Қоғамдық денсаулық сақтау және информатика кафедрасы

Санау жүйесі екі топқа бөлінеді : позициялық және позицялық емес.

Позицялық емес санау жүйесінде  әрбір цифрдыц мағынасы оның орыналасуына байланысты емес.  Оның мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Бұл жүйедегі ХХХ санында, Х цифры кез келген позицияда 10 (он) білдіреді.

Позицялық емес санау жүйесінде  арифметикалық амалдарды орындау  қиынға соғады, сондықтан бүкіл әлемде позициялық санау жүйесіне көшкен.

Позициялық санау жүйесінде  цифрлар өз орнына (позициясына) байланысты. Позициялық санау жүйесінің негізі дегеніміз жүйеде қолданылатын цифр саны.

а) Ондық санау жүйесі. «Ондық» атауы бұл жүйе негізі 10 болатынын білдіреді. Бұл жүйеде жазу үшін он цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 таңбалары қолданылады..

Ондық жүйеде цифрлар мәні жазылуында позицияға немесе орналасқан орнына байланысты болғандықтан позициялық жүйе болады.

Цифр санына арналған позицияны разряд деп атайды.

Мысалы, 425 жазуыында сан 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұрады.. 5 цифры бірлік   разрядында , 2 цифры – ондық разрядында , 4 цифр  — жүздік разрядында..

Егер осы цифрларды басқа ретпен жазатын болсақ, мысалы,  524, онда бұл сан 5 жүздіктен, 2 ондықтан және 4 бірліктен тұрады.

5 саны  ең көп салмаққа ие және санның үлкен цифры  деп аталады, ал 4 цифры – ең аз салмақты және осы санның кіші цифры деп аталады.

Салмақ айырмашылықтары келесі жағдайда анық байқалады: егер осы санды қосынды түрінде жазатын болсақ, 524:

5 * 10² +2* 10¹ +4 * 10⁰

Бұл жазуда 10 – саны санау жүйесінің негізі. Негіз 10 цифр позициясына сәйкес дәрежеленеді   және осы цифрға көбейтіледі. Негіз дәрежесі бірліктер үшін - нолге, ондықтар үшін - бірге, жүздік үшін - екіге тең. Егер ондық сан бөлшек сан болса, онда оны да қосынды түрінде жазу оңай. Бөлшектің әрбір сан негізінің дәрежесі теріс және үлкен сан үшін – 1, келесі сан үшін  - 2 ге тең, т.с.с.

Мысалы, ондық сан 384,9506 қосынды түрінде :

384,9506 = 3 * 10² + 8 * 10¹ + 4 * 10⁰ + 9 * 10^-1 + 5 * 10^-2 + 0 * 10^-3 +6 * 10^-4;

856,25 = 8 * 10²  + 5 * 10¹ - 6 * 10⁰ + 2 * 10^-1 - 5 * 10^-2;

12937,1 = 1 * 10⁴  +  2 * 10³  + 9 * 10² + 3 * 10 + 7 * 10⁰ + 1 * 10^-1.

ә) Екілік санау жүйесі. Компьютерде ондық санау жүйесі емес, екілік санау жүйесі қолданылады, яғни негізі 2 болатын санау жүйесі. Екілік санау жүйесінде кез келген ақпарат  0 мен 1 сандары көмегімен жазылады және екілік жүйесі деп аталады.

 Екілік санау жүйесін ондық санау жүйесінен ажырату үшін екілік санды жазуда  индекс ретінде 2 саны көрсетіледі., мысалы 110101,111₂.

Екілік санның әрбір разрядын бит  деп атайды.

Ондық сан тәрізді кез келген екілік сандарын қосынды түрінде  көрсетуге болады.

Бұл қосындыда негіз ретінде  2 саны қолданылады, мысалы, 1010101,101 санының қосындысы былай жазылады:        

1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 1*2 ²  + 0 * 2¹ +1 *  2⁰  + 1 * 2^-1 + 0 * 2^-2  + 1 * 2^-3

Арифметикалық амалдарды орындау  нәтижесінде мәні  85,625 –ке тең ондық сан аламыз. Екілік сан 1010101,101 ондық сан 85,625–ке тең келеді, немесе 1010101,101₂ =85,625₁₀.

