Приложения проективной геометрии

Содержание

 

 

Введение

 

Цель моей работы: изучить основные законы проективной  геометрии и научиться применять  их в решении задач.

В связи с  поставленной целью нужно решить следующие задачи:

1. Изучить основные понятия и теоремы проективной геометрии;
2. Подобрать задачи, имеющие проективный характер.

Проекция (лат. projectio – выбрасывание вперёд) – изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.

Проекционный  метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Соединив эти точки прямыми линиями в том же порядке, как они соединены в предмете, получим на плоскости перспективное изображение предмета, или центральную проекцию.

Центральное проектирование искажает форму фигур, но некоторые их свойства всё-таки не меняются. Именно эти свойства и изучает проективная геометрия.

Актуальность  темы работы обусловлена широким применением проективной геометрии. Без проекций никак не обойтись в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Архитекторы, делающие чертёж здания на ватмане, тем самым проектируют пространственную конфигурацию здания на плоскость. При этом они должны знать и учитывать все законы проектирования, то есть применять проективную геометрию. Другой пример: художник, создавая картину, проектирует на плоскости трёхмерное изображение, пользуясь при этом законами проективной геометрии.

В первой главе  работы описаны основные понятия  и свойства проективной геометрии, во второй приведены теоремы Дезарга и Паскаля, третья глава – это практическая часть работы.

Основной теоретический  материал для работы взят из литературных источников [1] – [3], который представлен на странице 24.   

 

Глава 1.

Основные понятия

1.  Немного истории. Проективные свойства

 

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе такого древнегреческого геометра, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Теорией перспективы занимались крупнейшие художники Возрождения Леонардо да Винчи (1452–1519) и Альбрехт Дюрер (1471–1521); ими были написаны книги о перспективе. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

Вначале проективная  геометрия имела довольно ограниченный диапазон приложений. Но по мере роста она всё более и более проникала в различные геометрические области, а в конце XIX столетия исследования по проективной геометрии и по основаниям элементарной геометрии теснейшим образом объединились. Замечательным результатом этого объединения было построение в рамках проективной геометрии глубокой теории, которая включила в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Проективная геометрия  была развита и оформилась как  особая область геометрии в работе французского инженера и геометра Жана Виктора Понселе (1788–1867) «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедшей в 1822 г. Понселе был офицером наполеоновской армии, попал в плен и написал свой трактат в 1813–1814 гг., находясь в плену в Саратове. В этой работе он выделил как объект исследования некоторые особые свойства геометрических фигур, названные проективными.

Достойно внимания, что эта область геометрии  не только возникла из потребностей практики, но и была обязана своим развитием  художникам, архитекторам и инженерам. Только позже ей было дано самостоятельное аксиоматическое обоснование.

Многие свойства фигур не переносятся на её проекцию. Так, свойства правильного треугольника могут не сохраниться при проектировании, в результате которого, вообще говоря, не будет получаться снова правильный треугольник. Основное свойство окружности, выражаемое обычно определением, также может быть нарушено при проектировании. Проектируя окружность, можно получить эллипс или параболу и даже гиперболу; проектируя правильный треугольник, можно получить треугольник произвольной формы, и т. д.

Точно так же многие величины, связанные с фигурой, будут при проектировании, вообще говоря, меняться. Так, проектируя отрезок  данной длины a, можно получить отрезок, длина которого как угодно велика или как угодно мала; проектируя треугольник данной площади S, можно получить треугольник, площадь которого будет больше или меньше величины S.

С другой стороны, фигуры обладают свойствами, которые  сохраняются при любом проектировании, и с фигурами могут быть сопоставлены величины, также сохраняющиеся при любом проектировании. Такие свойства и величины называют инвариантами проектирования.

Именно эти  свойства фигур, инвариантные по отношению  к любому проектированию, Понселе  назвал проективными свойствами, рассматривая их как объекты исследования в проективной геометрии. Кроме того, объектами проективной геометрии являются инвариантные относительно проектирований величины.

