Законы сохранения и принципы симметрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Закон сохранения энергии  и принципы симметрии

 

Однородность времени означает инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле силы тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Из однородности времени следует закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Консервативные силы действуют только в потенциальных полях, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; например сила трения.

«Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать еще и так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется». [9; 47]

В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается из-за преобразования ее в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией, или рассеянием энергии. Строго говоря, все реальные системы в природе диссипативные.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной, могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах.

Закон сохранения и превращения энергии  –   фундаментальный закон природы; он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для микросистем.

«В системе, в которой действуют консервативные и диссипативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, для такой системы закон сохранения механической энергии не выполняется. Однако при убывании механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида». [9; 47] Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии - сущность неуничтожения материи и ее движения, поскольку энергия, по определению, - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В. Ломоносову (1711-1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная его формулировка дана немецкими учеными – врачом Ю. Майером (1814-1878) и естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821-1894).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Закон сохранения импульса  и принципы симметрии

 

Выявим все типы взаимодействий и установим соответствующие им законы, классифицируя явления по принципу изменений до и после взаимодействий для небольшой части Вселенной. Получение законов в какой-то части не означает еще, что они справедливы и в других частях или во Вселенной в целом, но, поняв простейшие явления, легче разобраться и в сложных. Очевидно, что чем меньше тел, тем легче описать их взаимодействие, поэтому начнем изучение с взаимодействия двух тел. Так, взаимодействие планеты и Солнца более существенно, чем влияние на их взаимодействие других планет, которые будут только вносить возмущения (они потом будут учтены). Под "телом" подразумевается поведение объекта как единого целого. Например, Солнце – огромный горячий шар со своими сложными внутренними процессами, но при рассмотрении движения вокруг него планеты (которая тоже весьма сложный объект) их можно рассматривать как точечные тела.

«Взаимодействие двух тел может быть разным по продолжительности: от медленного и непрерывного движения планеты вокруг Солнца до удара при падении с большой высоты, вызывающего деформацию или изменения в структуре и внутреннем строении тел. Чтобы сделать наше изучение "более чистым", нужно избавиться от воздушных (поставить соответствующие экраны) и тепловых (окружить теплоизолирующими материалами) потоков, от влияния электрических полей (поставить металлические экраны) и т.д.». [4; 47] Самое трудное, наверное, избавиться от поля тяготения. Для этого все эксперименты следует проводить на гладком столе, чтобы максимально устранить трение. Еще лучше использовать лабораторные тележки-бегунки на воздушной подушке. В этом случае мы получим идеальную ситуацию для достаточно "чистого" исследования взаимодействия двух объектов, в которой будет обеспечено движение только в одном измерении. При анализе столкновений необходимо иметь в виду, что все наблюдаемые явления послужат нам в дальнейшем для некоторых обобщений.

Сначала рассмотрим взаимодействие двух бегунков с одинаковыми массами. Чтобы исключить возможность деформации тел при столкновении, укрепим на каждом из них небольшую пружинку или магниты. Итак, пусть тело 1 находилось в покое, а тело 2 двигалось слева и ударило его через пружинку. Тело 1 стало двигаться вправо, а ударившее его тело 2 остановилось. Скорость тела 1 передалась телу 2, т.е. сохранилась полная скорость системы. Такой же результат был бы и в том случае, если бы тела поделили скорость между собой, но этого при упругих столкновениях никогда не происходит.

Если больше масса толкающего тела, то после столкновения оно не остановится, а продолжит свое движение, но с меньшей скоростью. Если больше масса толкаемого тела, то толкающее тело после удара просто отскочит от него. Тела с магнитами вместо пружинок будут взаимодействовать друг с другом на больших расстояниях. Все эти столкновения были упругими. Если же тела намазать чем-то липким, то при столкновении они склеятся и будут двигаться вместе, т.е. такое столкновение – неупругое. Отметим, что тела сохранили неизменными внутреннюю структуру, форму, цвет и массу, менялось лишь их состояние движения.

«При разных массах сталкивающихся тел скорость перераспределяется между телами, и меньшее тело (половинной массы) начало двигаться вправо со скоростью в два раза большей, чем двигалось ударяющее (вдвое тяжелее)». [4; 75] Это наблюдение дает ключ к нахождению сохраняющейся при таком столкновении величины. Сталкивающиеся тела полностью одинаковы, т.е. сделаны из одного и того же материала и имеют одну и ту же форму, но у них есть одно отличие, которое соответствует инертной массе М – так назовем характеристику тела, показывающую, как может изменяться скорость. Введение инертной массы позволяет ввести другую величину – импульс, которая выражается как произведение инертной массы на скорость:

Р = Mv.

Проверим, сохраняется ли импульс при упругом столкновении. При столкновении идентичных тел сохраняется вектор скорости. При столкновении тел, отличающихся инертной массой, сохраняется не скорость, а произведение инертной массы на скорость, т.е. импульс. Если нам известна величина M1, то для того, чтобы узнать неизвестную нам инертную массу М2, нужно дать телу с М2 оттолкнуться от тела с М1. Проведем такую процедуру с несколькими телами разных инертных масс.

