Проблема Борсука на прямой

Содержание:

 

Введение…………………………………………………………………………………..3

§1 Примеры разбиений на плоскости …………………………………………………..4

§2 Проблема Борсука на прямой ………………………………………………………..6

§3 Решение задачи для плоских фигур …………………………………………………7

§4 Разбиение шара на части меньшего диаметра ……………………………………..10

§6 Гипотеза Борсука для n – мерных тел …………………………………………. ….15

Заключение……………………………………………………………………………… 17

Литература ……………………………………………………………………..………..18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

   В настоящей работе речь пойдет об одной из центральных проблем комбина-торной геометрии, а именно, о проблеме, поставленной К. Борсуком в 1933 г.

   Разбиение-представление  заданного множества в виде  объединения системы множеств, не  имеющих попарно общих точек.

   Рассмотрим произвольное ограниченное неодноточечное множество Ω ⊂ Rn и попытаемся представить его в виде Ω = Ω1_・ ・ ・_Ωf , где каждое множество Ωi имеет диаметр, строго меньший диаметра Ω. Определим f(Ω) как минимальное чи-сло f, при котором упомянутое представление существует. Иными словами, мы стре-мимся разбить фиксированное нами множество на минимальное число частей меньшего диаметра. Положим f(n) = max f(Ω). Здесь максимум берется по всем Ω ⊂ Rn, обладающим указанными выше свойствами. Понятно, что величина f(n) определена корректно, хотя, вообще говоря, она может оказаться равной бесконечности. По сути же, f(n) есть минимальное количество частей меньшего диаметра, на которые разбивается произвольное ограниченное неодноточечное множество в евклидовом пространстве размерности n,  т.е. в принципе ничто  не мешает величине f(n) обратиться в бесконечность, однако f(n) ограниченна. Данные доводы наводят на мысль что f(n)=n+1. Эта мысль впервые как раз и пришла в голову Борсуку, который задал вопрос: верно ли, что всякое ограниченное множество в Rn допускает разбиение на n+1 частей меньшего диаметра? Хотя сам Борсук и был весьма осторожен, его вопрос скоро стали называть гипотезой Борсука, и все, кто этой ≪гипотезой≫ занимался, верили в ее справедливость. [3]

  В результате гипотеза Борсука стала невероятно популярной, и в разное время ей занимались крупнейшие специалисты в дискретной геометрии, геометрии чисел, топологии, комбинаторике и пр. Были созданы многочисленные нетривиальные методы решения проблемы, а также найдены неожиданные связи с другими задачами комбинаторики и геометрии. Это позволяет говорить о значительной роли, которую проблема Борсука сыграла в процессе становления современной дискретно-геометрической науки.

  Кароль Борсук - польский математик, член Польской АН (с 1952). Окончил Варшавский университет (1927). С 1929 г. преподавал в Варшавском университете (с 1938 г. — профессор), в 1952-1964 гг. директор Математического института Польской АН. В 1946-1947 гг. работал в Принстонском институте перспективных исследований (США). Основные исследования относятся к топологии и геометрии. Ввел ряд новых понятий, оказавших существенное влияние на развитие современной топологии, в т. ч. понятие ретрактов, топологическая структура которых напоминает структуру многогранников. Работал в области оснований геометрии и аналитической геометрии n-измерений.

Цель работы: научится с помощью данного метода решать задачи в геометрии

Задачи: показать, что для решения некоторых задач актуальней использовать проблему Борсука.

Актуальность: данная проблема до сих пор остается самой востребованной в комбинаторной геометрии, которой занимаются до сих пор многие математики.

 

§1 Примеры разбиений на плоскости

 

   Предположим что мы рассматриваем круг диаметра d(рис.1). Тогда расстояние между точками М и N не превосходит d. В тоже время можно найти две точки А и В в нашем круге, удаленные друг от друга в точности на расстоянии d.

                          

                                                          

                                            (рис.1)                                                          (рис.2)

 

   Рассмотрим теперь  вместо круга какую либо другую  фигуру(рис.2). Что можно назвать диаметром этой фигуры? Диаметром фигуры называется наибольшее из расстояний между  её точками, т.е. диаметром этой фигуры мы будем называть такое расстояние d, что можно отыскать в фигуре хотя бы 1 пару точек А и В, расстояние между которыми в точности  равно d.[1]

   Легко понять что  если фигура представляет собой  многоугольник, то его диаметром  является наибольшее из расстояний  между вершинами. Например диаметр любого треугольника равен наибольшей из сторон. Но бывают и случаи когда в фигуре могут существовать больше 1 пары точек, равных диаметру. Например в эллипсе таких пар точек только 1, в случае квадрата 2, в правильном треугольнике 3, а в круге таких пар точек бесконечно много.

