Приложения проективной геометрии

имеет ровно  одно решение. Считая x₁, x₂ и x₃ заданными и полагая ради кратности мы придадим решению вид

Например, если точки A, B, C, D находятся на равных расстояниях друг от друга и имеют соответственно координаты x₁ = 0, x₂ = d, x₃ = 2d, то тогда и

Если прямая l спроектирована из двух различных центров Oʹ и Oʹʹ на две различные прямые lʹ и lʹʹ, то получается соответствие P↔Pʹ между точками прямых l и lʹ и соответствие P↔Pʹʹ между точками прямых l и lʹʹ. Этим устанавливается соответствие Pʹ↔Pʹʹ между точками прямых lʹ и lʹʹ, и притом такое, что каждые четыре точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ на прямой lʹ имеют то же самое двойное отношение, что и соответствующие точки Aʹʹ, Bʹʹ, Cʹʹ, Dʹʹ на lʹʹ. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками двух прямых, обладающее этим свойством, называется проективным соответствием, независимо от того, каким способом это соответствие установлено.

В качестве интересного применения инвариантности двойного отношения  мы докажем одну простую, но важную теорему проективной геометрии. Речь идёт о полном четырёхстороннике  – фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкурентными, и шестью точками их пересечения. На рисунке 8 названные четыре прямые суть AE, BE, BI, AF. Прямые AB, EG и IF являются диагоналями четырёхсторонника. Рассмотрим одну из диагоналей, например AB, и отметим на ней точки C и D, где она пересекается с двумя другими диагоналями. Тогда теорема утверждает существование равенства (ABCD) = – 1; словами это выражается так: точки пересечения одной диагонали с двумя другими делят отрезок между вершинами четырёхсторонника гармонически. Для доказательства достаточно обратить внимание на то, что x = (ABCD) = (IFHD) (проектируем из E), (IFHD) = (BACD) (проектируем из G).

Как нам известно, таким образом, Но так как C, D разделяют A, B, то двойное отношение x отрицательно и потому оно должно быть равно именно –1, что мы и хотели доказать.

Полученное замечательное  свойство полного четырёхсторонника  даёт нам возможность с помощью  одной лишь линейки построить точку, гармонически сопряжённую с точкой C относительно пары A, B (если A, B, C коллинеарны). Нужно только, выбрав произвольную точку E вне данной прямой, провести прямые EA, AB, EC; затем, взяв произвольную точку G на EC, провести прямые AG и BG, пересекающие EB и EA, скажем, в точках F и I; провести, наконец, прямую IF, которая пересечёт исходную прямую в искомой точке D.    

3. Параллельность и бесконечность

 

Внимательное  рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведённая аргументация теряет силу – именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвёртой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна AB. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, и потому всякий раз, когда речь идёт о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма. С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Всё это побуждает искать выход в ином направлении, именно, на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это даёт повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются «в бесконечно удалённой точке». Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчётом, чтобы с «бесконечно удалёнными», или, как иногда говорят, с «идеальными» точками можно было проводить точные и надёжные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве. Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для «идеальных» геометрических элементов.

В математическом смысле существование «бесконечно удалённых точек» обеспечено, если отчётливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с «обыкновенными» точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путём абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твёрдые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощённые и идеализированные описания поведения соответствующих им физических «двойников». Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных «прямых». Если пятнышки становятся всё меньше по диаметру, то все такие «прямые» станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что имеется в виду, когда в качестве геометрической аксиомы говорится, что «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»: мы при этом говорим об «абстрактных», чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как дедуктивную дисциплину.

Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют  точки пересечения. Это побуждает  нас сделать дальнейшее упрощение  в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение.

Итак, мы уславливаемся в  том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем ещё одну, «идеальную», точку и будем считать эту  точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в «обыкновенной» точке; если параллельны, то им обеим принадлежащей «идеальной» точке. По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удалённой точкой на этой прямой.

Интуитивное представление  о точке, удаляющейся в бесконечность  по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой – по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удалённые точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие «точки» проходит бесконечное множество прямых.

Мы уславливаемся  также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем ещё  одну «идеальную», так называемую «бесконечно  удалённую» прямую, содержащую все  бесконечно удалённые точки плоскости  и никаких других. Мы вынуждены  принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон – «через всякие две точки проходит одна прямая» и вновь утверждённый закон – «всякие две прямые пересекаются в одной точке». В самом деле, возьмём две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая. Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идёт речь, неизбежно должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Согласно принятым условиям, каждая бесконечно удалённая точка  определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью «вложенных» рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев. Эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для «обыкновенных» случаев.

Из всего  выше сказанного приходим к выводу, что проекция всякой прямой представляет собой прямую, поскольку к прямым присоединяется бесконечно удалённая прямая, образованная всеми бесконечно удалёнными точками плоскости.

