Решение сферических треугольников

Для того, чтобы найти ÐАОВ необходимо знать ÐAOC, ÐСОА, ÐC.Пусть ÐСОВ = a, тогда:

а =90° - ÐBOK, т.к ÐCOK =90°, т.е.

a=90°-jв. Пусть ÐCOA = b, тогда,

b = 90°    - ÐAON, т.к ÐCON - 90°,т.е. b=90°  -jа

 

 

ÐC выразим через координаты точке А и В. По определению ÐC < 180° , поэтому

либо ÐC=çlа -lвç, если lа - lв£180°,либоÐС=360°- çlа -lвç, если çlа -lвç>180°

Затем  находим  ÐАОВ Пусть ÐAOB = g, тогда:

Cosg = cosa cosb + sina sinbcosÐC - по теореме косинусов

Cosg = cosjа cosgb соs (lа - lb) + sinja sinjb

зная косинусg, находим ÐАВС;

авs =ry

 

Задача2

Мореплаватель Кристофор Веспуччи проплыл 1800 миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и проплыл в новом направлении еще 2700 миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А иС (по поверхности земного шара).

Решение:

Обозначим через a, b и с длины дег ВС, АС и АВ соответственно, y — внутренний угол при вершине В сферического треугольника АВС. Тогда

,

, где R — радиус земного шара, выраженный в морских милях.

По теореме косинусов для сферического треугольника

 

По таблицам или с помощью калькулятора находим, что

радиан.

Следовательно, длина дуги АС = b равна b = R*0.90662 = 3437.4*0.90662 3116.7 миль.

 

Ответ: 3117 морских миль 5772 км.

 

Задача 3

Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. Доказать.

Решение: Рассмотрим трёхгранный угол. Известно, что в трёхгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью любого трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. Так как градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла, соотношение линейных углов в трёхгранном угле соответствует соотношению сторон в сферическом треугольнике, т.е. во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.

 

Задача 4

Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего меньше p, а сумма трёх углов принадлежит интервалу (p;3p).

Решение: 1) Для ∆А′В′С′ - полярного данному ∆АВС, имеем: а′ + b′ > с′ (по предыдущей задаче). Переходя от полярного треугольника к данному, получим:   π - ÐА + π - ÐВ > π - ÐС, откуда имеем ÐА +ÐВ -ÐС < π

 

 2) Площадь сферического  треугольника: S∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r2, так как S∆АВС > 0, то ÐА+ÐВ+ÐС – π > 0 и, следовательно, ÐА+ÐВ+ÐС >  π.

 

Задача 5

Доказать, что в сферическом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона.

Решение: Пусть в ∆АВС,  ÐC>ÐB, построим CD так, что ÐАВС=ÐBCD,

тогда  ∆BCD – равнобедренный    и BD=CD, тогда    верно    неравенство:

AC<AD+DC=AD+DB=AB.

 

 

 

 

Задача 6

 

Пусть О - центр земного шара; АаВ - дуга круга широты, и надо доказать, что ортодромия короче локсодромии.

Решение : 

Пусть АаВ - дуга большого круга, тогда АО = OB = R, т.к. точка А и точка В лежат на широте 60° , т.е.радиусы ОА и ОВ составляют с ОС угол в 30° DАСО - прямоугольный

AC = N

n=1/2r, ac = 1/2r.

Длина дуги АВ составляет 1/6  длины окружности широты, а т.к..круг этот имеет вдвое меньше длину, чем большой круг, то длина малого круга равна:

АВ=1/6*4000/12=333,3 (км)

для того чтобы определить длину дуги большого круга - АаВ, надо знать градусную мepy ÐAOB

АВ = N. т.к АВ - есть сторона правильного шестиугольника, стягивающего дугу в 60° , АВ = R/L

Проведем OD/AD = DB и рассмотрим DODA, он прямоугольный, т.к.ÐD = 90°.

 

 

 

 

Заключение

Изучая теорию по сферической геометрии и рассматривая практические задачи, я пришел к выводу, что элементы сферы: углы, отрезки, многоугольники рассматриваются иначе, чем эти же фигуры на плоскости или в пространстве в евклидовой геометрии.

По разному трактуются знакомые нам теоремы. Например, мы знаем, что сумма углов треугольника 180 градусов, вот сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180 градусов. (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.

В школьном курсе геометрии мы изучали, что минимальное число вершин многоугольника равно трём. Действительно, нельзя построить многоугольник с меньшим числом вершин. Изучая сферическую геометрию, я узнал новую для меня фигуру — двуугольник.

Думаю, что собранный мной материал можно использовать в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, при подготовке к олимпиадам по математике, а так же на внеклассных занятиях для расширения кругозора учеников.