Методі математичної обробки експериментальних даних

 

4)При Т=315K знайдемо m=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

 x0=300;         x1=350;

 y0=2057;     y1=2321.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=315    та отримаємо такий результат 108×m¢=y¢=2136,2, де m=2,1362×10-5 Па×с

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=300;       x1=350;    x2=400;

 y0=2057; y1=2321;    y2=2566

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=315    та отримаємо такий результат 108×m¢¢=y¢¢=2138,1951, m=2,1382×10-5 Па×с

Так як похибка h<5%, то при Т=315K m=2136,2×10-5 Па×с

 

5)При Т=75 °С знайдемо l=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х: 

x0=0;             x1=100;

y0=130.3;      y1=227.9

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 104×l¢=y¢=203,500, де l=2,035×10-2Вт/(м×К)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

x0=0;          x1=100;       x2=200;

y0=130.3;   y1=227.9;    y2=352.4.

Введемо їх у програму та отримаємо такий результат 104×l¢¢=y¢¢=200,9781, де l=2,0097×10-2Вт/(м×К)

Так ак похибка h<5%, то при Т=75°С  l=2,035×10-2 Вт/(м×К)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75    та отримаємо такі результати 104×lVII=199,31, де                l=199,31 Вт/(м×К)

 

6)При Т=75 °С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількістькрапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=0;             x1=100;

y0=1.44;        y1=1.842.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75      та отримаємо такий результат Ср¢=y¢=1,7415, де Ср=1,7415 кДж/(кг×К)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=0;         x1=100;       x2=200;

 y0=1.44;    y1=1.842;    y2=2.223.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75      та отримаємо такий результат Ср¢¢=y¢¢=1,7435, де Ср=1,7435 кДж/(кг×К).

Так ак похибка h<5%, то при Т=75°С  Ср=1,7415 кДж/(кг×К).

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75     та отримаємо такі результати СрVII=1,74, де Ср =1,74 кДж/(кг×К)

 

7)При Т=750 °С знайдемо m=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=700;        x1=600;

y0=2370;      y1=2120

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108×m¢=y¢=2495, де m=2,495×10-5Па×с

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=700;      x1=600;      x2=500;

 y0=2370;    y1=2120;    y2=1880

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750   та отримаємо такий результат 108×m¢¢=y¢¢=2498,75,  де m=2,498×10-5Па×с

Так як похибка h<5%, то при Т=750°С m=2,495×10-5 Па×с

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2) , також введемо заданий х=Т=750   та отримаємо такі результати 108×mVII=2188,0105, де                 μ=2,1880 ×10-5Па×с

 

8)При Т=750 °С знайдемо l=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

 x0=700;        x1=600;

 y0=1330;      y1=1081

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750    та отримаємо такий результат 104×l¢=y¢=1454,5, де l=14,545×10-2Вт/(м×К)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

x0=700;      x1=600;      x2=500;

y0=1330;    y1=1081;    y2=864.1.

Введемо їх у програму , також введемо заданий х=Т=750   та отримаємо такий результат 104×l¢¢=y¢¢=1466,5375, де l=14,6653×10-2Вт/(м×К)

 

Так як похибка h<5%, то при Т=750°С l=14,545×10-2Вт/(м×К)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750   та отримаємо такі результати 104×lVII=1432,7455, де l=14,3274×10-2Вт/(м×К)

 

9)При Т=750 °С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=700;        x1=600;

y0=3.956;     y1=3.608

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750    та отримаємо такий результат Ср¢=y¢=4,13, де Ср=4,13 кДж/(кг×К).

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

x0=700;      x1=600;      x2=500;

y0=3.956;   y1=3.608;    y2=3.273.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750    та отримаємо такий результат Ср¢¢=y¢¢=4,1349, де Ср=4,1349 кДж/(кг×К)

Так як похибка h<5%, то при Т=750°С  Ср=4,13 кДж/(кг×К)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750    та отримаємо такі результати СрVII=4,0264, де                              Ср= 4,0264 кДж/(кг×К)

 

 

Таблиця 2.12

 

Сводна таблиця значень отриманих по метадам Лагранжу та параболічної інтерполяції

 

Задана   Т	Фізичні властивості	Результати отримані методом параболічної інтерполяції (поліном першого ступеню)	Результати отримані методом Лагранжу (многочлен n=1, вводяться 2 крапки / многочлен n=2, вводяться 3 крапок)
475	m	2903,49	2903,5 / 2905
475	l	402,255	387 / 386.875
475	Ср	0,965	0,965 / 0,9651
315	m	2136,19	2136,2 / 2138,1951
315	l	273,1	273,1 / 273,31
315	Ср		0,9227 / 0,9223
675	m	3697,5	3697,5 / 3694,5
675	l	526,99	527 / 524,75
675	Ср	1,0249	1,025 / 1,0243

