадокс Смейла

З цієї теореми випливає наступна:

Теорема: будь – які 2 занурення в є регулярно гомотопними.

Те що це так, не є очевидним. Наприклад, не очевидно, що відображення одиничної сфери в  є регулярно гомотопним тотожному відображенню на одиничній сфері.

Трійка  складається із топологічних просторів та і відображення з в (оскільки необов’язково є відображенням на). Трійка володіє СНР, якщо вона володіє властивістю накривної гомотопії в розумінні Серра. В цьому випадку ми називаємо або інколи просто простором.

Теорема: нехай трійка володіє СНР локально, тобто для кожної точки існує окіл , такий що ( володіє СНР. Тоді володіє СНР.

Гомоморфізм () з простору в простір - це пара відображень :→ та : таких, що наступна діаграма конгруенцій

 

 

 

                                                  ↓    ↓

 

Якщо простори та співпадають і є тотожнім відображенням, ми будемо говорити про , як про гомоморфізм.

Відображення f: є слабо гомотопно еквівалентним, якщо

1. його звуження на  кожну лінійно зв’язну компоненту індукує ізоморфізм гомотопних груп;
2. воно індукує взаємно-однозначну відповідність між лінійно зв’язними компонентами та .

Лема: якщо є простором, то складається із множини лінійно зв’язних компонент .

Лема: нехай () є гомоморфізмом із простора в простір , так що є слабо гомотопно еквівалентними. Нехай , та =(). Тоді звуження на , :→ є слабо гомотопно еквівалентними між та Ця лема випливає з попередньої.

Нехай  і нехай є підпростором якщо виконуються наступні умови: для , (0)=.  Нехай ( та звуження на також позначено через .

Тоді справедлива теорема.

Теорема: трійка ) володіє СНР.

Нехай є простором всіх відображень пар () в (1, ) з компактною відкритою топологією, де є точка , (

Нехай є підпростором', яке задовольняє умову: якщо  , то (0)=. Відображення визначається звуженням на , тобто якщо , ()()=.

Лема: Трійка () володіє СНР і є стягуючим.

Доведення: нехай  є заданою гомотопією і покриває , де є деякий кінцевий многогранник. Покриваюча гомотопія : визначається  наступним способом

 , 0

 =,

Залишається показати, що є стягуючою. Нехай є сильною деформацією в точку . Потім визначимо за допомогою співвідношення

Легко побачити , що стягує в постійне відображення .

Лема: Гомотопна група  зникає, тобто .

Доведення: Нехай дано , Ми покажемо, що гомотопне постійному відображенню. Нехай – кут між двома векторами репера , нехай є мінімальним з цих величин. Тоді існує окіл , такий що для з маємо

для всіх  . З існування такого випливає, що існує гомотопія , -1 з і така, що умов (1) і (2), які вказані вище, виконуються при заміні на і для значень з . Нехай і . Тоді визначимо , 01 за допомогою співвідношення .

З вибору випливає, що є регулярним. Тоді легко помітити, що повністю визначено і . Таким чином гомотопно константа.

Нехай є простором відображень у , починаючи від і нехай відображення, яке описує шлях до його кінцевої точки. Добре відомо, що володіє СНР і є стягуючою. Потім, що є простором .

Позначимо через  підпростір . Нехай - звуження на , яке об означимо через . Тоді .

Лема: відображення є слабо гомотопно еквівалентним.

Розглянемо діаграму

 

                                                 ↓   ↓

 

Тут буде тотожнім відображенням .

Легко перевірити, що ця діаграма комутує, не дивлячись на те, що не є звичайним включенням. Тоді з цього всього слідує, що є слобо гомотопно еквівалентним.

Нехай , і слабо гомотопно еквівалентним.

З точної гомотопної послідовності  трійок і ми отримаємо.

Далі справедлива така теорема:

. В тому числі .

