Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Милна

 

 

2. Применение формулы Тейлора.

Описываемый здесь способ вывода метода Эйлера тесно связан с предыдущим. Линеаризуя решение в окрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем

 

Отсюда при получаем

(3.4)

Точное равенство (3.4), переписанное в виде

 

говорит о том, что здесь мы имеем одновременно как саму формулу Эйлера для вычисления значения , так и ее остаточный член

(3.5)

где – некоторая точка интервала .

 

Остаточный член (3.5) характеризует локальную (или, иначе, шаговую) ошибку метода Эйлера, т. е. ошибку, совершаемую на одном шаге. Очевидно, что от шага к шагу, т. е. при многократном применении формулы (3.3), возможно наложение ошибок. За шагов, т. е. в точке , образуется глобальная ошибка.

Известный факт: порядок глобальной ошибки (относительно шага ) на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки, а порядком глобальной ошибки и определяется порядок соответствующего численного процесса решения задачи Коши.

 

Таким образом, локальная ошибка метода Эйлера, согласно (3.5), есть , глобальная - , т.е. метод Эйлера относится к методам первого порядка (т.е. имеет первый класс точности). Это означает, что если, например, уменьшить шаг в 10 раз (на порядок), точность результата повысится тоже в 10 раз (на один порядок) [2].

 

3. Разностный способ.

Рассматривая уравнение (2.1) в точке , с учетом  (2.2) имеем равенство

 

Применяя к его левой части аппроксимацию производной правым разностным отношением первого порядка точности

 

получаем

 

что идентично равенству (3.4), поставляющему формулу для вычисления вида (3.2) и локальный остаточный член (3.5). Ясно, что для получения общей расчетной формулы (3.3) можно было сразу применить аппроксимацию по формуле

 

в равенстве

(3.6)

заменив неизвестное точное значение известным приближенным значением .

 

Порядок получающегося таким способом метода численного интегрирования дифференциальной задачи (2.1)–(2.2) совпадает с порядком аппроксимации производной в левой части уравнения (2.1) [2].

 

 

 

 

4. Квадратурный способ

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (2.1) в границах от до :

 

Отсюда, с учетом того, что одной из первообразных для служит , получаем

 

или, с использованием начального условия (2.2),

 

Таким образом, данное дифференциальное уравнение (2.1) с начальным условием (2.2) преобразовалось в интегральное уравнение. При из него получится равенство

 

Применение к интегралу в правой части равенства (3.7) простейшей (одноточечной) формулы левых прямоугольников, имеющей в общем случае вид

 

дает приближенную формулу

 

правая часть которой, очевидно, совпадает с выражением (3.2) для подсчета значения . В общем случае расчетная формула (3.3) метода Эйлера получается численным интегрированием посредством простейшей формулы левых прямоугольников в равенстве

 

в предположении, что на каждом i-ом шаге в роли начальной точки выступает точка . Зная точность используемой в (3.8) квадратурной формулы, легко прийти к тому же выражению локальной ошибки метода Эйлера, что и при других способах его построения [2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Несколько простых модификаций метода Эйлера

Разовьем последний из подходов к построению метода Эйлера. Очевидно, применение к интегральному равенству (3.8) других простейших квадратурных формул будет порождать новые методы численного интегрирования задачи Коши (2.1)–(2.2).

 

1. Неявный (обратный) метод Эйлера

Если в (3.8) использовать простейшую квадратурную формулу правых прямоугольников

 

придем к методу

(4.1)

Этот метод называется неявным (или обратным) методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное. Данный метод, также как и явный метод Эйлера (3.3), является методом первого порядка.

 

2. Неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций)

Применение к интегралу в (3.8) простейшей квадратурной формулы трапеций, имеющей в общем случае вид

 

приводит тоже к неявному методу

(4.2)

который называется неявным методом Эйлера-Коши или методом трапеций. Квадратурная формула трапеций, как известно, на порядок точнее формул правых и левых прямоугольников. Отсюда вытекает более высокий (на единицу) порядок точности метода трапеций (4.2) по сравнению с явным и неявным методами Эйлера(3.3) и (4.1), т.е. метод трапеций (4.2) – это метод второго порядка.

 

3. Метод Эйлера-Коши (метод Хойна)

Некоторый интерес представляет совместное применение явного метода Эйлера и неявного метода Эйлера-Коши.

По форме равенство (4.2) представляет собой скалярную задачу о неподвижной точке относительно неизвестного значения . Поэтому, если в правую часть (4.2) подставить хорошее начальное приближение , подсчитываемое по формуле (3.3), то тогда само это равенство можно считать шагом метода простых итераций для уточнения этого значения. Таким образом, получаем гибридный метод

(4.3)

который называют (явным) методом Эйлера-Коши или методом Хойна (или Хьюна[5]). Данный метод имеет второй порядок точности.