Ереже. Екілік жүйесінен ондық жүйесіне ауыстыру үшін екілік санды дәреже қосындысы ретінде жазып, жалпы қосындыны табу  керек.

Екілік жүйенің бір кемшілігі  сандарды жазуда 0 мен 1 цифрларын көп қолдануға тура келеді. Бұл адамның қабылдауына кедергі жасайды. Мысалы, ондық сан 156 екілік жүйеде былай жазылады: 10011100.

б) Сегіздік санау жүйесі. «Сегіздік» атауы бұл жүйенің негізі 8 болатынын білдіреді. Бұл жүйеде жазу үшін сегіз цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 таңбалары қолданылады..

Сегіздік жүйеде, ондық және екілік жүйелердегіндей, цифрлар мәні жазылуында позицияға немесе орналасқан орнына байланысты болғандықтан позициялық жүйе болады. Ондық сан 156 сегіздік жүйеде былай жазылады: 234 яғни 156₁₀ = 10011100₂ = 234₈.

Ондық сан тәрізді кез келген сегіздік сандарын қосынды түрінде  көрсетуге болады:

2*8² + 3*8¹ + 4*8⁰ = 156₁₀

в) Он алтылық санау жүйесі. «Он алты» атауы бұл жүйенің негізі 16 болатынын білдіреді. Бұл жүйеде сандарды жазу үшін он арап цифры - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және латын алфавитінің алғашқы алты әріпі – A, B, C, D, E, F қолданылады. Латын әріптерінің мәні ондық жүйедегі А = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 сандарына сәйкес келеді.

Он алтылық жүйеде ондық, сегіздік және екілік жүйелердегіндей, цифрлар мәні жазылуында позицияға немесе орналасқан орнына байланысты болғандықтан позициялық жүйе болып табылады. Ондық сан 156 он алтылық жүйеде былай жазылады: 9С яғни

156₁₀ = 10011100₂ = 234₈ = 9С₁₆.

Ондық сан тәрізді кез келген он алтылық сандарын қосынды түрінде  көрсетуге болады:

9*16¹ + С*8⁰ = 9*16¹ + 12*8⁰ = 156

	Алғашқы 32 санның әртүрлі санау  жүйелеріндегі эквиваленті
	Санау жүйесі					Санау жүйесі
	10-дық	2-лік	8-дік	16-лық		10-дық	2-лік	8-дік	16-лық
	0	0	0	0		16	10000	20	10
	1	1	1	1		17	10001	21	11
	2	10	2	2		18	10010	22	12
	3	11	3	3		19	10011	23	13
	4	100	4	4		20	10100	24	14
	5	101	5	5		21	10101	25	15
	6	110	6	6		22	10110	26	16
	7	111	7	7		23	10111	27	17
	8	1000	10	8		24	11000	30	18
	9	1001	11	9		25	11001	31	19
	10	1010	12	A		26	11010	32	1A
	11	1011	13	B		27	11011	33	1B
	12	1100	14	C		28	11100	34	1C
	13	1101	15	D		29	11101	35	1D
	14	1110	16	E		30	11110	36	1E
	15	1111	17	F		31	11111	37	1F
	16	10000	20	10		32	100000	40	20

 г) Бүтін ондық санды басқа санау жүйесіне ауыстыру үшін ауыстырылатын сандық жүйесінің негізіне бүтін бөлу әрекетін осы санға және бөлу нәтижелеріне (нөл болғанша) орындау керек. Бөлу нәтижесінде шығатын қалдықтарды соңғысынан бастапқысына қарай теріп жазса ондық санның қажетті сандық жүйедегі мәні шығады.

