Теорема 2. Во всяком сферическом треугольнике:
1) каждый угол, увеличенный
на два прямых, больше суммы двух других
углов;
2) сумма трёх углов больше двух
прямых и меньше шести прямых.
Сферический треугольник, совпадающий
со своим полярным треугольником, называется автополярным треугольником. Так как все вершины автополярного треугольника
полярно сопряжены, все стороны этого
сферического треугольника равны четверти
большой окружности, откуда вытекает,
что все три угла этого сферического треугольника
прямые
Рис.5
Теорема 3. В равнобедренном сферическом
треугольнике углы, противолежащие равным
сторонам, равны.
Действительно, при совмещении треугольника
АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником
А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть
угол С'; таким образом, оба эти угла равны,
и тоже самое имеет место и для углов С
и В'.
Обратно, всякий сферический треугольник,
два угла которого равны, равнобедренный.
Действительно, если АВС сферический
треугольник, в котором ÐВ=ÐС и треугольник
А'В'С' – треугольник, ему симметричный,
то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое
расположение равны по первому признаку
равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.
Теорема 4. Во всяком сферическом треугольнике
каждая сторона меньше суммы двух других
сторон и больше их разности.
В самом деле, пусть АВС – произвольный
сферический треугольник. Допустим, что
из двух сторон АВ, АС сторона АС большая.
Отложим на стороне АС дугу АВ', равную
дуге АВ (рис6). Проведем какую-нибудь плоскость,
проходящую через точки В. В' и пересекающую
лучи ОА и ОС (а не
их продолжение) в точках А1 и С1. Треугольники
ОА1В и ОА1В' равны, (так как они
имеют общую сторону ОА1. равные стороны
ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно.
А1В=А1В'. Так как
точки А1. В' и С1 лежат на одной
прямой, (являющейся пинией пересечения
плоскостей ОАС и А1ВС1 ). Причем точка
В' лежит между А1 и С1, то
В'С1 = А1С1 - А1В'=А1С1 - А1В < ВС1.
Рассмотрим теперь треугольники
ОВС1 и ОВ'С1. В этих треугольниках
ОС1 – общая сторона
и ОВ=ОВ', а третьи стороны связаны неравенством
В'С1<ВС1. Следовательно,
углы, лежащие в этих треугольниках против
неравных сторон, связаны неравенством ÐВ'ОС1< ÐВОС1. Поэтому дуга ÈВ'С, стягиваемая углом В'ОС,
также меньше дуги ÈВС1, стягиваемой
углом ВОС1. Иначе говоря,
ÈАС - ÈАВ = ÈАС - ÈАВ' = ÈВ'С< ÈВС,
т.е. каждая сторона сферического
треугольника больше разности двух других
его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает,
что
ÈАС < ÈАВ + ÈВС,
т.е. каждая сторона сферического
треугольника меньше суммы двух других
его сторон.
Следствие 1. Во всяком сферическом
треугольнике против большего угла лежит
большая сторона, а против большей стороны
лежит больший угол.
Доказательство: Пусть в сферическом
треугольнике АВС имеет место неравенство ÐС=ÐB, тогда через вершину проходит
внутри треугольника такая дуга CD, что ÐАВС=ÐВСD. Треугольник ВСD – равнобедренный
и BD=CD, тогда верно неравенство
AC<AD+DC=AD+DB=AB
И обратно, пусть теперь AB>AC,
тогда предположим, что ÐС=ÐВ. Отсюда следует, что АВ=АС
или ÐС<ÐВ, но тогда АВ<АС. Получили
противоречие с условием.
Следствие 2. Дуга большой окружности,
меньшая полуокружности, короче всякой
линии, состоящей из дуг нескольких больших
окружностей, соединяющей те же точки
сферы.
Рис.6
В отличие от плоскости, где
невозможны треугольники с двумя прямыми
углами, на сфере возможны такие треугольники:
это треугольники, у которых одна из вершин
является полюсом противоположной стороны;
стороны этих треугольников, лежащие против
прямых углов, равны
. Имеются на сфере и треугольники с тремя
прямыми углами - это автополярные
треугольники, у них все три стороны равны
. В том случае, когда сферический треугольник
обладает только одним прямым углом, сторона,
лежащая против этого угла, также как в
случае плоских прямоугольных треугольников,
называется гипотенузой, а остальные две
стороны – катетами.
Теорема 5. Для того чтобы большая
окружность пересекалась с какой-либо
окружностью на сфере под прямым углом,
необходимо и достаточно, чтобы первая
из этих окружностей проходила через полюсы
второй.
Доказательство: Пусть I - общая точка
двух окружностей, прямые IT и It — касательные
к большой и малой окружностям в этой точке,
Р и Р'— полюсы малой окружности, О - центр
шара (рис. 7).