Останнє твердження можна  інтерпретувати, як визначення регулярних гомотопних класів з фіксованими  граничними умовами на диску в .

Нехай f та g - занурення в . Ми можемо припустити                           Інваріант ( визначається наступним чином. Простір

внутрішня частина  являє собою топологічний диск, так що ми можемо припустити, що існує фіксоване поле 2 реперів, визначених на ньому. З цього поля індукують відображення в , яке узгоджене на границі простору . Потім за допомогою відображення ми отримаємо відображення сфери у . Гомотопний клас цього відображення, очевидно, не залежить від зробленого вибору. Ми об означимо цей клас через () (ми можемо інтерпретувати базову точку, оскільки або є однозв’язним, або )=0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Історія вивертання сфери

Вивернути сферу навиворіт  можна за допомогою безперервної деформації, що дозволяє поверхні пропустити через себе, але забороняє проколювати  або розривати поверхню. Абстрактна теорема, доведена Смейлом в 1958 році, передбачає, що  вивертання сфери можливе.

До Стівена Смейла також  намагалися вивернути сферу такі вчені: Том Прентісс, Тонні Філліпс, Джим Блінн, Чапльз П’ю та інші. Але лише Смейл зміг доступно викласти свої міркування.

Коли Смейл вперше оголосив, що він може довести реальність вивертання сфери, то йому ніхто не повірив. Але  у доказі Смейла не знайшлося жодної логічної помилки. Математики переконалися, що теоретично можливо простежити доказ  крок за кроком і знайти явний опис деформації, вивертаючої сфери. Але  це було на стільки складно, що здавалося  безнадійною справою. Протягом деякого  часу після відкриття Смейла було відомо, що в принципі можна вивернути  навиворіт сферу без рубця, але  ніхто не мав ні найменшого уявлення, як це здійснити.

Але врешті – решт, математики з цим завданням впоралися. 

Хоча доказ Смейла не складався  з одних малюнків. Цікаво, що в  його роботі їх взагалі немає –  надто складні ті фігури, які в  неявному вигляді містяться в  його абстрактному аналітичному апараті. Їх не вдалося б зобразити самому винахідливому художнику – фантазія математиків разюча. Але, мабуть, ще більш разюча їх здатність передавати один одному найскладніші ідеї, не вдаючись до малюнків. Історія вивертання сфери – яскраве тому свідчення. Вона стала відомою широкій публіці завдяки французькому топологу Рене Тома, який дізнався про неї від свого колеги Бернара Морена, а той, у свою чергу – від американця Арнольда Шапіто, винахідника цієї «виворотки». Ось це особливо цікаво, якщо врахувати, що Бернар Морен сліпий.

 

Вивертання сфери

Вважається, щоб вивернути сферу, потрібно в ній зробити дірку і через неї вивернути сферу. Звичайно таке можливо, але сенс Парадокса Смейла полягає в тому, щоб вивернути сферу без пошкоджень її поверхні.

Так, звичайно, ми не можемо так зробити зі звичайною сферою, наприклад такою як баскетбольний  м’яч.

Нехай наша сфера зроблена із абстрактного еластичного матеріалу, який можна розтягувати, згинати і який може проходити сам через себе. Але при умові, що нам заборонено розривати, або проколювати цей матеріал, не знищивши його, ще його не можна повністю перегинати чи переламувати.

А зараз продемонструємо  цей складний процес вивертання сфери..

І ось перше що приходить  в голову.

 

Треба стискати протилежні сторони до центру, поки вони не пройдуть одна крізь одну (І). Внутрішня, пофарбована  поверхня (ІІ) проступає з двох протилежних країв. Продовжимо цей процес «витягування» внутрішньої поверхні до тих пір, поки колечко, утворене частиною зовнішньої  поверхні (ІІ), зовсім не зникне. Нажаль при такому процесі колечко утворює тугу петлю (ІІІ), яку доводиться затягнути. У результаті виходить рубець (ІV), через що наш матеріал, з якого виготовлено сферу, «само знищиться» (диференціальна топологія розглядає тільки так звані «гладкі поверхні», у яких немає ніяких кутів і зламів).

