Методі математичної обробки експериментальних даних

 

 

 

 

Одеський національний політехнічний університет

Кафедра органічних та фармацевтичних технологій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВА РОБОТА

з ___________________________________________________________

(назва дисципліни)

на тему:_____________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

 

 

 

Студента  _____ курсу ______ групи

напряму підготовки 6.0513 – Хімічна технологія

спеціальності 7.05130102 – Хімічні технології органічних речовин

  ________________________________

(прізвище  та ініціали)

Керівник________________________

   ________________________________

(посада, вчене звання, науковий  ступінь, прізвище та ініціали)  

 

Національна шкала _______

Кількість балів: __________

Оцінка:  ECTS _____

      Члени комісії          ________________  ___________________________

                                                                                                                                             (підпис)                        (прізвище та ініціали)

                                                                                                      ________________  ___________________________

                                                                                                                                              (підпис)                        (прізвище та ініціали)

                                                                                                                                ________________  ___________________________

                                                                                                                                              (підпис)                         (прізвище та ініціали)

 

 

 

м. Одеса – 2013 рік

 

ЗАВДАННЯ  НА  КУРСОВЕ  ПРОЕКТУВАННЯ

 

Варіант № 5

T, K	300	350	400	450	500	550	600	650
m·108, Па·с	2057	2321	2566	2795	3012	3217	3414	3603
l·104,Вт/(м·К)	262	299	334	370	404	439	473	509
Ср, кДж/(кг·К)	0,920	0,929	0,942	0,957	0,973	0,988	1,004	1,018

 

1) Дослідити  наявність лінійного зв'язку між  вязкістю (m) та теплоємкістю (Ср).

2) Визначити  значення параметрів при температурах: 475K, 315K, 675K.

3) Визначити, при якій температурі

а) теплоємкість (Ср) буде рівнятися 0,980 кДж/(кг·К);

б) коефіцієнт в’язкості (m) буде рівнятися 35·10-6 Па·с.

№	1	2	3	4	5	6	7	8
x, г/л	2,5	1,2	1,8	2,0	2,2	1,5	1,7	2,8
y, 1/с	0,8	17,0	3,6	2,8	1,2	7,4	5,4	0,36

 

Рекомендовані залежності:

Y=a+bX; Y=a+bX3; Y=a exp(bX); Y=a+b/x1/2.

 

РЕФЕРАТ

 

           В представленій пояснювальній записці міститься 41 сторінок друкованого тексту.  Представлено 16 таблиць які містять в собі ісходні данні і результати обчислень. Також є програма написана на мові програмування Turbo.C для розрахунку сум експериментальних Х і Y ,  коефіцієнтів рівняння регресії а і b, а також коефіцієнта кореляції.

В даній курсовій роботі були проведені розрахунки з використанням різноманітних методів математичної обробки експериментальних даних. Був проведен аналіз результатів отриманних за допомоги різноманітних методів, а також були порівняні, методи якими ми користувалися в роботі, методи обробки експериментальних даних  по простоті використання і по точності отриманних результатів. Був розрахован вибірковий коефіцієнт кореляції, характеризуючий силу лінійного кореляційного зв¢язку між X та Y. З використанням методів параболічного інтерполювання і метода Лагранжа були розраховані значення фізичних величин в заданних невузлових точках, результати отримані по заданим методам були співставленні і проаналізовані.         

 

          Ключові слова: кореляційний аналіз, лінійний регресійний аналіз, емпірична формула, інтерполяція, зворотня інтерполяція, формула Лагранжа

 

 

ЗМІСТ

         Вступ

 

                                                              

 

 

ВСТУП

 

Математичне опрацювання і аналіз результатів експерименту необхідні як студентам технічних вузів, так і інженерам-дослідникам і інженерам-технологам. Недостатнє знання ними сучасних методів математичного опрацювання та аналізу результатів експерименту викликає звичайно серйозні утруднення і призводить до застосування спрощених і недостатньо обґрунтованих прийомів. Це відноситься до питань добору емпіричних формул і оцінки їхніх параметрів, оцінки істинних значень величин, що вимірюються, і точності вимірів, дослідження кореляційних залежностей.

Виконуючи дану курсову роботу, студенти закріплюють навички практичного застосування основних методів опрацювання й аналізу результатів експерименту до різноманітних питань хімії і хімічної технології.

При виконанні курсової роботи  використовуються як прикладні програми, які є в наявності в бібліотеці програм ХТФ (див. додаток 1,2,3), так і самостійно розроблені програмні продукти (див. додатки 4,5).

                                     

                                                                                                                                                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1. Кореляційний аналіз

 

            Під кореляцією розуміється всякий зв'язок між двома або декількома досліджуваними явищами. Кореляція може бути детерміністичною або випадковою (імовірнісною). Перший тип зв'язку визначається строгими закономірностями, які описуються фізико-хімічними формулами. Другий тип зв'язку тільки передбачається, тому що відсутні теоретичні передумови, які свідчать про наявність такого зв'язку.                                   