 

4. Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой

Можно достичь большей точности, если, исходя из того же начального приближения

 

сделать не одну, а несколько итераций по методу трапеций:

(4.4)

Такой вариант совместного применения метода Эйлера и метода трапеций называют (усовершенствованным) метом Эйлера-Коши с итерационной обработкой (или, иначе, методом Эйлера с пересчетом). Делать много итераций по формуле (4.4) не рекомендуется (обычно их выполняют не более трех-четырех). Совпадение определенного числа разрядов в полученных числах и говорит о точности, с которой решено методом простых итераций уравнение  (4.2) относительно , а вовсе не о том, что с такой точностью найдено значение . Данный метод имеет второй порядок точности.

 

5. Уточненный метод Эйлера

Что бы получить следующую модификацию метода Эйлера проинтегрируем уравнение (2.1) по отрезку . Имеем

 

откуда следует равенство

 

Применяя к последнему интегралу одноточечную квадратурную формулу средних прямоугольников, имеющую в общем случае вид

 

 

и заменяя значения и известными приближенными значениями и соответственно, из (4.5) выводим метод для подсчета приближенного значения

(4.6)

который называется уточненным методом Эйлера [3].

 

Как известно, квадратурная формула прямоугольников (средней точки) имеет тот же порядок точности, что и квадратурная формула трапеций, так что уточненный метод Эйлера (4.6) также является методом второго порядка. Подтверждением этого факта может служить вывод метода (4.6) на разностной основе. Применив к равенству (3.6) формулу симметричной аппроксимации второго порядка точности, получим

 

откуда после приближенной замены

 

следует (4.6).

 

Другие названия этого метода: метод Нистрёма (Нюстрема) второго порядка, метод Милна второго порядка.

 

Обратим внимание на одно принципиальное отличие метода (4.6) от всех других рассмотренных до этого момента методов: метод (4.6) является двухшаговым. Здесь для вычисления значения привлекаются два предыдущих значения и . Двухшаговость накладывает определенные ограничения, по крайней мере, на начало численного процесса: значение не может быть найдено непосредственно этим методом с тем же шагом . Поэтому недостающую вторую начальную для процесса (4.6) точку приходится получать другим путем, например, явным методом Эйлера, а чтобы не сделать сразу большой ошибки, рекомендуется осуществлять постепенное вхождение в процесс (4.6). Так, «разгон» можно выполнить по формулам

(4.7)

а далее уже переключаться на счет по формуле (4.6)

 

Пример 1.

Дано уравнение с начальным условием . Найдем приближенное значение решения в точке методом Эйлера и несколькими его модификациями, принимая (т.е. за два шага).

Решение:

Для начала, найдем точное решение данного линейного уравнения. Для этого сделаем замену:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения данного интеграла используем метод интегрирования по частям, используя формулу

 

 

 

 

Принимая во внимание начальное условие , имеем:

 

 

Отсюда можем найти точное значение решения в точке (обозначим его )

 

Теперь проведем подсчет приближенных значений решения

 

Явный метод Эйлера (3.3)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс вычислений закончен.

(см. также  приложение А).

 

Неявный метод Эйлера (4.1)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс вычислений закончен.

 

Метод трапеций (4.2)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс вычислений закончен.

 

Метод Хойна (4.3)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс вычислений закончен.

 

 

Уточненный метод Эйлера (4.6)–(4.7)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

Осуществляем «разгон», вычисляя значения и по формулам (4.7):

 

 

Далее вычисляем по формуле (4.6):

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс вычислений закончен.

Занесем результаты вычислений в таблицу:

Напомним, что

Методы								Фактическая ошибка
М.Э.(3.3)		0	1
Неявный М.Э.(4.1)		0	1
М. трапеций (4.2)		0	1
М. Хойна (4.3)		0	1
Уточнен. М.Э.(4.6)-(4.7)		0	1

 

Последний столбец в этой таблице со всей очевидностью показывает бо́льшую точность методов второго порядка (метод трапеций, метод Хойна, уточненный метод Эйлера).

5. Исправленный метод Эйлера

Пусть найдено приближенное значение решения задачи (2.1)–(2.2) и требуется вычислить , где . Запишем разложение решения по формуле Тейлора p-го порядка, принимая за базовую точку (т.е. по степеням ) и положим в этом разложении . Имеем

    (5.1)

Если ограничиться двумя слагаемыми в правой части разложения (5.1), то, как уже было показано выше, получим обычный метод Эйлера (3.3). Посмотрим что будет, если учесть третье слагаемое.

 

При из (5.1) следует равенство

(5.2)

Значение первой производной в точке , в силу связи (2.1), приближенно известно: