Применение замечательных кривых в искусстве

Содержание

 

Введение                                                                                                                   3

I. История возникновения и развития геометрии                                                 5

1.1 Использование простейших геометрических форм в Древнем мире           5

1.2 Геометрия сквозь призму древних философских школ                                 7  II. Теория пропорций в архитектуре и живописи                                              11

2.1 Возникновение и развитие теории пропорций                                             11

2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре                 15

III. Применение замечательных кривых в искусстве                                         18

Заключение                                                                                                             30

Список использованной литературы                                                                   32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Из геометрии  зародилась математика как наука. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые.

Геометрия - наука, давшая людям  возможность находить площади и  объемы, правильно чертить проекты  зданий и машин. Таким образом, она  является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее  важное направление деятельности человека - искусство.

Важную  роль играли и эстетические потребности  людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.

За  несколько столетий до нашей эры  в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще  систематизированы и передавались от поколения к поколению в  виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов  тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

Существует  неразрывная связь между геометрией и искусством. Для геометрии, также как и для искусства, характерны красота и гармония. С древних времен люди в своих творениях предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, пирамиду и т.д. Симметричные фигуры предпочтительнее, чем несимметричные. При создании произведений искусства пользовались различными пропорциями. Все вышесказанное подчеркивает актуальность нашей темы.

Цель нашей работы: проследить, как связанны между собой геометрия и  искусство.

В связи с поставленной целью задачами исследования являются:

- рассмотреть историю  возникновения и развития геометрии;

- ознакомиться с сущностью геометрических законов, пропорций и их использования в архитектуре и живописи;

- проанализировать применение замечательных кривых в искусстве.

Объектом исследования является геометрия в искусстве.

Предметом изучения данной курсовой работы является применение геометрии в искусстве.

Данная исследовательская  работа состоит из введения, трех частей, заключения, списка используемой литературы и приложений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. История возникновения и развития геометрии

 

1. Использование простейших геометрических форм в Древнем мире

 

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету, они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди, знакомились с простейшими геометрическими формами.

Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных  названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться  в том, какую форму следует  придавать стенам и крыше, какой  формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники  для копий или бумеранги сложной  формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые  каменные глыбы. Для этого применялись  катки. И заметили, что перекатка  проще, если взять кусок дерева с  почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились  с одним из важнейших тел –  цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.

Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные  стволы весили много. Чтобы облегчить  работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.

Для того чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут  до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – Фараонов. Пирамиды – а они построены  более 5 тыс. лет назад – состоят  из каменных блоков весом 15 тонн, и эти  «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между  ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки. [20,стр.45]

В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни  достигает 82 метра.[20,стр.51]

Без математических знаний все эти  сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян  и вавилонян были разрозненные и  представляли собой свод правил, проверенных  практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.

Так практическая деятельность людей  привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и  площади, и объемы, и длины и  т.д. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются! " [12,стр.85]

Таким образом, мы видим, что интерес к геометрии зародился с момента появления человека. Её становление, как науки, мы рассмотрим в следующей части.

 

1.2 Геометрия сквозь призму древних философских школ

 

Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.

О зарождении геометрии в Древнем  Египте около 2000 лет до н. э. древнегреческий историк Геродот писал: " Сезострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим  образом налог с каждого участка. Случилось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, насколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию". [12,стр.76] 

Начиная с 7 века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские школы, и приходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Всё больше значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать новые геометрические свойства, исходя из некоторых положений, принимаемых без доказательств и названных аксиомами. В переводе с греческого слово аксиома означает "принятие положения".

Одной из первых школ была ионийская. Её основателем считаются Фалес Милетский. Он мог находить высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Фалес измерил высоту пирамиды, " наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами".[8, стр136]. Он считал, что отношение высоты вертикально поставленной палки к длине её тени равно отношению высоты пирамиды к длине её тени.

Таким образом, Фалесу приписывают теорему о том, что равноугольные треугольники имеют пропорциональные стороны.

В 5 веке до н. э. центром дальнейшего развития математики становится Южная Италия.

Одной из самых известных школ того времени (4-5 вв.до н.э.) являлась пифагорейская, названная так в честь своего основателя- Пифагора.

Объясняя устройства мира, пифагорейцы  опирались на математику. Так, выделяя первоосновы бытия, они приписывали их атомам форму правильных многогранников: атомам огня - форму тетраэда, земли - гекаэдра (куба). воздуха - октаэдра, воды икосаэдра. Всей Вселенной приписывалась форма додекаэдра.

В названиях этих многогранников указывается число граней (от греческого эдра- "грань"): тетра - "четыре", гекса - "шесть", окта - "восемь", икоса - "двадцать", додека- "двенадцать"[8,стр.121 ].

Другой знаменитой философской школой того времени была школа Платона (5-6 вв. до н. э.). Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науки, но в своих произведениях любил говорить о математике. В частности, в трактате "Тимей" он изложил ученья пифагорейцев о правильных многогранниках, которые благодаря этому в последствие получили название "платоновых тел".

Более поздняя философская школа - александрийская - интересна тем, что дала миру известного математика Евклида, который жил около 300 года до н. э. К сожалению, о жизни его мало что известно. В одном из своих сочинений математик Папп (3 век до н. э.) изображает его как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм.

Насколько серьёзно и строго он относился  к изучению математики, можно ссудить  по следующий легенде: царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его "Начала"? Евклид ответил: "В геометрии нет царского пути"[15,стр.42].

Слава Евклиду принесли его "Начала", в котором впервые было представлено стройное аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий  они остаются основой изучения систематического курса геометрии.

Помимо Евклида выдающимся учёным эпохи эллинизма был Архимед (287 -212гг. до н. э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя  Герона.

Основной чертой  его творчества было единство теории и практики, что делает изучение его трудов интересным для ученых многих специальностей. Наиболее существенный вклад Архимед внёс в математику. Ему  принадлежат теоремы о площадях плоских фигур, объёмах тел. В работе «Измерение круга» он приводит вычисления приближённого значения длины окружности. В книге «О шаре и цилиндре» им даны вычисления объёма шара и площади его поверхности.

Вслед за Евклидом Архимед занимался  изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что правильных многогранников только пять, Архимед  стал строить многогранники, у которых  гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в  каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число рёбер. В результате были получены так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название «тела Архимеда».

Учёный, по выражению современников, был околдован геометрией, и, хотя у него было много прекрасных открытий, он просил на своей могиле изобразить цилиндр с вписанным в него шаром и указать соотношение объёмов этих тел. Позже именно по этому изображению была найдена могила Архимеда.

В последние столетия возникли  и развивались новые направления  геометрии, среди которых геометрия  Лобачевского, топология, теория графов и др. Появились новые методы, в том числе координатный и  векторный, позволяющий переводить геометрические задачи на язык алгебры  и наоборот. Достижения геометрии  широко используют в других науках: физике, химии, географии и т. д.

Изучая древние философские  школы, видно, что геометрия приобретает  теоретический характер, и она  становится самостоятельной наукой. Её основные направления рассмотрим в следующей главе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Теория пропорций в архитектуре и живописи

2.1 Возникновение и развитие теории пропорций

Еще в глубокой древности  человеком было обнаружено, что все  явления в природе связаны  друг с другом, что все пребывает  в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.