 

1.2.Лінійна кореляція

 

Як правило при кореляційному аналізі досліджуються тільки лінійні зв'язки між величинами, а статистичні критерії свідчать про наявність або відсутність передбачуваного лінійного зв'язку. Тому негативна відповідь при перевірці гіпотези про кореляцію може означати не тільки відсутність зв'язку, але і можливу наявність нелінійної залежності між досліджуваними величинами.

Для кількісної оцінки лінійної кореляції користуються вибірковим коефіцієнтом парної кореляції rxy – безрозмірною величиною до значень середніх  квадратичних відхилень досліджуваних величин:

rxy  = .

(1.1)

Коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною не перевершує одиниці (|rxy| £1) і може приймати такі значення:

1. rxy = 0 — цей випадок відповідає відсутності зв'язку між x і y ( рис. 1, а);
2. rxy = +1 — між x і y  існує строгий  позитивний  лінійний зв'язок  (рис.1, б);
3. rxy = –1 — між x і y існує строгий негативний зв'язок (рис. 1, в);
4. –1<rxy<+1 — це випадок, що найбільше часто зустрічається, і тут про кореляцію судять уже лише з точки зору більшої або меншої імовірності.

Розмір коефіцієнта кореляції |rxy| служить тільки для оцінки тісноти лінійного зв'язку між величинами х і у: чим ближче абсолютна величина коефіцієнта до 1, тим зв'язок сильніше; чим ближче |rxy| до нуля, тим зв'язок менше. Якщо випадкові величини х і у пов'язані точною лінійною функціональною залежністю

у = a × x +  b ,

(1.2)

то rxy =±1. Знак «+» або «–» потрібно використати в залежності від знака коефіцієнту а (а>0 або a<0).

Рис.1.1 Кореляційна залежність між випадковими величинами х і у

 

Залежність коефіцієнта кореляції перевіряється по формулі:

H=|rху|

(1.3)

      

  при числі вимірів n до 10 для різноманітних  значень надійності складають:

при Р = 0,9   H =1,65;

при Р = 0,95   H = 1,90;

при Р = 0,99   H = 2,29.

Якщо для емпіричного коефіцієнта кореляції rху H=|rxy| виявиться більше критичного значення H, то з надійністю Р слід відкинути гіпотезу про некорельованість аналізованих величин.

При інженерних розрахунках рівень довірчості Р=0,95 достатній.

Припустимо відомо, що випадкові величини x и y пов'язані лінійною кореляційною залежністю (обидві лінії регресії прямі). Для характеристики сили лінійного кореляційного зв'язку між величинами х і у по дослідним даним знаходимо вибірковий коефіцієнт кореляції:

,

(1.4)

 де  Sх, Sу – вибіркові середні квадратичні відхилення:

.

(1.5)

Для практичного використання більш зручним є формули:

	;	(1.6)
	;	(1.7)
	.	(1.8)

 Перевірка значущості  коефіцієнта кореляції викладена  вище. 

 

1.3. Лінійний регресійний  аналіз

 

Дослідження й оптимізація складних, неорганізованих систем можливі  лише за допомогою рівняння регресії. Проте не завжди експериментальний матеріал дає можливість знайти зручний і точний вид моделі. У більш загальному випадку математична модель створюється на підставі статистичного методу – регресійного аналізу.

Рівняння регресії представляє математичну форму залежності фізичної величини, що досліджується, від факторів, що впливають на неї. Вибір того або іншого виду рівняння (що залежить від самого дослідника, який пропонує модель) визначає точність (адекватність), з якою модель описує в необхідних межах реальну дійсність. Методи регресійного аналізу дозволяють із декількох різноманітних по виду моделей вибрати найбільш адекватну. Регресійний аналіз зводиться до визначення на підставі експериментальних даних коефіцієнтів моделі (коефіцієнтів регресії), оцінки значущості величин цих коефіцієнтів і ступеня адекватності моделі.

При статистичній оцінці ступеня адекватності моделі експериментальним результатам найбільше часто використовують критерій величини квадрата відхилення цих результатів від розрахункових значень, отриманих на підставі даної моделі. Процедура оцінки значень коефіцієнтів регресії і адекватності, при якій квадрат відхилення є мінімальним, зветься методом найменших квадратів (МНК).

 

1.3.1. Метод найменших квадратів

 

Емпірична формула в загальному виді може бути записана так:

= F(хi, aj),

(1.9)

де хi – незалежні змінні, aj – коефіцієнти емпіричної залежності.

Відповідно до методу найменших квадратів найкращими будуть коефіцієнти, знайдені за умови:

min {R(aj)} =       (i = 1, 2,... ,n;   j = 0, 1,... , m)

(1.10)

тобто мінімуму суми квадратів відхилень між експериментальними (yi=f(xi))  і розрахунковими ( ) значеннями.

При фіксованих значеннях xi функція R(aj) є позитивно  визначеною   функцією (заданою і неперервною на інтервалі [х1, хn])  і, отже має екстремум. Необхідною умовою існування екстремуму функції декількох змінних є рівність нулю частинних похідних.

На практиці, як правило, при визначенні коефіцієнтів по методу найменших квадратів будь-яку емпіричну залежність доцільно потрібно призвести до лінійного виду. Розглянемо одержання системи нормальних рівнянь для даної функції.