 

При заданій температурі ми знаходимо такі фізичні властивості як теплоємність, в¢язкість та, використовуючи такі методи обробки експериментальних даних, як метод параболічної інтерполяції і метод Лагранжу. Використовуючи перший метод відповідно виявили, що поліном першого ступеню підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку, розрахувавши коефіцієнти поліному знайшли при відповідному Т відповідне значення фізичної властивості. При використанні методу Лагранжа усі розрахунки робили на ВМС, на спеціальної прикладної програми LAGRANG.EXE. Починали з використання многочлена n=1, де використовується 2 точки найбільш близько розташовані коло заданої незалежної змінної. Вводимо до програми 2 точки, задану температуру, тобто незалежну змінну, та отримуємо результат відповідної фізичної властивості при заданій температурі. Аналогічно пророблюємо усе для  многочлена n=2, де кількість точок повинна бути 3. Отримані результати по 2 і 3 точкам при заданій незалежній змінній порівнюємо, розраховуємо похибку і якщо вона буде менше 5%, то многочлен n=1 нам підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку. Якщо ні, то порядок многочлена підвищуємо на 1, тобто вже потрібно використовувати 3 точки, і  аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5 %, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде. Уданому випадку многочлен n=1 добре підходить для всіх заданих незалежних змін (температур) для находження відповідних фізичних властивостей. Також до програми ми вводили 3 точок, тобто многочлен n=2, і ввели задану температуру, та отримали результати відповідних фізичних властивостей. Порівнявши отримані результати методом параболічної інтерполяції, де поліном 1 ступеню підходить для усіх заданих Т, і метод Лагранжу, де многочлен n=1 підходить для усіх заданих Т, також порівняли результати отримані методом Лагранжу, з використанням многочлена n=2, де кількість точок дорівнює 3 (дивись Табл. 2.12). Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=2 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції.

 

 

2.7. Зворотна інтерполяція

1)Нам  відомо залежна змінна Ср=0,980 , а незалежну змінну Т=х треба знайти. Цю задачу можемо розв¢язати методом зворотної інтерполяцї. Припустимо, що y - незалежна змінна, а х вважати функцією. Тоді можемо скористатися формулою Лагранжа, а саме прикладною програмою LAGRANG.EXE. Тоді X=Cp, Y=T. Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

 X0 =0,973            X1=0,988         

 Y0 =500                 Y1=550         

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Ср=0,980 та отримаємо такий результат T¢=Y¢=523,3334, де Т=523,3334К.

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

X0 =0,973            X1=0,988          X2=1,004

Y0 =500                 Y1=550          Y2=600

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Ср=0,980 та отримаємо такий результат T¢¢=Y¢¢=523,7098, де Т=523,7098К.

Так як похибка h<5%, то при Ср=0,980 кДж/(кг×К) Т=523,3334, тобто многочлен n=1 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі. Якщо порівнювати результати отримані при використанні многочлена n=1 і многочлена n=2, то грунтуючись на минулому досвіді (дивись виводи попереднього прикладу) можна сказати, що многочлен n=1 краще нам підходить для знаходження залежної змінної ніж многочлен n=2.

 

2)Аналогічно розраховуємо для 108×m=3500, а T=x=? Припустимо, що y - незалежна змінна, а х вважати функцією. Тоді можемо скористатися формулою Лагранжа, а саме прикладною програмою LAGRANG.EXE. Тоді 108×m=X;  T=Y. Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

 X0=3414   X1=3603   

 Y0=600     Y1=650     

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=108×m=3500 та отримаємо такий результат T¢=Y¢=622,75163, де Т=622,7513К.

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

X0=3414   X1=3603    X2=3217

Y0=600     Y1=650      Y2=550

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=108×m=3500  та отримаємо такий результат T¢¢=Y¢¢=622,5048, де Т=622,5048К.