1-Мысал. 11 санын ондық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне  ацйналдыру. Бөлу процессінде қалған қалдықтарды керісінше бағытта жинақтаймыз (стрелкамен көрсетілген), екілік жүйеге ауыстыру қорытындысын аламыз. 11 ₁₀ = 1011 ₂

2-Мысал. Егер үлкен сандарды екілік санау жүйесіне айналдыру керек болса, онда ауыстыруды төменде көрсетілген кесте түрінде есептеу ыңғайлы

Сан	363	181	90	45	22	11	5	2	1	0
Бөлгіш	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Қалдық	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Бөлу процессінде қалған қалдықтарды олардың алыну бағытына кері бағытта жинақтаймыз (стрелкамен көрсетілген), екілік жүйеге ауыстыру қорытындысын аламыз 363₁₀ = 101101011₂.

Кестеде 181 363-ті 2-ге бүтін бөлу нәтижесі, 90 181-ді 2-ге бүтін бөлу нәтижесі, 45 90-ды 2-ге бүтін бөлу нәтижесі, т.т.с.с., 1 2-ні 2-ге бүтін бөлу нәтижесі, 0 1-ді 2-ге бүтін бөлу нәтижесі.

Сан	363	45	5	0
Бөлгіш	8	8	8
Қалдық	3	5	5

3-Мысал. Ондық санды сегіздік жүйеге айналдыру

Бөлу процессінде қалған қалдықтарды олардың алыну бағытына кері бағытта жинақтаймыз (стрелкамен көрсетілген), сегіздік жүйеге ауыстыру қорытындысы

363₁₀ = 553₈.

4-Мысал. Ондық санды екілік жүйеге айналдыру

Сан	363	22	1	0
Бөлгіш	16	16	16
Қалдық	11 (В)	6	1

Он алтылық жүйеде 11 деген сан жоқ оның орнына В жазылады.

Бөлу процессінде қалған қалдықтарды олардың алыну бағытына кері бағытта жинақтаймыз (стрелкамен көрсетілген), он алтылық жүйеге ауыстыру нәтижесі

363₁₀ = 16В₁₆.

ғ) Дұрыс бөлшек сандарды ондық жүйеден басқа санау жүйесіне ауыстыру.

 А _ц – дұрыс ондық бөлшек болсын, оны былай жазуға болады:

А _др = а_-1 * k ^-1 + а_-2 * k ^-2 +...      

Мұнда  а_-1, а_-2, ... – бүтін сан қосылғыштардың коэффициенті, k - санау жүйесінің негізі,   k-ның дәрежесі – қосылғыштардың коэффициенттерінің разряд көрсеткіштері.

Егер А_др-ды  k-ға  көбейтсек, оң жақ бөліктен мынаны аламыз а _-1 + а _-2 * k ^-1 + а_-3 * k ^-2 +...,

мұнда а_-1 – бүтін бөлік, А_др мәнін k дәреже бойынша жіктегенде бұл бізге дәреженің үлкен коэффициентін береді. Қалған бөлшек бөлігін тағы да k-ға көбейтсе де мына мән алынады:  а _-2 + а_-3 * k ^-1 +... , мұндағы а_-2 – бөлшек үтірінен кейінгі екінші коэффициент.   Оң жақтан 0 санын немесе нақты нәтиже алғанға дейін көбейту процесі осылай жалғаса береді.

Яғни қажетті санау жүйесінің  негізіне ондық санның бөлшек бөлігін  көбейту және әрі қарай шыққан нәтиженің бөлшек бөліктерін көбейту  керек. Қажетті дәлдікке жеткенше бұл процесті шексіз жалғастыра  беруге болады.  

Көбейту нәтижесінде алынған бүтін  шамалар олардың алыну ретімен қарастырылып отырған санау жүйесіндегі бөлшек сан ретінде жазылады.

5- Мысал. Ондық жүйедегі дұрыс бөлшек санды екілік санау жүйесіне ауыстыру. Ол үшін ондық жүйедегі санды 2-ге көбейтеміз. Шыққан нәтиженің бүтін бөлігін қалдырып, бөлшек бөлігін тағыда 2-ге көбейтеміз. Осылайша көбейту нәтижесінде санның бөлшек бөлігі 0-ге тең болғанша жалғастыра беруге болады. Көбейту нәтижесінде шыққан бүтін сандардың алыну бағытындағы тізбегі  санның санау жүйесіндегі бөлшек бөлігін береді.