Учение о  проективных свойствах и составляет предмет проективной геометрии.

2.  Двойное отношение

 

Если длина  отрезка прямой представляет собой  своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной  геометрии одно основное понятие, с  помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные  свойства фигур.

Предположим, что три точки  A, B и C расположены на одной прямой. Проектирование, вообще говоря, изменяет не только расстояние AB и BC, но и их отношение . В самом деле, любые три точки A, B и C на прямой l могут быть переведены в любые три точки Aʹ, Bʹ, Cʹ на прямой lʹ посредством двух последовательно производимых проектирований. Чтобы в этом убедиться, станем вращать прямую lʹ около точки Cʹ, пока она не примет положения lʹʹ, параллельного l (рисунок 1). Затем, проектируя  l на l ʹʹ параллельно прямой CCʹ, получим три точки Aʹʹ, Bʹʹ и Cʹʹ (≡Cʹ). Прямые AʹAʹʹ и BʹBʹʹ пересекутся в точке O, которую мы изберём в качестве центра второй проекции. Последовательно выполненные две проекции дают требуемый результат.

Из доказанного  вытекает, что никакая величина, определяемая только тремя точками на прямой, не может быть инвариантной при проектировании. Но – в этом заключается решающее открытие в проективной геометрии – если на прямой дано четыре точки A, B, C, D, которые при проектировании переходят в точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ другой прямой, то некоторая величина, называемая двойным отношение этих четырёх точек, при проектировании не изменяет числового значения. В этом заключено математическое свойство системы четырёх точек на прямой, которое носит инвариантный характер и которое можно обнаружить во всякой проекции рассматриваемой прямой. Двойное отношение не есть ни расстояние, ни отношение расстояний, а отношение двух таких отношений: если мы составим отношения  и , то их отношение по определению есть двойное отношение четырёх точек A, B, C, D, взятых в указанном выше порядке.

Убедимся теперь, что двойное отношение четырёх  точек инвариантно при проектировании, т . е. что если A, B, C, D и Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ – две четвёрки точек на двух прямых и между ними установлено проективное соответствие, то тогда справедливо равенство . Доказательство вполне элементарное. Вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту и, с другой стороны, равна половине произведения двух сторон на синус заключённого между ними угла. Тогда получим (рисунок 2):

площадь

площадь

площадь

площадь

Отсюда следует:

Таким образом, двойное отношение  точек A, B, C, D зависит только от углов, образованных в точке O отрезками OA, OB, OC, OD. Так как эти углы – одни и те же, каковы бы ни были четыре точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ, в которые при проектировании переходят A, B, C, D, то ясно, что двойное отношение не изменяется при проектировании.

Что двойное  отношение не изменяется при параллельном проектировании, следует из элементарных свойств подобных треугольников (рисунок 3).

До сих пор, говоря о  двойном отношении четырёх точек  A, B, C, D, расположенных на прямой l, мы предполагали, что это отношение составлено из положительных отрезков. Целесообразно видоизменить это определение следующим образом. Примем одно из двух направлений прямой l за положительное и условимся, что все отрезки, отсчитываемые в этом направлении, будут считаться положительными, а отрезки, отсчитываемые в противоположном направлении, – отрицательными. Теперь определим двойное отношение точек A, B, C, D (взятых в указанном порядке) согласно формуле причём знаки чисел CA, CB, DA, DB берутся в соответствии с указанным выше условием. Так как при изменении направления на прямой l, принятого за положительное, меняются только знаки всех четырёх отрезков, то значение (ABCD) не зависит от выбора направления. Легко понять, что (ABCD) имеет отрицательный или положительный знак, смотря по тому, разделена ли пара точек A, B парой точек C, D или не разделена. Так как свойство «разделяться» инвариантно относительно проектирования, то понимаемое в новом смысле (как величина, способная иметь тот или иной знак) двойное отношение (ABCD) также инвариантно. Выберем начальную точку O на прямой l и сопоставим каждой точке на прямой l в качестве координаты x её расстояние от O, взятое с надлежащим знаком; тогда, обозначая координаты A, B, C, D соответственно через x₁, x₂, x₃, x₄, получим формулу

