Применение замечательных кривых в искусстве

В решение последней задачи большой вклад внес знаменитый математик VIII Леонард Эйлер, академик Петербургской академии наук. Он описал первое пособие по аналитической геометрии, в котором излагалось теория линий и поверхностей второго порядка.

К началу XVII века математики знали такие кривые линии, как  эллипс, гиперболу, параболу и т.д. однако в то время еще не было общего метода изучения линий, и потому исследование каждой кривой превращалось в сложную  научную работу.

Открытия Декарта и  Ферма дали в руки математиков метод для получения и изучения новых кривых – надо было написать уравнение кривой и сделать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид x³+y³-3axy=0, a>0[14,стр.27].

Ее сейчас называют декартовым листом. Любопытно, что хотя Декарт применял уже в своей алгебре  не только отрицательные, но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных  значений координат. Первоначально декартов лист считали симметричным относительно осей координат.

Окончательно форма кривой была установлена лишь через полстолетия  Х.Гюйгенсом (1629-1695) и Иоганном Бернулли (1667-1748).

Декартов лист, эллипс, гипербола, парабола являются алгебраическими  кривыми.

Декартов лист

  Рис. 3 .Декартов лист

 

Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x³ + y³ = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

  Рис.4. «Цветок жасмина»

 

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту  кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году

Уравнения

В прямоугольной системе по определению:

В полярной системе:

.

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где  .

  Рис. 5. Повернутый декартов лист

 

Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:

В прямоугольной  системе:

, где 

Параметрическое:

В полярных координатах:

 Свойства

Прямая OA — ось симметрии, её уравнение: y = x.

Точка A называется вершиной, её координаты .

Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x + y + a = 0.

Площадь области между  дугами ACO и ABO

Площадь области между  асимптотой и кривой равна площади  петли  .

Объём тела, образованного  при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс

Исследование кривой

При y = 0 имеем x = 0 или , или , то есть .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

.

 Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение  касательной, вычислим производную  функции:

.

Приравниваем производную  y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге ACO — точка C и минимум на нижней дуге ABO — точка B. Значение функции в этих точках равно:

.

Значение производной  y’ в точке O равно , то есть касательные в точке O взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .

К неалгебраическим кривым нельзя было применять алгебраические методы, разработанные Декартом, поэтому  их назвали трансцендентными кривыми (от латинского «трансценденс» - выходящий за пределы). Некоторые трансцендентные кривые были известны еще древнегреческим математикам.

Например, в связи с  задачей о спрямлении окружности (построении отрезка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед  построил особую спираль, определив  ее на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное  и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала.

После того, как были открыты логарифмы, стали изучать свойства графиков логарифмической и показательной  зависимостей. Задачи механики требования отыскивания формы провисшего каната (так называемой цепной линии). Поиски кривой, длина дуги которой пропорциональна  разности длин векторов, проведенных  в ее концы, привели к открытию логарифмической спирали.

Логарифмическая или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».

                                                                                          

Рис.6.Логарифмическая спираль (наклон 10° )     Рис. 7.  Раковина моллюска

 

                                                                     

Рис.8.Область низкого давления                Рис.9. Спиральная галактика

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

   или  

что объясняет название «логарифмическая».

В параметрической форме может  быть записана как

 

 

где a, b — действительные числа.

  Свойства

          Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.

           В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

         

          Производная функции пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.

          Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и шляпкам подсолнечников.

Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии является французский  геометр Гаспар Монж (1746-1818гг.). Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил, поднял начертательную геометрию на уровень научной дисциплины. "…Нужно научить пользоваться начертательной геометрией" - говорил Г. Монж.

В работе Г. Монжа "Начертательная геометрия" ("Geometric Descriptive"), изданной в 1798г., решались задачи:

1. Применение теории геометрических  преобразований.

2. Рассмотрение некоторых  вопросов теории проекций с  числовыми отметками. 

3. Подробное исследование  кривых линий и поверхностей, в частности применение вспомогательных  плоскостей и сфер при построении  линии пересечения поверхностей[19,стр208].

Появление начертательной геометрии  было вызвано возраставшими потребностями  в теории изображений. Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих не только ученых, но и художников.

Например, живший в 18 веке художник и гравер Уильям Хогарт создал забавную гравюру под названием «Неправильная перспектива», на которой бросаются в глаза многие нелепости. Хогарт создал также серии «правильных» гравюр, служивших в его эпоху своего рода нравоучительными назиданиями. Которые необычайно высоко ценятся в наши дни коллекционерами. Нарисовать то, что ожидает увидеть глаз, нетрудно, но нарисованное может отличаться от того, что глаз видит в действительности.[16,стр124]

К совершенно иной категории  относятся работы голландского художника  М. Эшера, которые можно увидеть на рекламных плакатах во многих книжных магазинах. Эшер часто использует несуществующие трехмерные предметы  самым необычными свойствами (например, лестницы, поднимаясь по которым можно тем не менее вернуться в исходную точку) и оптические иллюзии. Его произведения захватывают зрителя и оставляют странное, тревожное чувство. [приложение 5]

Психология зрительного  восприятия в наше время бурно  развивается. При разглядывании  картины, строго выдержанной в духе теории монокулярной перспективы, выбор  точки зрения имеет первостепенное значение. Пиренн приводит несколько превосходных фотографий знаменитых эффектов, достигнутых Фра Андреа Поццо, монахом ордена иезуитов (1642-1709). На фотографиях воспроизведена роспись полуцилиндрического потолка церкви св. Игнатия в Риме. На росписи изображен прием, устроенный св. Игнатию на небесах, и Поццо написал книгу, в которой объяснил, как ему удалось достичь желаемых эффектов, используя теорию замечательных линий[16,стр.98].

На полу церкви отмечено место, где должен стоять одноглазый зритель, чтобы увидеть роспись  в неискаженном виде. Если встать на указанное место, то создается иллюзия, будто роспись уходит далеко за потолок  и колонны поднимаются прямо  к небу. Но стоит взглянуть на ту же роспись почти с любой  другой точки на полу церкви, как  колонны покажутся наклоненными, и весь эффект исчезает.[приложение 6]

Даже в обычной картине, экспонируемой на вертикальной стене, отыскать точку в которой находился художник, иногда бывает необычайно трудно. В Национальной галерее Лондона выставлена замечательная картина Ганса Гольбейна «Французские послы». На ней изображены многие математические и астрономические инструменты, по-видимому, составлявшие в начале 16 века неотъемлемые атрибуты послов. На переднем плане картины видно странное продолговатое пятно. Это анаморфоз – искаженное изображение человеческого черепа. Если встать на определенное место пред картиной, то искажение исчезает и череп обретает привычную форму. [приложение 7] Рассмотрим теперь фракталы.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Начиная с конца XIX века, в  математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
• треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

 

Рис.10. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

 

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании  нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической  фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста: неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)

Фракталы широко применяются  в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.[ приложение 8].

Таким образом, применение кривых в искусстве разнообразно. Использование  их свойств широко используется в быту. Мы рассмотрели только некоторые из них: декартов лист, фракталы, логарифмическую спираль.

Заключение

 

Как уже было отмечено. геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от geo — земля и metreo — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии.

Ведь математика - это  не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты и  чувства прекрасного. Многие математические теории нередко  кажутся искусственными, оторванными  от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам  с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный  смысл, их необходимость.