Келтірілген мысалда 0,75*2 = 1,50. Бұдан 0,50*2 = 1,00. Нәтиженің бөлшек бөлігі нөлге айналды, сондықтан көбейтуді тоқтатамыз. Көбейту нәтижесінде екі рет 1-ге тең бүтін сан шықты, ендеше 0,75₁₀ = 0,11₂.  Тексеру: 0,11₂ = 1 * 2^-1 + 1 * 2^-2 = 0,5 + 0,25 = 0,75₁₀.

6-Мысал. Ондық жүйедегі дұрыс бөлшек санды екілік санау жүйесіне ауыстыру. 5-мысалда-ғындай  келтірілген ондық жүйедегі санды 2-ге көбейтеміз. Шыққан нәтиженің бүтін бөлігін қалдырып, бөлшек бөлігін тағыда 2-ге көбейтеміз. Осылайша көбейту нәтижесінде санның бөлшек бөлігі 0-ге тең болғанша жалғастыра беруге болады. Көбейту нәтижесінде шыққан бүтін сандардың алыну бағытындағы тізбегі  санның санау жүйесіндегі бөлшек бөлігін береді.

Келтірілген мысалда 0,7*2=1,4. Бұдан 0,4*2=0,8. Әрі қарай 0,8*2=1,6; 0,6*2=1,2;  0,2*2=0,4;  0,4*2=0,8;  0,8*2=1,6;  0,6*2=1,2. Осылай көбейту әрекетін шексіз жалғастыра беруге болады. Сондықтан есепті шығаруда белгілі бір дәлдікке дейін жүргізу керек.

Мысалы:

• 3 орынды дәлдікпен, яғни үтірден соң үш цифр жеткілікті. Бұл жағдайда келтірілген мысал үшін 0,7₁₀ = 0,101₂.  Тексеру 0,101₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3= 0,5+0,125=0,625.
• 4 орынды дәлдікпен, яғни үтірден соң төрт цифр жеткілікті. Бұл жағдайда келтірілген мысал үшін 0,7₁₀ = 0,1011₂. 

Тексеру 0,1011₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4= 0,5+0,125+0,0625=0,6875.

• 5 орынды дәлдікпен, яғни үтірден соң бес цифр жеткілікті. Бұл жағдайда келтірілген мысал үшін 0,7₁₀ = 0,10110₂. 

Тексеру 0,10110₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4+0*2^-5= 0,5+0,125+0,0625=0,6875.

• 6 орынды дәлдікпен, яғни үтірден соң төрт цифр жеткілікті. Бұл жағдайда келтірілген мысал үшін 0,7₁₀ = 0,101100₂. 

Тексеру 0,101100₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4+0*2^-5+0*2^-6= 0,5+0,125+0,0625=0,6875.

• 7 орынды дәлдікпен, яғни үтірден соң бес цифр жеткілікті. Бұл жағдайда келтірілген мысал үшін 0,7₁₀ = 0,1011001₂.

Тексеру 0,1011001₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4+0*2^-5+0*2^-6+1*2^-7= 0,5+0,125+0,0625+0,007813

=0,695313.

• 8 орынды дәлдікпен, яғни үтірден соң төрт цифр жеткілікті. Бұл жағдайда келтірілген мысал үшін 0,7₁₀ = 0,10110011₂. 

Тексеру 0,10110011₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4+0*2^-5+0*2^-6+1*2^-7+1*2^-8= 0,5 +0,125 +0,0625+ +0,007813 +0,003906=0,699219.

Келтірілген мысалдардан мына жағдай байқалады:

1) ондық бүтін сандарды басқа  санау жүйелеріне ауыстыру нәтижесі  сол ондық санды беретін сан  болады;

2) ондық бөлшек сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру нәтижесі сол ондық саннан кіші және оған жуық шамадағы санды беретін сан болады. Неғұрлым дәлдік орыны көп болса, соғұрлым нәтиже қарастырылатын санға жуық болады.