Проблема Борсука на прямой

 

   Рассмотрим теперь все кусочки, каждый из которых имеет хотя бы 1 общую точку с множеством . Вместе взятые они образую фигуру, которую мы обозначим через . Так как множество имеет диаметр , а диаметр каждого кусочка меньше h, то диаметр меньше +2h. Но +2h=d-h<d т.е. диаметр множества меньше d.

   Рассмотрим теперь  границу множества . Нетрудно понять, что она состоит из конечного числа замкнутых линий, которые не пресекают самих себя и не пересекаются друг с другом (рис.3).

 

(рис.3)

 

   В каждой точке стыка сходиться только по три кусочка (рис.2). Если точка стыка лежит на границе множества , то из трех примыкающих к этой точке кусочков множеству принадлежит один (рис.4) или два (рис.5).

 

(рис.4)

 

(рис.5)

 

   Возьмем теперь  какую-либо граничную точку множества  и начнем из неё двигаться по границе этого множества. Пока мы не дошли до точки стыка, граница множества идет по вполне определенному пути. Но и в точке стыка эта граница не разделяется на несколько границ, а продолжается дальше (видно из рис.4 и рис.5). Так как всех кусочков- предельное количество, то, идя все дальше по границе множества  , мы все равно должны вернутся в исходную точку, т.е. сделать замкнутую линию (т.к. граничная линия нигде не может оборваться). Заметим так же, что граница множества может состоять не только из одной замкнутой линии, но из нескольких (рис.3). Замкнутые линии составляющие границу множества , мы обозначим через

   Пусть теперь  - множество, симметричное нашему множеству относительно центра сферы S., или проще говоря,   состоит из всех точек сферы S, диаметрально противоположных точкам множества . Из этого можно понять что и не имеют общих точек.

 

   Граница множества  образована линиями , симметрично линиям  . Так как множества  и не имеют общих точек, то замкнутые линии , попарно не пересекаются друг с другом.

   Заметим теперь, что  если на сфере S даны q замкнутых линий, не пересекающих сами себя и непересекающихся друг с другом, то они разбивают сферу на q+1 частей. Это легко понять по последовательности: одна линия разбивает сферу на две части, а каждая следующая добавляемая линия вырезает одну новую часть.

   Так как у нас  имеется 2k  линий , , то они разбивают сферу на 2k+1 частей, т.е. на нечетное число частей. Эти части мы будем называть «странами». Каждая страна либо целиком содержится в множестве  или в  , либо расположена вне обоих множеств. Так как линии симметричны линиям , то каждая страна либо имеет симметричную ей страну, либо она сама симметрична относительно центра сферы. Число стран, попарно симметричных друг другу, четно, а так как общее число стран нечетно, то обязательно найдется  хотя бы 1 страна, симметричная самой себе относительно центра сферы. Пусть Н – такая страна и С – некоторая её внутренняя точка. Так как страна Н симметрична, то точка , диаметрально противоположная точке С, так же принадлежит стране Н. отсюда видно, что диаметр страны Н равен d, и потому вся внутренняя часть страны Н расположена вне множества и . Но так как Н – это одна страна, то она представляет собой цельный кусок сферы, и потому точки С и можно соединить линией Г, целиком лежащей внутри страны Н (рис.6).

 

(рис.6)

 

   Линия , симметричная линии Г, соединяет те же точки С и и тоже целиком расположена внутри страны Н. Линии  Г и не имеют общих точек с множеством и тем более не имеют общих точек с множеством .

   Вернемся к множествам  о которых мы говорили в начале. Каждая точка линии Г принадлежит хотя бы одному из множеств . Концевые точки С и (т.к. они диаметрально противоположные) принадлежат разным множествам . Пусть для наглядности С принадлежит , а  - множеству . Будем двигаться по линии Г от точки С к точке , и обозначим через D последнюю встретившуюся нам точку множества (рис.7).

 

(рис.7)

 

   Если бы точка D не принадлежала множеству , то близкие к ней точки также не принадлежали бы множеству . Но, тогда точки, расположенные на линии Г между D и и близкие к точке D, не могли бы принадлежать ни одному из множеств , что просто невозможно. Итак, точка D принадлежит обоим множествам .

   Рассмотрим точку , диаметрально противоположную точке D. Она принадлежит линии и, следовательно, не содержится  в множестве . Но она не содержится так же и во множествах , т.к. эти множества имеют диметр <d и содержат точку D. Таким образом, точка не содержится ни в одном из множеств что противоречит предположению.

   Полученное предположение  наглядным образом показывает, что  шар E не может быть разбит на три множества меньшего диаметра, чем диаметр сферы.