   Рассмотрим разбиение на примере круга. Нетрудно понять что если круг диаметра d разбить отрезком АВ на две части, то хотя бы 1 из частей круга будет иметь тот же    диаметр d(рис.3). Вместе с тем ясно что круг можно разрезать на 3 части каждая из которых имеет диаметр меньший d(рис.4).

 

                                      

                        (рис.3)                                              (рис.4)

 

   Итак круг диаметра d нельзя разбить на две части, диаметр каждой из которых  будет меньше d. Но можно разбить  на 3 таких части.

 

   Рассмотрим так же разбиение правильного треугольника (рис.5). диаметр треугольника равен наибольшей из его сторон, но т.к. мы рассматриваем правильный треугольник диаметром его является каждая из его сторон. Следовательно правильный треугольник так же нельзя разбить на 2 части, т.к. если разбить на 2 части одна из сторон будет равна диаметру нашего треугольника.

 

(рис.5)

 

   Отсюда мы делаем  вывод что большинство фигур  в плоскости нельзя разбить  на 2 части меньшего диаметра.

 

 

 

 

§2 Проблема Борсука на прямой

 

   Сейчас мы попробуем разобраться с тем, как поэкономнее разбивать на части меньшего диаметра одномерные множества.

   Для начала заметим, что разбиение на 2 части практически  очевидно. В самом деле, нелепо  же пытаться разбить какое-либо  множество на одну часть меньшего  диаметра. Это то, что принято  называть противоречие внутри  определения.

   Рассмотрим произвольное (ограниченное) множество A в R. Мы ничего, по сути, не потеряем, если будем полагать diam A = 1(диаметр нашей прямой). Возьмём в множестве A «крайнюю левую»  и  «крайнюю правую» точки. Итак, пусть найденные нами точки суть а и Ь. Ясно, что они «диаметрально противоположны», т.е. что на них-то как раз и достигается диаметр А, равный единице. Таким образом, Ь—а=1. С другой стороны, отрезок [а, Ь], безусловно, содержит внутри себя множество А или, как ещё говорят, покрывает это множество. Рассмотрим разбиение

 

 

 

Разумеется, диаметр каждой из частей в данном разбиении отрезка равен  . Более того, если =А, а A, то А= и diam A. В результате мы разбили отрезок на 2, части диаметр которых меньше диаметра самой прямой.[2]

Для примера достаточно взять отрезок [0,1] и убедиться в том, что, как его ни разрезай на два кусочка, а все равно один из них будет иметь диаметр не меньше .

 

§3 Решение задачи для плоских фигур

 

   Мы уже видели  что для некоторых плоских  фигур разбиение принимает значение 2, а для некоторых – 3. Возникает  вопрос а нельзя ли найти  плоскую фигуру, что для её  разбиения на части меньшего  диаметра нельзя обойтись тремя  частями, а потребуется 4 или большее  число частей? Оказывается, что на  самом деле трех частей всегда  достаточно, т.е. имеет место следующая теорема, установленная Борсуком в 1933г. : Всякая плоская фигура F диаметра d может быть разбита на три части диаметра <d. [1]

   Основной частью доказательства будет установление следующей леммы, которую в 1920г. Получил венгерский математик Пал : всякая плоская фигура диаметра d может быть заключена в правильный шестиугольник, у которого расстояние между противоположными сторонами равно d(рис1).

 

(рис.1) 

                                                           

(рис.2)

  

Возьмем прямую l, не пересекающую фигуру F , и начнем приближать эту прямую к F до тех пор, пока перемещающаяся прямая  не прикоснется к фигуре F (рис.2). полученная прямая обладаем тем свойством, что она имеет хотя бы одну общую точку с фигурой F  и вся фигура F расположена  по одну сторону от . Такая прямая называется опорной прямой фигуры F. Проведем, кроме того, вторую опорную прямую (рис.2). ясно, что вся фигура f  будет находится в полосе между прямыми и и что расстояние между этими прямыми не превосходит d.[1]

             

(рис.3)

 