Так ак похибка h<5%, то Т=622,7513К, тобто многочлен n=1 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі. Якщо порівнювати результати отримані при використанні многочлена n=1 і многочлена n=2, то грунтуючись на минулому досвіді (дивись виводи попереднього прикладу) можна сказати, що многочлен n=1 краще нам підходить для знаходження залежної змінної ніж многочлен n=2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновок

 

При виконанні першої частини курсової роботи з заданих експериментальних  даних, був проведений кореляційний аналіз і встановлена наявність лінійного зв¢язку між експериментальними даними(1). Коефіцієнт кореляції rxy=-0.97 є значимим і гіпотеза про наявність лінійного зв¢язку х  та у прийнята з рівнем довірчості 0,99. Досліджена наявність лінійного зв¢язку між випадковими фізичними величинами (експериментальні дані 2). Коефіцієнт кореляції r=0.8745 значущій, тому що Н=2,31, також провели додаткові розрахунки де враховували незалежну зміну та випадкові велечини, ці додаткові розрахунки підтверджують кореляційний звязок між двома випадковими фізичними властивостями в¢язкістю і теплоємністю, отже існує сильна лінійна залежність. Виконаний лінійно регресивний аналіз і визначені  коефіцієнти регресії з оцінкою значимості коефіцієнтів і довірчих інтервалів. Визначені адекватності отриманих моделей. Були отримані дві адекватні і дві неадекватні. Підібрали емпіричну формулу за допомогою методу вирівнювання (3437.ХТ03125.ГЧ001) видно, що застосування залежності (1) доводить можливість опису експериментальних даних. Визначено параметри емпіричної формули за допомогою методу обраних точок і оцінена точність формули дорівнює 0,0678. За допомогою методу середніх отримана оцінка точності формули, сума квадратів відхилень дорівнює 0,05611. Сума квадратів відхилень знайдених  за допомогою методу найменших квадратів дорівнює 0,05525. Порівнюючи результати, отримані при застосуванні трьох методів: обраних точок, середніх і найменших квадратів, найбільш точним, є метод  найменших квадратів, тому що квадрат відхилень мінімальний.

При виконанні другої частини курсової роботи з експериментальними даними (2), використовуючи метод параболічної інтерполяції, визначимо необхідний ступінь полінома, його коефіцієнти і значеня параметрів у зазначених невузлових точках. Ступінь поліному дорівнює одиниці. Анологічні розрахунки виконали за допомогою методу Лагранжа. Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=7 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції. За заданим значенням функції визначила відповідне значення аргументу, використовуючи метод зворотної інтерполяції.

 

 

 

 

 

Література

 

1. Вычислительная математика в химии и химической технологии / С.В.Брановицкая, Р.Б.Медведев, Ю.Я.Фиалков. – Киев: Вища школа. Головне изд-во, 1986. – 216 с.
2. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах / А.В.Крушевский, А.В.Беликов, В.Д.Тищенко – Киев: Вища школа. Головне изд-во, 1985. – 290 с.
3. Математическая обработка результатов эксперимента / Л.З.Румшинский – М.: Наука, 1971. – 192 с.
4. Романенко В.Н., Орлов А.Г., Никитина Г.В. Книга для начинающего исследователя-химика. – Л.: Химия, 1987. – 280 с.

 

 

Додатки

 

Опис  роботи прикладних програм.

 

1. Програма MNK.EXE (блок-схема представлена в 3437.ХТ03125.ГЧ005) являє собою програму, призначену для обчислення суми експериментальних X  та Y, а також коефіцієнтів рівняння регресії a і b. У ході програми потрібно ввести n-кількість експериментальних крапок, потім умовно уводяться відповідно значення X і Y. У результаті програма обчислює суми:  , , , , і коефіцієнти регресії a та b.
2. Програма GZ1.EXE служит для рішення системи лінійних рівнянь. У ході роботи програми потрібно задати кількість рівнянь у системі, значення перемінних n і вільний член цих рівнянь. Корень рівняння зберігаються у виді текстового файлу.
3. Програма LAGRANG.EXE (блок-схема представлена в 3436.ХТ03125.ГЧ006) призначена для обчислення величини В(Х) у невузлових точках. У ході програми потрібно попарно ввести n-кількість вузлових точок, потім попарно ввести значення X і Y у вузлових точок і X для якого необхідно обчислити величину Y. У результаті  ЕОМ видає значення величини Y=B(X) у невузловій точці.
4. Програма власної розробки (використовується блок-схема МНК див. 3437.ХТ03125.ГЧ005, лише в блоці відповідаючому за розрахунок коефіцієнтів регресії а і b додається ще одна формула для розрахунку коефіцієнта кореляції ) для розрахунку сум експериментальних Х і Y, їх квадратів, множень, коефіцієнтів рівняння регресії а і b, а також коефіцієнта кореляції. В ході програми необхідно ввести n-експериментальних кропок, пізніше вводят відповідні значення Х і Y . В результаті програми обчислюються  суми: , , , , , коефіцієнти а і b і коефіцієнт кореляції rxy для незалежної і залежної  зміної.