Если (ABCD) = – 1, так что , то точки C и D делят отрезок AB внутренне и внешне в одном и том же отношении. В этом случае принято говорить, что C и D делят отрезок AB гармонически, и каждая из точек C и D считается гармонически сопряжённой с другой точкой относительно пары точек A, B. Если (ABCD) = 1, то точки C и D (или A и B) совпадают.

Необходимо  не упустить из виду, что при определении  двойного отношения (ABCD) существенную роль играет порядок, в котором берутся точки A, B, C, D. Например, если (ABCD) = λ, то двойное отношение (BACD) =  , а (DACB) = 1 – λ. Четыре точки A, B, C, D могут быть переставлены между собой 4 · 3 · 2 · 1 = 24 различными способами, и каждой перестановке соответствует некоторое значение двойного отношения. Некоторым перестановкам соответствует то же числовое значение двойного отношения, что и начальной перестановке A, B, C, D; например, (ABCD) = (BADC). При 24 возможных перестановках четырёх точек получается всего лишь шесть различных значений двойного отношения, а именно

λ, 1 – λ, 

,  ,  ,  .

Эти шесть величин, вообще говоря, различны, но при некоторых  значениях λ могут и совпадать  по две, например, при значении λ = – 1 в случае гармонического деления.

Мы можем  также определить двойные отношения  четырёх компланарных (т. е. лежащих  в одной плоскости) и конкурентных прямых 1, 2, 3, 4, как двойное отношение  четырёх точек пересечения этих прямых с некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Положение этой пятой прямой несущественно вследствие инвариантности двойного отношения при проектировании. Эквивалентным этому определению является следующее:

где нужно взять  знак плюс, если пара 1,2 не разделяется  парой 3,4, и знак минус, если разделяется. (В этой формуле (1,3), например, обозначает угол между прямыми 1 и 3.) Наконец, можно определить двойное отношение четырёх коаксиальных плоскостей (четырёх плоскостей, пересекающихся по одной прямой, или «оси»). Если некоторая прямая пересекает плоскости в четырёх точках, то двойное отношение этих точек всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от выбора прямой. Таким образом, полученное значение можно назвать двойным отношением рассматриваемых четырёх плоскостей. Иначе, можно назвать двойным отношением четырёх коаксиальных плоскостей двойное отношение четырёх прямых, по которым они пересекаются произвольной пятой плоскостью (рисунок 6).

Понятие двойного отношения  четырёх плоскостей побуждает поставить  вопрос о том, нельзя ли дать определение проективного преобразования трёхмерного пространства самого на себя. Определение с помощью центральной проекции, очевидно, не обобщается непосредственно от случая двух измерений на случай трёх измерений. Но можно доказать, что каждое непрерывное преобразование плоскости самой на себя, взаимно однозначно переводящее точки в точки и прямые в прямые, есть проективное. Это обстоятельство наводит на мысль ввести следующее определение для случая трёх измерений: проективным преобразованием пространства называется непрерывное взаимно однозначное преобразование, переводящее прямые в прямые линии. Можно сказать, что такие преобразования оставляют значения двойных отношений неизменными.

Добавим к предыдущему  ещё кое-какие замечания. Пусть  на прямой даны три различные точки A, B, C с координатами x₁, x₂, x₃. Требуется найти четвёртую точку D таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (ABCD) = λ, где λ задано. (Частный случай, когда λ = – 1 и задача заключается в построении четвёртой гармонической точки, будет подробно рассмотрен ниже.) Вообще говоря, задача имеет одно и только одно решение. Действительно, если x – координата искомой точки D, то уравнение