Отже, завдання полягає в  тому, щоб вивернути сферу навиворіт  таким чином, щоб позбавляючись  від колечка, не отримати рубця. І  тут нам знову здається, що завдання нерозв’язне . Але дивимось далі.

На цих картинках показано, як можна вивернути сферу навиворіт, і при цьому не порушити вимог  диференціальної топології. Спочатку треба зблизити протилежні сторони  сірої сфери (А), продавлюючи їх одна крізь одну. Тоді з двох сторін проступає пофарбована поверхня (В). Потім треба розтягнути один із забарвлених шматків (С) таким чином, щоб отримати поверхню, що нагадує сідло на двох «ногах» (О). Ці дві ноги перекручують проти годинникової стрілки і отримують поверхню Е. Вона ж показана знову (Р) « у розрізі» за допомогою стрічок, які зображують поперечні перетини.

Далі немає сенсу зображати  отримувані на кожному етапі поверхні, оскільки вони занадто складні. Але можна, якщо завгодно, розглянути стрічки на всіх 10 рівнях і подумки домалювати. Один етап (Н2) ми все таки вирішили показати – просто, щоб можна було собі уявити, який тип фігур, що утворюються. Поверхня G з’являється після стиснення і обертання на 90  сідла поверхні Р.

Ще кілька кроків. А саме: між етапами I і J два однакові за формою ноги проходять одна крізь одну. У кожного перетину поверхні на етапі Jє два сірі боки, звернені один до одного. Між етапами J і К внутрішній шар розширюється, а зовнішній стискається; виходить поверхня К – абсолютно така ж, як J, але тільки кольори помінялись місцями.

Далі всі дії ідуть  у «зворотному напрямку». Можемо скласти про них уявлення, розглядаючи картинки І, Н, С і так далі. Треба тільки міняти місцями кольори стрічок на кожній картинці. Закінчення цього другого ряду картинок ми наводимо. Поверхня L відповідає поверхні F, L2 – Е, і так далі.

Пофарбована сфера (поверхня Р) відповідає сірій сфері (поверхні А). Отже, деформація виконана і рубця  немає. Сама можливість цього трюку  була вперше доведена С. Смейлом, а всі  послідовні етапи деформації придумав А. Шапіто.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновки

Отже, ми можемо вивернути сферу навиворіт, не проколюючи її, і не роблячи надломів. Ми це вже побачили, уявили, відчули і зрозуміли.

Ця робота дала нам змогу  відчути глибокість математичної науки. Тепер ми знаємо, що сферу можна вивернути навиворіт, але при умові, що вона створена з абстрактного матеріалу, який не можна проколювати, надломувати, прорізати.

Звичайно краще і зрозуміліше  можна біло б відчути глибокість Смейлового парадоксу, переглянувши відео (зазначено в літературі).

Але я хотіла показати своєю  курсовою роботою, яка все таки цікава і багатогранна наука математика. Вивертання сфери, це один із n – ої кількості доказів цього.

Ще ми дізналися, що математики отримують премії, одна з яких згадується в цій роботі, Медаль Філдса – найпрестижніша відзнака в математиці і надається молодим математикам, яким менше за 40 років, за значний вклад в науку. Сума нагороди складала 15000 доларів США. Засновником був канадський математик Джон Чарлз філос.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Література:

1. Smale, Stephen A classification of immersions of the two – sphere. Trans. Amer. Math. Soc 90 1958. 281 –с. 290.
2. Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.
3. http://www.smartvideos.ru/sphere-inside-out/
4. http://www.poznavayka.org/uk/matematika-uk/dlya-tih-hto-ne-lyubit-matematiku-abo-yak-vivernuti-sferu-navivorit/
5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 304с. – ISB 5-9221-0442X