 

§6 Гипотеза Борсука для n – мерных тел

 

   В этом параграфе мы поговорим о справедливости теоремы Борсука для n – мерных тел. До сих пор эта проблема в общем виде еще не решена, несмотря на усилия многих математиков. Эта размерность чрезвычайно трудна для решения. Однако для некоторых частных видов тел гипотеза Борсука установлена. Мы рассмотри один из этих случаев – для выпуклых тел.

   Проблемой выпуклых  тел занимался швейцарский математик  Хадвигер. В одной из своих  работ он рассмотрел n – мерное выпуклое тело  с гладкой границей (т.е. тела у которых через каждую граничную точку проходит единственная опорная гиперплоскость).

 Он показал что для  таких тел гипотеза справедлива  и выдвинул теорему:

   Всякое n – мерное выпуклое тело с гладкой границей, имеющее диаметр d, может быть разбито на n=1 частей меньшего диаметра.

   Пусть F – некоторое n-мерное выпуклое тело с гладкой границей, имеющее диаметр d. Рассмотри кроме того n – мерный шар Е, имеющий тот же диаметр d, и постоим какое либо разбиение этого шара на n+1 частей диаметра <d. части на которые разбит шар обозначим через . Мы сейчас построим некоторое разбиение границы G тела F на n+1 множеств .

   Пусть А – произвольная  граничная точка тела F. Проведем через А опорную гиперплоскость тела F, и параллельно её проведем касательную гиперплоскость шара Е, причем так, что бы тело F и шар Е лежали по одну и ту же сторону от этих гиперплоскостей (рис.1).

 

(рис.1)

 

   Точку, в которой  проведенная гиперплоскость касается  шара Е, обозначим через f(a). Мы будем считать, что точка А принадлежит множеству , если соответствующая точка f(a) принадлежит множеству (i=0,1,2,…,n). В результате вся граница G тела F разобьется на n+1 множеств .

   Докажем, что каждое  из множеств  имеет диаметр <d. Допустим противоположное, т.е. что некоторое множество имеет диаметр d, и пусть А и В – две точки множества , находящиеся друг от друга на расстоянии d. Проведем две гиперплоскости  , проходящие через точки А и В. Ясно, что тело А находится в полосе между этими гиперплоскостями, т.е. являются опорными гиперплоскостями тела F, проходящими через точки А и В. Из параллельности этих опорных гиперплоскостей вытекает, что соответствующие точки f(A) и f(B), лежащие на границе шара Е, являются диаметрально противоположными, т.е.  расстояние между точками f(A) и f(B) равно d. С другой стороны, так как А и В принадлежат множеству , то точки f(A) и f(B) принадлежат множеству , и поэтому расстояние между точками f(A) и f(B) меньше d. Полученное противоречие показывает, что ни одно из множеств не может иметь диаметр d.

   Пусть теперь  О – произвольная внутренняя точка тела F. Через мы обозначим «конус» с вершиной О, криволинейным 2основанием2 которого является множество . Ясно, что построенные «конусы» заполнят все тело F, т.е. мы получим разбиение тела F на n+1 частей. Понятно, что каждое из множеств   имеет диаметр <d (т.к. диаметр меньше d). Таким образом, мы построили разбиение тела F на n+1 частей диаметра <d, тем самым доказали теорему.

 

Заключение

 

Проблема, поставленная Борсуком, сделалась, едва ли не самой популярной в своей области. Эта проблема сыграла в процессе формирования данного раздела математики одну из главных ролей.

   В этой работе  мы показали, что гипотеза Борсука  справедлива для всякого тела  в плоскости, двухмерном и трехмерном  пространстве. К сожалению, эта гипотеза не всегда справедлива для тел имеющих больше трех измерений. Многие математики пытались доказать её в четырехмерном пространстве, но она осталась так и не решенной. Борсук поставил задачу, которая до сих пор будоражит умы математиков и не теряет своей актуальности. Здесь мы всего лишь наглядно показали некоторые из примеров доказательств этой гипотезы, и выяснили, для каких тел она справедлива, а для каких нет. Эта проблема так же плавно переходит в раздел универсальных покрышек, где эта гипотеза так же ставит ряд вопросов. Но в этой работе мы их не затрагивали.

  В заключение можно сказать, что Кароль Борсук является выдающимся математиком, затронувшим проблемы комбинаторной геометрии, и составившим ряд теорем и доказательств в разных областях этой геометрии.

 

 

Литература:

 

1 Болтянский В.Г., Гохберг  И.Ц., Теоремы и задачи комбинаторной  геометрии. 

- Москва: наука, 1965 г. – 105с.

 

2 Райгородский А.М., Проблема Борсука. – Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2006 г. – 53с.

 

3 Райгородский А.М. - Вокруг  гипотезы Борсука. – 2007 г. –том 23 –с 147- 164