Контрольная работа по теме "Информатика"

Содержание

	стр.
Задание 1. Используя компьютерные технологии, провести корреляционно-регрессионный анализ исследуемых экономических показателей и построить регрессионную модель.	3
Задание 2. Используя компьютерные технологии, решить задачи линейного программирования	12
а)Задача оптимального планирования производства.	12
б) Задача оптимизации  плана перевозок (транспортная задача)	15
Задание 3. Используя компьютерные технологии, выполнить планирование проекта.	18
Литература	21
Приложения	22

 

1. Используя компьютерные технологии, провести корреляционно-регрессионный анализ исследуемых экономических показателей и построить регрессионную модель.

 

В качестве инструментария исследования использовать:

• функции категории «Статистические» ТП MS Excel,
• инструменты надстройки Пакет Анализа ТП MS Excel,
• встроенные функции библиотеки Stats (Statistics) CKM Maple.

 

     Условия задания 1:

• По выборочным данным исследовать влияние факторов X1, X2 и Х3 на результативный признак Y.
• Построить корреляционное поле и сделать предположение о наличии и типе связи между исследуемыми факторами;
• Оценив тесноту связи между исследуемыми факторами, построить многофакторную (однофакторную) линейную регрессионную модель вида Y=f(X1,X2 Х3)или вида Y=f(X).
• Оценить:
• адекватность уравнения регрессии по значению коэффициента детерминированности R²;
• значимость коэффициентов уравнения регрессии по t- критерию Стьюдента при заданном уровне доверительной вероятности р=0,05;
• степень случайности связи между каждым факторам Х и признаком Y (критерий Фишера);
• Зависимость между показателями X₁, X₂, X₃  реализованной продукции балансовой прибылью Y предприятий одной из отраслей промышленности характеризуется следующими данными:

 

Вариант 3

X1	1.2	2.8	3.4	4.6	5.2	6.4	7.8	8.3	9.1	9.9	10.5
X2	1.2	1.8	2.0	2.5	3.0	3.2	3.5	4.9	5.0	6.2	7.3
X3	2	3	4	3	2	6	5	7	8	12	9
Y	20	50	57	63	22	75	60	81	87	102	95

 

Решение задания 1 в Excel предполагает:

1.Построение корреляционного  поля.

2.Построение матрицы  коэффициентов парной корреляции.

3.Построение и анализ однофакторных регрессионных моделей линейного вида средствами встроенных функций ТП MS Excel

4.Построние линейных  однофакторных регрессионных моделей  средствами надстройки «Пакет анализа»

5.Выводы.

 

Построение корреляционного  поля.

Разместим таблицу с исходными данными в ячейках А3:D15 рабочего листа Excel, как показано в Приложении 1.1. Используя возможности мастера диаграмм ТП MS Excel, построим корреляционное поле, то есть представим графически связь между результирующим признаком Y и каждым из факторов х (см. Приложение 1.1 – 1.2). Полученные графики демонстрируют, что каждый из факторных признаков, вероятно, связан с результативным признаком Y. Связь весьма тесная для признака Х3, так как на соответствующей диаграмме точки данных располагаются в непосредственной близости от линии тренда – графика линейной регрессии. Два других фактора связаны с результативным менее тесно. По всей видимости, в каждом случае для описания связей целесообразно использовать линейные модели.

Далее исследуем тесноту и характер связи между факторами.

 

Построение матрицы  коэффициентов парной корреляции.

Используя надстройку «Пакет анализа» ТП M Excel (СервисàАнализ данных à Корреляция), построим матрицу коэффициентов парной корреляции (см. Приложение 1.3 ячейки Q6:U10). Окно инструмента Корреляция представлено на рисунке 1. Матрица коэффициентов парной корреляции представлена на рисунке 2.

Рис.1 – Окно «Корреляция»

 

Рис.2 – Матрица парных коэффициентов корреляции

Из этой матрицы видно, что все рассматриваемые факторы Х1-Х3  имеют тесную связь с результативным признаком Y. Кроме того, все факторы X между собой мультиколлинеарны. Поэтому построение многофакторной модели вида Y=f(X1, X2, X3) невозможно.