Ещё одно замечание  следует сделать по поводу двойных  отношений с бесконечно удалёнными элементами. Будем обозначать символом ∞ бесконечно удалённую точку на прямой l. Посмотрим, как определяется символ (ABC∞), если A, B, C – три обыкновенные точки на l. Пусть P – некоторая точка на l; тогда (ABC∞) рассматривается как предел (ABCP), когда P удаляется в бесконечность по l. Но

и, когда P неограниченно удаляется, стремится к 1. Отсюда вытекает определение:

В частности, если (ABC∞) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удалённая точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.

 

Глава 2.

Основные теоремы

2.1. Теорема Дезарга

 

Дополнение  обычной плоскости бесконечно удалённой  прямой позволяет в целом ряде случаев не отличать параллельные прямые от пересекающихся и этим придаёт единообразие формулировкам и доказательствам теорем.

С другой стороны, поскольку проективная плоскость  получается из обычной прибавлением прямой, то, приняв какую-либо прямую на проективной плоскости за бесконечно удалённую, получаем обычную аффинную плоскость. Тогда теорема проективной геометрии сводится к теореме аффинной геометрии, и её можно доказывать, пользуясь аффинной и даже евклидовой геометрией.

Пример, демонстрирующий  пользу обоих сделанных замечаний, представляет теорема Дезарга. Формулируем её для проективной плоскости (рисунок 10).

Теорема 1. Пусть  у двух треугольников вершины  и соответственно стороны приведены  в соответствие. Тогда если при  этом оказывается, что прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой.

И обратно: если точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат  на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.

Обозначим соответствующие  вершины треугольников A, B, C и Aʹ, Bʹ, Cʹ. Точки пересечения прямых AB и AʹBʹ, BC и BʹCʹ, CA и CʹAʹ обозначим D, E, F. Тогда теорема выглядит так: если прямые AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке, то точки D, E, F лежат на одной прямой, и обратно: если D, E, F лежат на одной прямой, то AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке.

Заметим, что  в проективной геометрии прямая – замкнутая линия, поэтому отрезок  не определяется своими концами: есть два отрезка с одними и теми же концами. Соответственно треугольник ABC не является определённым в обычном смысле. Поэтому, может быть, лучше говорить о двух тройках точек A, B, C и Aʹ, Bʹ, Cʹ, не лежащих каждая на одной прямой.

Переведём теперь теорему Дезарга на язык евклидовой геометрии. Тогда для прямых, проходящих через соответственные вершины, надо различать два случая: 1) либо они пересекаются, 2) либо они параллельны. Для прямых проходящих вдоль соответственных сторон, придётся различать три случая: 1) они пересекаются в точках одной прямой, 2) они параллельны (три пары параллельных прямых), 3) прямые одной пары параллельны, прямые двух других пар пересекаются в точках, лежащих на прямой, параллельной прямым первой пары.

Итого, в теореме  при её формулировке для обычной плоскости будет 2 × 3 = 6 случаев.

С другой стороны, можно превратить данную теорему  в теорему на обычной плоскости, приняв прямую, на которой лежат  точки пересечения прямых, идущих вдоль сторон, за бесконечно удалённую. Тогда теорема примет такой вид.

Теорема 2. Пусть  вершины и соответственно стороны  двух треугольников приведены в  соответствие. Пусть при этом оказывается, что 1) прямые, соединяющие соответственные  вершины, пересекаются в одной точке  или параллельны, 2) соответственные  стороны в двух парах параллельны, тогда и стороны третьей пары параллельны.

Обратно: если соответственные  стороны параллельны (в каждой из трёх пар), то прямые, проходящие через  соответственные вершины, пересекаются либо параллельны.

В этом виде обе части  теоремы, прямая и обратная, вполне доступны доказательству на уровне школьного курса.

Сначала докажем  вторую часть. Пусть ABǀǀAʹBʹ, BCǀǀBʹCʹ, CAǀǀCʹAʹ. Проведём прямые AAʹ, BBʹ. Допустим, они пересекаются в некоторой точке O.

Так как ABǀǀAʹBʹ, то

OA/OAʹ = OB/OBʹ. (1)

Тут возможны два  случая: 1) точки A, Aʹ как и B, Bʹ лежат с одной стороны от O (рисунок 11), 2) они с разных сторон от O (рисунок 12). Произведём гомотетию с центром O, которая переведёт точку Aʹ в A. Если эти точки с разных сторон от O, то коэффициент гомотетии отрицательный.

Ввиду пропорциональности отрезков (1) точка Bʹ перейдёт в  B. Прямые AʹCʹ и BʹCʹ, как параллельные прямым AC, BC, перейдут в эти прямые. Вместе с этим точка их пересечения Cʹ переходит в C. Следовательно, точки C, Cʹ лежат на одной прямой, проходящей через O.

Если AAʹǀǀBBʹ, то тот же результат даёт параллельный перенос, совмещающий A с Aʹ.