Рис. 7
Условие, указанное и теореме,
достаточно. Действительно, если большая
окружность проходит через точки Р и P',
то её плоскость содержит две прямые, не
параллельные между собой и перпендикулярные
к прямой It, а именно диаметр РР' и радиус
ОI. Следовательно, эта плоскость, а значит,
и касательная IT перпендикулярны к It.
То же условие и необходимо.
Действительно, если две окружности пересекаются
под прямым углом, то плоскость большой
окружности содержит прямые IT и OI, перпендикулярные
к It. Следовательно, она перпендикулярна
к этой прямой, а потому и к плоскости малой
окружности, и содержит в силу этого диаметр
РР', перпендикулярный к этой последней
плоскости и проходящий через точку О.
Следствие. Через точку, лежащую
на шаре, можно провести большую окружность,
перпендикулярную к данной окружности
этой сферы; эта большая окружность будет
единственной, если данная точка не является
полюсом данной окружности.
Большая окружность, отвечающая
поставленному условию, определяется
данной точкой А и полюсами Р
и Р' данной окружности.
Заметим, что существуют две
дуги большой окружности, выходящие из
точки А и перпендикулярные к данной окружности;
а именно те дуги, которые имеют
своими концами точки
пересечения I и I′ данной окружности
с большой окружностью, существование
которой только что было доказано.
Примечание. Здесь рассматриваются
исключительно дуги, выходящие из точки
А и имеющие своими концами первые точки
пересечения этих дуг с данной окружностью.
Если не ввести этого ограничения, то число
перпендикулярных дуг было бы более двух:
например, поставленному условию отвечала
бы дуга АР′I′ (рис. 7).
Теорема 6. Если через какую-либо
точку сферы провести две дуги большой
окружности, перпендикулярные к данной
окружности, и различные дуги больших
окружностей, наклонные к той же окружности,
то одна из перпендикулярных дуг короче,
а другая длиннее, чем все наклонные дуги.
Наклонная дуга будет тем длиннее, чем
далее отстоит её конец от конца меньшей
перпендикулярной дуги.
Доказательство: Пусть А - данная точка; Р—тот
из полюсов данной окружности, который
расположен по ту же сторону от этой окружности,
как и точка А; АI и АI′ - обе перпендикулярные
дуги большой окружности, причём АI′ -
та из этих дуг, на которой лежит точка
Р; АК, АК', АК"- различные наклонные дуги
(рис. 8).
Рис. 8.
1о. Дуга АК
больше дуги AI, но меньше АI′. Действительно,
если провести дугу РК большой окружности,
то из сферического треугольника АРК имеем:
АК >РК — РА, АК < РК
+ РА,
в то время как
РК—РА = PI — PA = АI,
РК+ РА = PI′ + РА = АI′.
2°. Предположим, что точки
К и К' данной большой окружности таковы,
что дуги IК и IК' равны. При этом хорды,
стягивающие эти дуги, также равны, и точка
I одинаково удалена от двух точек К и К'.
Так как точка Р обладает тем же свойством,
то геометрическое место точек сферы,
одинаково удалённых от точек К и К', есть
большая окружность РI. Последняя проходит
через точку А, а потому хорды АК и АК' равны,
и, следовательно, равны соответствующие
им дуги больших окружностей.
3о. Пусть теперь
какая-либо точка К′′ на данной окружности
обладает тем свойством, что IK′′ > IК.
Можно предположить, основываясь на (2о), что обе
точки К и К′′ лежат по одну сторону от
точки I. Проводим дуги больших окружностей
РК и РК′′. Так как точка К лежит внутри
угла К′′РI, то ÐKPI<ÐК′′РI. Треугольники АРК и АРК′′
имеют, таким образом, по неравному углу
(при вершине А), заключенному между соответственно
равными сторонами, откуда следует,
что АК < АК′′. Теорема доказана.
Глава 2
2.1 Решение сферических треугольников
Выведенные нами тригонометрические
соотношения позволяют «решить сферический
треугольник» по любым трем из его элементов
(сторон и углов). Если нам даны три стороны
сферического треугольника, то по формуле,
выражающей теорему косинусов, находим
и аналогично находим соs В и соs С.
Если нам даны две стороны сферического
треугольника и угол между ними, например
стороны b, с и угол А, то сторону а найдем из теоремы
косинусов. Зная все три стороны сферического
треугольника, найдем его остальные углы,
как указано выше.
Если нам даны две стороны сферического
треугольника и угол, лежащий против одной
из них, например стороны а, b и угол A, то по
теореме синусов находим
.
