Методі математичної обробки експериментальних даних

Потрібно визначити коефіцієнт емпіричної формули

= F(хi,aj) = a + b ∙ хi.

(1.11)

Тоді вираз (1.10) прийме вид: 

R (aj, хi) = (yi – a + b ∙ хi)2

(1.12)

Нормальна система для визначення a і b буде мати такий вид:

	= 2 ( yi – a + b ∙ хi) ∙ 1 = 0
	= 2 (yi – a + b ∙ хi) ∙ хi = 0	(1.13)

Зробивши найпростіші перетворення, одержимо:

	a ∙ n + b ∙  хi = yi
	a ∙  хi  + b ∙ хi2 =  хi ∙ yi	(1.14)

Розв'язавши систему (1.14), одержуємо значення a і b. Підставивши їх у  вираз (1.11), отримаємо вид емпіричної формули.

 

Коефіцієнти регресії b і a можна обчислити по формулах:

	b = ;	(1.15)
	a = .	(1.16)

В усіх  цих  виразах коефіцієнти регресії визначаються на підставі вимірів, проведених у n експериментальних точках (n >2).

 

1.3.2. Аналіз рівняння регресії

 

Дисперсія  адекватності моделі  характеризує  міру відхилення даних , отриманих розрахунком по рівнянню регресії (1.11) від реальних експериментальних результатів yi для i-ої точки, у якій проведено вимір. Значення  знаходять по формулі:

= ,

(1.17)

при числі ступенів свободи f = n – 2.

Після обчислення коефіцієнтів моделі a і b обчислюють дисперсії і , пов'язані з визначенням коефіцієнтів:

= ; = ,

(1.18)

при  числі  ступенів  свободи  f = n – 2.

Після обчислення дисперсій варто перевірити статистичну значущість a і b. Ця перевірка дає відповідь на питання про те, чи проходить пряма (1.11) через початок координат або ні, і чи відрізняється кут її нахилу від 450. Найбільше простим критерієм значущості для такої перевірки є критерій Стьюдента (t-критерій). Розмір критерію Стьюдента залежить від рівня довірчості Р і числа ступенів свободи f, тобто t = t (Р, f). Значення критерію Стьюдента для Р = 0,95 приведені в табл. 1.1.

 

Таблиця 1.1

Значення критерію Стьюдента для рівня довірчості Р = 0,95

 

n–k	1	2	4	6	8	10	15	20	30
T	12,7	4,30	2,80	2,45	2,30	2,23	2,03	2,09	2,04

 

де n – число дослідів, k – число констант, що визначаються із них.

Довірчі границі a і b для цих коефіцієнтів обчислюються за формулами:

a = t ∙ Sa; b = t  ∙ Sb.

(1.19)

Коефіцієнти рівняння значущі, якщо виконуються умови a> a і b> b.

Після визначення коефіцієнтів регресії та оцінки їхньої значущості (по абсолютній величині) перевіряють адекватність самого рівняння регресії. Відхилення розрахункового значення від експериментального yi може мати місце або тому, що обрана модель недосконала, або внаслідок випадкових похибок. Тому статистична оцінка адекватності проводиться по F-критерію:

Fексп = ,

(1.20)

при числі ступенів свободи чисельника n–2, а знаменника  n (m–1). Тут дисперсія відтворності при вимірі величини y або вибіркова дисперсія.

Значення критерію Фішера для рівня довірчості Р = 0,95 приведені в табл. 1.2.

 

Таблиця 1.2

Значення критерію Фішера для рівня довірчості Р = 0,95

 

m–1 (п–k)	F–критерій при різних n–k
	1	2	4	6	8	10	16	40
1	161	200	225	234	239	242	246	251
2	18,50	19,00	19,25	19,33	19,37	19,39	19,43	19,47
3	10,13	9,55	9,12	8,94	8,84	8,78	8,69	8,60
4	7,71	6,94	6,39	6,16	6,04	5,96	5,84	5,71
5	6,61	5,79	5,19	4,95	4,82	4,74	4,60	4,46
6	5,99	5,14	4,53	4,28	4,15	4,06	3,92	3,77
7	5,32	4,46	3,84	3,58	3,44	3,34	3,20	3,06

 

де m – число паралельних дослідів.

Вибіркова дисперсія визначається при опрацюванні результатів паралельних вимірів yi у кожній точці по формулі:

(1.21)

Вибіркову дисперсію можна розрахувати, знаючи усереднену похибку вимірів. Коли не існує даних для визначення вибіркової дисперсії по результатам паралельних вимірів. У такому випадку, вибіркову дисперсію визначаємо по точності dР=±2%. Середнє відхилення виміру у:

Dy = ± 0,02 × уср = ± 0,02 ×

(1.22)

 

При мінімальній кількості паралельних вимірів у кожній точці m=2 максимальне значення дисперсії відтворності складе:

=

(1.23)

 

Якщо значення Fексп, отримане по формулі (1.20), менше табличного при обраному рівні значущості, то рівняння (1.9) адекватно описує експериментальні результати. Якщо Fексп > Fтабл, варто запропонувати інший вид рівняння і досліджувати нове рівняння регресії.

 

1.4. Представлення експериментальних даних формулами без використання МНК

 

Для розрахунків і оптимізації, як правило, замість табличних даних і графіків використовуються формули, що відбивають закономірності табличного або графічного матеріалу. Коли теорія процесу відсутня, дослідник змушений сам створювати математичну модель, тобто визначити її вид і обчислити коефіцієнти до неї. Найбільше коректно цю процедуру можна виконати з використанням МНК. Проте існують і інші достатньо прості способи підбору емпіричних рівнянь, основні з яких розглянуті нижче.