 

Построение однофакторной  регрессионной модели вида Y=f(X1)

Для построения модели линейного вида Y=m•x+b воспользуемся функцией ЛИНЕЙН из категории статистических функций ТП MS Excel. В ячейки N20:O24 с помощью мастера функций введем как формулу массива функцию ЛИНЕЙН в следующем формате =ЛИНЕЙН(A4:A14;B4:B14;1;1) (cм. Приложение 1.1). При вводе следует одновременно нажать клавиши <CTRL>, <SHIFT>, <ENTER>. В результате получим массив значений, верхняя строка которого представляет собой коэффициенты уравнения регрессии m и b:

     m                b

 

Таким образом, уравнение  регрессии, устанавливающее зависимость  между одним из показателей реализованной продукции Х и балансовой прибылью  Y имеет вид

Y(Х1)л=7,355х1+18,458

а)коэффициент детерминированности R²=0,707 (ячейка N22). Это означает, что в рассматриваемой выборке около 71% общей вариации результативного признака Y – балансовой прибыли – определяется изменением фактора х1, и лишь около 29% обусловлено изменением прочих (не контролируемых) факторов.

б)значимость коэффициентов  уравнения регрессии определяется по t-критерию Стьюдента. Расчетное значение критерия Стьюдента tр=4,665 (ячейка О27, формула =N20/N21), что больше табличного значения tт=2.26 (функция =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;9)). То есть коэффициент при переменной х1 значим. В частности, это позволяет нам утверждать (с вероятностью 95%), что рост значения х1 приводит, в среднем, к увеличению балансовой прибыли.

в)Расчетное значение критерия Фишера Fр=21.76 (ячейка N23)  больше табличного Fт=5.117 (ячейка О12, формула =FРАСПОБР(0,05;1;9)). То есть связь между факторами не случайна и в целом уравнение регрессии адекватно.

Аналогичным образом  рассчитаем и оценим адекватность уравнения  регрессии вида Y=f(x2) (ячейки N38:O42) и вида Y=f(x3) (ячейки N55:O59).

Результаты получаются следующими. Линейная модель признака Х2:

Y(x2)л=11.562х2+22.052

В ней коэффициент  детерминированности составляет более 0,68, а это значит, что в рассматриваемой  выборке около 68% общей вариации балансовой прибыли связано с  изменением признака Х2, но почти 32% вариации обусловлено изменением иных факторов. Расчетное значение критерия Стьюдента tр=4.406, что больше табличного значения tт=2.26 Коэффициент при переменной х2 значим. Расчетное значение критерия Фишера Fр=19.41   больше табличного Fт=5.117. То есть связь между факторами не случайна и в целом уравнение регрессии адекватно.

 

Для признака Х3 мы получаем следующую модель:

Y(x3)л=7.735х3+21.831

 

Это модель, в которой  коэффициент детерминированности  составляет 0,842, что довольно близко к 1 и отражает преобладающее влияние признака Х3 на изменение Y в данной выборке. Значимость коэффициента регрессии подтверждается тем, что расчетное значение t-критерия Стьюдента (6,926) заметно превосходит табличное значение. Расчетное значение критерия Фишера Fр=47.97   больше табличного Fт=5.117 - связь между факторами не случайна и в целом уравнение регрессии можно признать адекватным.

 

Построение линейной однофакторной  регрессионной модели Y=f(X1) средствами надстройки «Пакет анализа»

Используя надстройку «Пакет анализа» ТП MS Excel (СервисàАнализ данных à Регрессия), рассчитываем линейную регрессионную модель вида Y=f(X1). Окно Регрессия представлено на рисунке 3.

Рис. 3  - Окно «Регрессия»

 

Результаты регрессионного анализа (ячейки Q16:Y31 приложения 1.3) представлены в виде трех таблиц.

Первая таблица –  «Регрессионная статистика» (ячейки Q16:R21) позволяет оценить тесноту связи между факторами и уровень стандартной ошибки.