Заметим, что эта формула даёт
для В два значения,
дополняющих друг друга доp; это соответствует тому, что
в общем случае два сферических треугольника
с двумя соответственно равными сторонами
и равными углами, лежащими против одной
из этих сторон, не обязательно равны,
а возможен случай, когда углы этих треугольников,
лежащих против другой стороны, дополняют
друг друга до л, как мы это видели, рассматривая
четвёртый признак равенства сферических
треугольников.
Для определения стороны с и
угла С проведём через вершину С дугу большой
окружности АВ. Если эти
большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим
прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 1). В
этих треугольниках известны гипотенузы
b и а и углы при
вершинах А и В. Второй катет
каждого из этих треугольников определяется
по первым формулам тангенсов, а угол при
вершине С определится
по формуле котангенсов.
Рис.1
Сторона с и угол C сферического
треугольника АВС являются
суммами найденных сторон или углов прямоугольных
треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям
и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении
стороны АВ. Именно, если
оба угла A,В в исходном
треугольнике АВС являются
острыми или оба тупыми, то перпендикулярная
к АВ окружность,
проходящая через точку C, пересекает
окружность АВ в двух точках,
одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку
и следует принять за D в рассматриваемом
случае. Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных
треугольниках АСD и ВСD совпадают
с углами А и В исходного
треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются
суммами найденных нами сторон или углов
прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в
треугольнике АВС один из углов
A, В острый, а
второй—тупой, то перпендикулярная к АВ окружность,
проходящая через точку С, пересекает
окружность АВ в двух точках,
ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае
за D можно принять
Любую из этих точек, например
ту, которая лежит на продолжении стороны АВ за точку В (рис. 2).
Рис. 2
Таким образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А треугольника АВС, а угол при
вершине В в ∆ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются
разностями сторон АD, ВD или углов
при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец,
если один из углов A, В (например, А) прямой, то
треугольник АВС прямоугольный,
и для нахождения стороны с и угла С можно в атом
случае воспользоваться формулами
,
.
Если нам даны три угла сферического
треугольника, то по формуле
двойственной теоремы косинусов находим
и аналогично по формулам (24)
и (25) находим
и
.
Если нам даны два угла сферического
треугольника и сторона между ними, например
сторона а и углы B и C, то угол А найдем но формуле
(23) двойственной теоремы косинусов. Зная
все три угла сферического треугольника,
найдем его остальные стороны, как указано
выше.
Если, наконец, нам даны два
угла сферического треугольника и сторона,
лежащая против одною из них, например
углы А и В и сторона а,
то по теореме синусов находим
.
Заметим, что эта формула дает
для b два значения,
дополняющих друг друга до pr; это соответствует тому, что
в общем случае два сферических треугольника
с двумя соответственно равными углами
и равными сторонами, лежащими против
одного из этих углов, не обязательно равны,
а возможен случай, когда стороны этих
треугольников, лежащие против другого
угла, дополняют друг друга до pr, как мы это видели,
рассматривая V признак равенства сферических
треугольников. Сторону с и угол С по
углам А, В и сторонам а, b мы найдем,
как указано выше.
2.2 Задачи
Задачи и понятия навигации
тесно связаны со сферической геометрией.
Навигация (от латинского navigatio
- плыву на судне) - одна из наиболее древнейших
наук. Простейшие задачи навигации - это
определение кратчайшего маршрута и выбор
направления движения, встали перед самыми
первыми мореплавателями. В настоящее
время пи задачи приходится решать и летчикам,
и космонавтам.
Рассмотрим несколько задач.
Задача1
Известны географические координаты
- широта и долгота пунктов А и В земной
поверхности lа, lb, jа, jb требуется найти кратчайшее
расстояние между пунктами А и В вдоль
земной поверхности. (радиус Земли считается
известным: R=6371км).
Решение:
Напомним сначала, что широтой
пункта М земной поверхности называется
величина jм угла, образованного радиусом
ОМ, где О центр Земли, с плоскостью экватора:
-90°£jм£90°, причем к северу от экватора
широта считается положительной, а к югу
– отрицательной. Долгота jм пункта М есть величина двугранного
угла между плоскостями СОМ и СОН, где
С - северный полюс, а Н – точка, отвечающая
гринвичской обсерватории:-180°£lм£180°(к востоку от гринвичского
меридиана долгота считается положительной,
к западу -отрицательной).
Кратчайшее расстояние между
пунктами А и В земной поверхности - это
длина меньшей из дуг большей окружности,
она называется ортодромией, соединяющей
А с В. Поэтому наша задача сводится к определению
длины стороны АВ сферического треугольника
ABC. Сферическое расстояние от пункта А
до В находим по формуле: ABS = R £АОВ