             

1.4.1 Вибір емпіричної формули. Метод  вирівнювання

 

У деяких випадках доводиться підбирати формулу, порівнюючи криву, побудовану за даними спостережень, із типовими графіками формул. Такі графіки приведені в довідниках. Іноді виявляється, що емпірична крива схожа на декілька кривих, рівняння яких різні.

Тому, перед тим, як визначати чисельні значення коефіцієнтів в обраній емпіричній формулі, необхідно перевірити можливість її використання. Метод вирівнювання полягає в зміні  функції   y = F(x)  таким чином, щоб перетворити її в лінійну функцію.  Досягається  це шляхом заміни змінних х і у новими змінними X=q(x,y)  і  Y=g(x,y), що вибираються  так, щоб утворилося рівняння прямої лінії:

Y = a + b Х

(1.24)

Обчисливши значення Xi і Yi по заданим xi і yi, наносять їх на графік (діаграму) із прямокутними координатами (X, Y). Якщо побудовані таким способом точки розташовуються поблизу прямої лінії, то обрана емпірична формула y=F(x) підходить для характеристики залежності y=f (x).

 

1.5. Визначення параметрів емпіричної формули

Як правило, пошук параметрів здійснюється для емпіричної формули, приведеної до лінійного виду.

                                    

1.5.1. Метод обраних крапок

 

Нехай емпірична формула має вид (1.24). Потрібно знайти значення коефіцієнтів а і b.

Нанесемо на координатну площину дослідні точки (Xi,Yi).  Як найближче   до цих точок проводимо пряму (наближаюча пряма). На цій прямій вибираємо дві (по числу параметрів) довільні точки N1 (X1,Y1) і N2 (X2,Y2), не обов'язково збіжними з точками (Xi,Yi) і якнайдалі  віддаленими друг від друга. Координати цих точок підставляємо в рівняння (1.24), одержуємо систему:

Y1 = a ∙ X1 + b Y2 = a ∙ X2 + b

(1.25)

Вирішуючи її, знаходимо а і b.

 

1.5.2. Метод середніх

 

            Нехай  емпірична формула має  вид (1.24). Підставимо у неї в місце Х і Y дослідні значення Xi і Yi. Оскільки ліва частина формули звичайно не дорівнює правої, одержимо систему рівнянь:

	a ∙ X1 + b – Y1 = E1; a ∙ X2 + b – Y2 = E2;
	. . . . . . . . . . . . . . . . a ∙ Xn + b – Yn = En;	(1.26)

де Е1, Е2 ,..., Еn – відхилення, що можуть бути як позитивними, так і негативними.

Відповідно до методу середніх, за найкращу емпіричну залежність приймається та, що забезпечує нульове значення суми відхилень по всіх експериментальних точках, тобто алгебраїчна сума відхилень дорівнює нулю.

Для визначення параметрів а і b формули (1.24) поступають таким чином:

1. Складають умовні рівняння Yi =a ∙ Xi + b, число котрих m дорівнює числу значень Хi і Yi .
2. Умовні рівняння розбивають на приблизно рівні групи, число котрих n дорівнює числу коефіцієнтів, що потрібно визначити (у даному випадку – 2).
3. Рівняння, що входять у кожну з цих груп, складають. Для  даного випадку одержуємо два рівняння:                               

	= a ∙  + k ∙ b;	(1.27)
	= a ∙  + (m–k) ∙ b.	(1.28)

4. З цих рівнянь  знаходять невідомі коефіцієнти a і b.

Групувати рівняння треба в порядку монотонної зміни однієї з змінних.

1.6 Інтерполяція функцій

 

Інтерполяцію можна розглядати як процес визначення для даного аргументу х , який не потрапляє в таблицю экспериментальних значень, значення функції у=f(х) по її декількох відомих значеннях. Задача інтерполяції полягає в наступному. Потрібно побудувати функцію Рn(х) (інтерполюючу функцію), яка б приймала ті ж значення, що і функція f(х), яку ми визначаємо (що інтерпелюється), для вузлових значень аргументу х0, х1, ... , хn.

У загалі залежність, якої підпорядковується функція, може бути апроксимована багаточленом ступеня n:

Рn(x) = y = a0 + a1 ∙ x + a2 ∙ x2 + ... + an ∙ xn.

(1.29)

 

1.6.1. Параболічна  інтерполяція

 

Для визначення коефіцієнтів багаточлена (2.1) необхідно мати n+1 вузлову точку. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного багаточлена для n+1 точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь n+1 порядку, кожне з яких являє собою вираз (2.1), записаний для визначеної вузлової точки

yi = a0 + a1 ∙ xi + a2 ∙ xi2 + ... + an ∙ xin,

(1.30)

де i = 1, 2,. . . n+1.

Даним методом побудови інтерполяційного поліному зручно користуватися, маючи ЕОМ і відповідні програми. У бібліотеці прикладних програм ХТФ ОДПУ є програми для рішення систем лінійних рівнянь методами Гауса і Зейделя (gz.exe), якими можна користуватися при рішенні цієї  задачі.

 

1.6.2. Метод Лагранжа

Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа.

Нехай при х=х0, х1, ... , хn функція f(х) приймає відповідно значення у0, у1,... , уn. Багаточлен ступеня не вище n, що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:

Рn(х)=у= .

(1.31)

Цей багаточлен (2.3) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:

1. При заданій сукупності вузлових точок будова багаточлена можлива тільки єдиним способом.
2. Багаточлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).

 

1.6.3. Зворотна інтерполяція

 

Нехай функція у= f(х) задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції у визначити відповідне значення аргументу х.