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,841096305
R-квадрат	0,707442995
Нормированный R-квадрат	0,674936661
Стандартная ошибка	15,40461449
Наблюдения	11

 

Вторая таблица –  «Дисперсионный анализ» на основании  критерия Фишера, остаточной и регрессионной суммы квадратов позволяет оценить адекватность уравнения регрессии в целом.

 

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	5164,46249	5164,46249	21,76323536	0,001176696
Остаток	9	2135,719328	237,3021476
Итого	10	7300,181818

 

В третьей таблице  представлены значения коэффициентов  уравнения регрессии (ячейки R30:R31), критерий Стьюдента (ячейки Т30:Т31) и уровень значимости р (ячейки U30:U31).

 

Результаты расчета, проведенного с помощью надстройки «Пакет анализа», полностью совпадают с результатами, возвращенными функцией ЛИНЕЙН.

Аналогично с помощью  этой надстройки можно провести регрессионный анализ для линейных моделей вида Y=F(X2) И Y=F(X3).

 

Вывод.

Все построенные модели отвечают условиям адекватности. Наиболее высокие статистические характеристики имеет модель Y=f(x3) вида:

Y(x3)л=7.735х3+21.831

В этой модели коэффициент детерминированности составляет 0,842. Значит, в используемой для анализа выборке более 84% общего изменения Y можно объяснить изменением признака Х3. Критерий Фишера F=47,97 (Fр=47,97>Fт=5.117). Критерий Стьюдента = 6.93 (tр=6.93>tт=2.26), что позволяет констатировать значимое отличие от 0 коэффициента регрессии с вероятностью 95%.

Полное решение задания 1 приведено в Приложениях 1.1 – 1.6

 

Теперь решим данную задачу с помощью функций библиотеки stats СКМ Maple. Построим и проанализируем однофакторные линейные модели для признаков Х1, Х2 и Х3, для чего используются однотипные расчетные схемы. Рассмотрим процесс анализа на примере признака Х1.

 

На первом этапе массивы  данных Х₁-показатель реализованной продукции и Y –балансовая прибыль следует оформить типом statsdata для возможности обработки процедурами и функциями библиотеки stats СКМ Maple:

> restart;

> with(stats);

> X1:=[1.2,2.8,3.4,4.6,5.2,6.4,7.8,8.3,9.1,9.9,10.5];

> Y:=[20,50,57,63,22,75,60,81,87,102,95];

Для расчета функциональной зависимости между экспериментальными данными Х₁ и Y и возможности ее графического отображения определим функцию пользователя spisok=f(x) с использованием функционального оператора à:

>spisok:=(x,y)->[x,y]

 

Далее, задав вид модели (например, линейная), рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии:

> fit[leastsquare[[x,y]]]([X1,Y]);

> evalf(%,4);

Для того, чтобы графически отразить экспериментальные данные и построить линию тренда, значения Х₁ и Y сначала следует сгруппировать попарно функцией zip:

> k:=zip(spisok,X1,Y);

 

затем на основании полученного  уравнения регрессии рассчитать линию тренда:

> k:=zip(spisok,X1,Y);

> fun:=rhs(fit[leastsquare[[x,y]]]([X1,Y]));

> for i from 1 to nops(X1) do

> Y1[i]:=evalf(subs({x=X1[i]},fun));

> end do:

> Y1:=convert(Y1,list);

Здесь стандартная  функция rhs библиотеки stats выделяет правую часть полученной функциональной зависимости для расчета линии тренда Y1, функция nops в цикле for подсчитывает количество значений Х1, функция subs осуществляет подстановку значений аргумента из массива X₁[i] в уравнение регрессии, а функция convert преобразовывает полученный массив Y1 в данные типа list (список) для возможности использования их в функции построения графика plot:

> k1:=zip(spisok,X1,Y1):

> plot([k,k1],thickness=2,labels=["Независимая переменная X1", "Зависимая переменная Y"], labeldirections= [horizontal,vertical],

legend=["Исходные данные","Теоретическая модель"], title= cat("Модель Y=",convert(evalf(fun,7),string)));

 

Заданные в функции plot параметры позволяют не только построить реальную и расчетную зависимости, применив различные графические стили и комментарии, но и вывести на графике уравнение регрессии (см. рис. 4)