Системы массового обслуживания

А=λ*Р_обс

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность  СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

Из этого выражения  можно определить среднее число  заявок, находящихся под обслуживанием, или, что же самое, среднее число  занятых обслуживанием каналов

Коэффициент занятости каналов  обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов  к их общему числу

Вероятность занятости каналов  обслуживанием, которая учитывает  среднее время занятости t_зан и простоя t_пр каналов, определяется следующим образом:

Из этого выражения  можно определить среднее время  простоя каналов 

Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла

Т_смо= n_з/λ.

 

1.2 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

 

Рассмотрим многоканальную СМО  , на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , а интенсивность обслуживания каждого канала составляет , максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

- все каналы свободны, ;

- занят только один канал (любой), ;

- заняты только два канала (любых), ;

- заняты все  каналов, .

Пока СМО находится  в любом из этих состояний, очереди  нет. После того как заняты все  каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя  дальнейшие состояние системы:

- заняты все  каналов и одна заявка стоит в очереди,

;

- заняты все  каналов и две заявки стоят в очереди,

;

- заняты все  каналов и все мест в очереди,

.

Граф состояний n-канальной СМО с очередью, ограниченной m местами на рис. 2.

Рис. 2. Граф состояний n-канальной СМО с ограничением на длину очереди m

Переход СМО в состояние  с большими номерами определяется потоком  поступающих заявок с интенсивностью , тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния , когда все n каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного .

Запишем выражения для  предельных вероятностей состояний:

 

.

Выражение для  можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем :

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее  требований, т.е. когда в системе будет находиться требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей Поэтому вероятность образования очереди равна:

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все  каналов и все мест в очереди заняты:

Относительная пропускная способность  будет равна:

Абсолютная пропускная способность  –

Среднее число занятых  каналов –

Среднее число простаивающих  каналов –

Коэффициент занятости (использования) каналов –

Коэффициент простоя каналов  –

Среднее число заявок, находящихся  в очередях –

В случае если , эта формула принимает другой вид –

Среднее время ожидания в  очереди определяется формулами  Литтла –

Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной  СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время  обслуживания, равное , поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

 

 

1.3 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает  поток заявок с интенсивностью и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала . Размеченный граф состояний представлен на рис 3.7 Он имеет бесконечное число состояний:

S - все каналы свободны, k=0;

S - занят один канал, остальные свободны, k=1;

S - заняты два канала, остальные свободны, k=2;

S - заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состояний получим  из формул для многоканальной СМО  с ограниченной очередью при переходе к пределу при m . Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для p расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Очереди нет

 

…

…

Рис.3. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью

Для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:

  …;

 

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности  равны:

 

среднее число заявок в  очереди – 

среднее время ожидания в  очереди – 

среднее число заявок в  СМО –

 

Вероятность того, что СМО  находится в состоянии  , когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением

  

Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя  канала обслуживания. Вероятность занятости  обслуживанием k заявок –

  

На этом основании можно  определить вероятность, или долю времени  занятости всех каналов обслуживанием

    

Если же все каналы уже  заняты обслуживанием, то вероятность  состояния определяется выражением

 

Вероятность оказаться в  очереди равна вероятности застать  все каналы уже занятыми обслуживанием

 

Среднее число заявок, находящихся  в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла: и в системе

 

 

среднее число занятых  каналов обслуживанием:

;

среднее число свободных  каналов:

;

коэффициент занятости каналов  обслуживанием:

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей  в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при  Если же в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

 

2. Анализ системы массового обслуживания супермаркета

Одной из важных задач коммерческой деятельности является рациональная организация  торгово-технологического процесса массового  обслуживания, например в универсаме. В частности, определение мощности кассового узла торгового предприятия  является непростой задачей. Такие  экономико-организационные показатели, как нагрузка товарооборота на 1м² торговой площади, пропускная способность предприятия, время пребывания покупателей в магазине, а также показатели уровня технологического решения торгового зала: соотношение площадей зон самообслуживания и расчетного узла, коэффициенты установочной и выставочной площадей, во многом определяются пропускной способностью кассового узла. В этом случае пропускную способность двух зон (фаз) обслуживания: зоны самообслуживания и зоны расчетного узла (рис.4.).

СМО

СМО

- интенсивность входного потока  покупателей;

- интенсивность прихода покупателей  зоны самообслуживания;

- интенсивность прихода покупателей  в расчетный узел;

- интенсивность потока обслуживания.

 

Рис.4. Модель двухфазной СМО  торгового зала универсама

Основная функция расчетного узла состоит в обеспечении высокой  пропускной способности покупателей  в торговом зале и создании комфортного  обслуживания покупателей. Факторы, влияющие на пропускную способность расчетного узла, можно разделить на две группы:

1) экономико-организационные  факторы: система материальной  ответственности в универсаме; средняя  стоимость и структура одной  покупки;

2) организационная структура  кассового узла;

3) технико-технологические  факторы: применяемые типы кассовых  аппаратов и кассовых кабин;  применяемая контролером-кассиром  технология обслуживания покупателей;  соответствие мощности кассового  узла интенсивности покупательских  потоков.

Из перечисленных групп  факторов наибольшее влияние оказывают  организационное построение кассового  узла и соответствие мощности кассового  узла интенсивности покупательских потоков.

Рассмотрим обе фазы системы  обслуживания:

1. выбор покупателями товаров в зоне самообслуживания;

2) обслуживание покупателей  в зоне расчетного узла. Входящий  поток покупателей попадает в  фазу самообслуживания, и покупатель  самостоятельно отбирает нужные  ему товарные единицы, формируя  их в единую покупку. Причем  время этой фазы зависит от  того, как взаиморазмещены товарные  зоны, какой фронт они имеют,  сколько времени тратит покупатель  на выбор конкретного товара, какова структура покупки и  т.д.

Выходящий поток покупателей  из зоны самообслуживания одновременно является входящим потоком в зону кассового узла, который последовательно включает ожидание покупателя в очереди и затем обслуживание его контролером-кассиром. Кассовый узел можно рассматривать как систему обслуживания с потерями или как систему обслуживания с ожиданием.

Однако ни первая, ни вторая рассмотренные системы не позволяют  реально описать процесс обслуживания в кассовом узле универсама по следующим  причинам:

в первом варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с потерями, требует  значительных как капитальных вложений, так и текущих затрат на содержание контролеров-кассиров;

во втором варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с ожиданиями, приводит к большим затратам времени покупателей  в ожидании обслуживания. При этом в часы пик зона расчетного узла «переполняется» и очередь покупателей  «перетекает» в зону самообслуживания, что нарушает нормальные условия  для выбора товара другими покупателями.

В связи с этим целесообразно  рассматривать вторую фазу обслуживания как систему с ограниченной очереди, промежуточную между системой с  ожиданием и системой с потерями. При этом предполагается, что одновременно в системе могут находиться не более L, причем L=n+m, где n-количество обслуживаемых клиентов в кассах, m-количество покупателей, стоящих в очереди, причем любая m+1- заявка покидает систему необслуженной.

Это условие позволяет, с  одной стороны, ограничить площадь  зоны расчетного узла с учетом максимально  допустимой длины очереди, а с  другой – ввести ограничение на время ожидания покупателями обслуживания в кассовом узле, т.е. учитывать издержки потребления покупателей.

Правомерность постановки задачи в таком виде подтверждается проведенными обследованиями потоков покупателей  в универсамах, результаты которых  приведены в табл. 4.1, анализ которых  выявил тесную связь между средней  длинной очереди в кассовом узле и количеством покупателей, не совершивших  покупок.