Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Милна

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Мая 2014 в 20:48, курсовая работа

Краткое описание

Дифференциальные уравнения чаще всего применяются для описания динамических (т.е. изменяющихся во времени) математических моделей и реально протекающих процессов, что, несомненно, характеризует их решение как исключительно важный и актуальный аспект в науке и производстве. Целью данной курсовой работы является углубленное рассмотрение возможностей численного решения дифференциальных уравнений. В задачи работы входит изучение методов Эйлера и Милна и рассмотрение примеров решений данными методами обычного дифференциального уравнения первого порядка.

Содержание

Введение 5
1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка 7
1.1. Постановка задачи Коши. 7
1.2. Разрешимость задачи Коши. 8
2. Классификация приближенных методов решения ОДУ с начальными условиями 10
3. Метод Эйлера – разные подходы к построению 13
3.1. Геометрический способ. 13
3.2. Применение формулы Тейлора. 15
3.3. Разностный способ. 16
3.4. Квадратурный способ 17
4. Несколько простых модификаций метода Эйлера 19
4.1. Неявный (обратный) метод Эйлера 19
4.2. Неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) 19
4.3. Метод Эйлера-Коши (метод Хойна) 20
4.4. Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой 20
4.5. Уточненный метод Эйлера 21
Пример 1. 22
5. Исправленный метод Эйлера 28
6. Пошаговый контроль точности 30
Пример 2. 31
7. Методы прогноза и коррекции. Метод Милна 35
Пример 3. 40
8. Системы дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальные уравнения высших порядков 46
Заключение 48
Список используемой литературы 49
Приложение А 50

Вложенные файлы: 1 файл

Курсовая.docx

— 309.61 Кб (Скачать файл)

 

Проверка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

0

 

-

-

   

1

 

-

-

   

2

 

-

-

   

3

 

-

-

   

4

         

5

         

6

         

7

         

8

         

9

         

10

         

 

Напомним, что точное решение заданного уравнения:

 

Найдем точное значение :

 

 

Заданная точность достигнута.

(см. также  приложение А).

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Системы дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальные уравнения высших порядков

Пусть требуется найти решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных:

 

Введем следующие векторные обозначения:

 

С ними данная задача Коши принимает вид

(8.1)

по форме точно такой же, как и рассматриваемая до сих пор задача (2.1) – (2.2).

К векторному дифференциальному уравнению (8.1), в принципе, можно применить любой из численных методов, рассмотренных выше.

При этом скалярными величинами в формулах, определяющих методы, являются только независимая переменная и расчетный шаг ; всем остальным величинам соответствуют введенные выше векторы размерности . Следует лишь учесть, что при контроле точности вместо модуля нужно использовать норму вектора (например, норму-максимум).

 

Одним из основных способов численного решения начальных задач для дифференциальных уравнений высших порядков является сведение их к соответствующим задачам для систем уравнений первого порядка.

Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

   (8.2)

с начальными условиями

(8.3)

Введя новую переменную , от уравнения (8.2) переходим к эквивалентной ему системе

(8.4)

Начальные условия (8.3) для нее перепишутся в виде

(8.5)

К задаче Коши (8.4) – (8.5), в соответствии со сказанным выше, можно применить любой численный процесс из рассмотренных [2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В курсовой работе рассмотрены метод Эйлера и несколько его простых модификаций, а так же предиктор-корректирующий метод Милна четвертого порядка, для численного решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Раскрыты основные понятия данных методов, приведены теоретические обоснования каждого метода. Рассмотрены примеры решения задачи Коши обычного дифференциального уравнения первого порядка данными методами. В программе Microsoft Office Excel 2007 были реализованы явный метод Эйлера и метод Милна решения задачи Коши для данного дифференциального уравнения, построены графики искомой функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

    1. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров : Учеб. пособие / А.А. Амосов, Ю.А. Дибинский, Н.В. Копченова. – М. : Высш. шк., 1994. - 544 с.

 

    1. Вержбицкий В.М. Численные методы : Учеб. пособие / В.М. Вержбицкий. – М. : Высш. шк., 2001. – 382, [2] с.

 

    1. Гутер Р.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта : Учеб. пособие / Р.С. Гутер, Б.В. Овчинский. - 2-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. - 432 с.

 

    1. Демидович Б.П. Численные методы анализа : Учеб. пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова ; под ред. Б.П. Демидовича. - 3-е изд., перераб. – М. : Наука, 1967. - 368 с.

 

    1. Ортега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под ред. А.А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 288 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение А

 

 


Информация о работе Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Милна