  Проведем теперь к фигуре F две параллельные опорные прямые , составляющие с угол (рис.3). Прямые , , , образуют параллелограмм ABCD с углом  и высотами, не превосходящими d, внутри которого целиком заключении фигура F. [1]

   Проведем теперь  две опорные прямые  фигуры F, составляющей с угол , и обозначим через  М и N основания перпендикуляров, опущенных на эти прямые из концов диагонали AC (рис.3). Мы покажем, что направления прямой можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство AM=CN. В самом деле,  допустим, что AMCN и пусть для определенности AM<CN. Таким образом, величина y=AM-CN отрицательна. Теперь мы начнем непрерывно изменять направление прямой до тех пор, пока она повернется на (фигуру F оставим неподвижной). Вместе с прямой будут менять свое положение и остальные прямые , , . Поэтому при повороте прямой  будут непрерывно перемещаться и точки A, C, M, N, а значит, будет непрерывно изменяться величина y=AM-CN. Но когда прямая повернется на , она займет положение, которое раньше занимала прямая . Поэтому мы получим тот же параллелограмм, что и на рис.3, но в нем точки A и С, а также М и N, поменяются ролями. Следовательно, в этом положении величина y будет уже положительной. [1]

                 (рис.4)                                                                 (рис.5)                                                                    

 

Если мы теперь изобразим график изменения величины у при повороте прямой от до (рис.4), то поймем, что найдется положение прямой , при котором величина у обращается в нуль, т.е. AM=CN (ибо, непрерывно изменяясь от отрицательного значения до положительного, величина у должна в некоторый момент обратиться в нуль). Мы рассмотри положение всех наших прямых как раз в тот момент времени, когда величина у обращается в нуль (рис.5). Из равенства AM=CN вытекает, что шестиугольник, образованный прямыми      , , центрально симметричен. Каждый угол этого шестиугольника равен , а расстояние между противоположными сторонами не превосходит d. Если расстояние между и  меньше d, то мы раздвинем эти прямые так, что бы расстояние между раздвинутыми  прямыми было равно d. Точно так же мы поступим с прямыми , , .[1]

   В результате мы получим центрально симметричный шестиугольник, у которого противоположные стороны удалены друг от друга на расстояние d (пунктирный шестиугольник на рис.5). Из сказанного ясно, что все стороны этого шестиугольника равны между собой, т.е. этот шестиугольник – правильный, причем фигура F расположена внутри шестиугольника.

Теперь этот шестиугольник можно разрезать на 3 части так что каждая их частей будет меньше диаметра нашей произвольной фигуры (разбиение происходит на 3 части с центра шестиугольника). Таким образом теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§4 Разбиение шара на части меньшего диаметра 

 

   Однако в пространстве  существуют тела для которых  разбиение  происходит более чем  на 3 части. Таким телом например  является шар.

   Шар диаметра d не может быть разбит на три части, диаметр каждой из которых меньше d. [1]

   Как мы знаем из прошлого материала круг нельзя разбить на 2 части меньшего диаметра. Будем говорить что круг - двумерный шар, т.к. он расположен в плоскости которая имеет два измерения. Тогда формулировка меняется : двумерный шар диаметра d нельзя разбить на две части меньшего диаметра.

   Обычный шар мы  будем называть трехмерным шаром, и если объединить случаи круга  и шара мы получим теорему:

   Невозможно разбить п - мерный шар на п частей меньшего диаметра (разбить на 2 или 3 части).

   Докажем эту теорему. Обозначим через Е шар диаметра d. Предположим обратное, а именно что шар Е можно разбить на три части , каждая из которых имеет диаметр, меньший d. Поверхность сферы Е  обозначим через S. Множество всех точек сферы S, принадлежащих части , обозначим через , таким же образом определим и  и . Таким образом, сфера S разбивается на три части каждая из которых имеет диаметр меньше d. Обозначим через диаметр множества (диаметр < d) и предположим h=(d-).

   Построим теперь  на сфере две диаметрально  противоположные точки P и Q (предположим что полюса сферы) и пересечем сферу S несколькими плоскостями, перпендикулярными отрезку PQ. Эти плоскости пересекают сферу S по окружностям, разбивающими сферу S на два полюса и несколько поясов (рис.1). каждый из этих поясов мы разделим дугами на несколько частей, что бы получающееся разбиение напоминало кладку кирпича(рис.2). Количество меридианов и окружностей выберем так много , что бы каждый кусочек имел диаметр <h.

 

                           

                        (рис.1)                                                                              (рис.2)