Пусть тело 1 имеет инертную массу М1 = 1, тело 2 – М2= 2, тело 3 –        М3 = 3 и т. д. Из логики следует, что при столкновении тела 2 и 3 отлетят со скоростями, относящимися друг к другу как 3:2. Опыт подтверждает это, значит, инертные массы можно просто складывать друг с другом (в отличие от скоростей, которые должны складываться по правилам сложения векторов). Данное определение инертной массы М требует сохранения импульса, и оно лежит в основе операционного определения инертной массы неизвестного тела. Таким способом инертная масса М может быть определена в любых условиях, но ее не следует связывать с гравитационной массой т, пропорциональной весу тела: М связана с инерцией тела, с "нежеланием" его изменять свою скорость, a m – с воздействием других тел на данное. Поэтому и пропорциональность инертной и гравитационной масс, и их равенство в определенных условиях удивительны как неожиданные экспериментальные факты.

Определение импульса как сохраняющейся величины удовлетворяет всем рассмотренным простейшим ситуациям, т.е. претендует на закон при упругих столкновениях. В дальнейшем оказалось, что импульс сохраняется при самых разных взаимодействиях. Этому, в самом деле, универсальному и великому закону подчинено движение и планет, и субатомных частиц. Система, как говорилось выше, должна быть изолирована от внешних воздействий. Если тело массы М1 с первоначальной скоростью v0 налетело на покоящееся тело массы М2, то закон сохранения импульса дает следующее соотношение: M1v0 = M1v1 + M2v2 Но закон сохранения импульса недостаточен для нахождения скоростей тел после столкновения.

Возможны и другие комбинации инертной массы и скорости, так, может быть, они тоже сохраняются, например, Mv2? Анализировать сохранение этой величины в опыте с идентичными телами смысла нет, поскольку массы сокращаются как общий множитель. «Сочетание инертной массы не со скоростью, а с квадратом скорости, отлично от импульса, поскольку импульс всегда имеет направление, а это новое произведение всегда положительно». [4; 76] Кроме того, при неупругом столкновении идентичных тел, когда они склеились и стали вместе двигаться со скоростью вдвое меньшей, импульс системы сохранился, a Mv2 – нет. Во всех случаях взаимного отталкивания тел, когда в начальный момент скорость была равна нулю, Mv = Mv2=0, при отталкивании тел, т.е. при движении в разные стороны, импульс сохранялся нулевым, а величина Mv2 не может быть равной нулю, поскольку для каждого тела она положительна, и они не могут взаимно уничтожиться.

Рассмотрим замкнутую механическую систему материальных точек, т.е. систему, настолько удаленную от всех других тел, что взаимодействием между этими телами и системой можно пренебречь. Так как пространство однородно, т.е. свойства замкнутой системы не зависят от того, в какой точке пространства их рассматриваем, поэтому параллельный перенос всех точек системы на бесконечно малое расстояние не меняет свойств системы. «Параллельный перенос точек системы в пространстве как целого – это поступательное движение системы, мерой интенсивности которого служит вектор импульса системы». [10; 39]

Следовательно, из однородности пространства вытекает закон сохранения вектора импульса. Однородность пространства означает отсутствие избранных точек отсчета, т.е. любая точка пространства может быть взята за начало отсчета ИСО, и течение физического процесса в ней от этого не изменится. Именно свойство однородности пространства и определяет равноправие всех ИСО, выражением чего является принцип относительности Галилея.

Из свойства симметрии пространства - его однородности следует закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сила равна нулю. Закон сохранения импульса носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Закон сохранения  момента импульса и принципы  симметрии

 

Для вращающихся систем сохраняется величина, называемая моментом импульса (или угловым моментом). Закон сохранения момента импульса определяет динамику галактик, планет и элементарных ядерных частиц. Момент импульса тела по величине равен произведению импульса тела на расстояние до оси вращения: М = mvr .

Для сил, способных вызвать вращение тел, в физике используется понятие момента силы. Его величина определяется произведением расстояния от точки приложения силы до центра вращения на компоненту силы, перпендикулярную этому направлению. Если сила F приложена к точке А, расположенной на расстоянии г от оси вращения, вектор силы перпендикулярен линии АВ, и создается момент силы и . Когда же направление приложенной силы проходит через центр вращения, она не создает момента силы относительно точки В. Примером может служить дверь: приложенная к ручке сила приводит дверь во вращение относительно линии косяка или дверных петель, но вращения не будет в случае приложения силы вдоль линии петель. Если сила направлена под углом к оси, то вращение вызывает только перпендикулярная составляющая силы, или rF sin φ.

«При отсутствии действия внешних сил действует закон сохранения импульса для поступательного движения и момента импульса – для вращения». [4; 88]

Скорость тела, совершающего круговое движение, выражается через длину окружности, деленную на период Т: v = 2πr/T. Тогда момент импульса L можно выразить через период вращения:

L = mvr = m (2π/Т) г2.

Отсюда видно, что момент импульса при вращении зависит не только от массы и скорости тела, но и от положения точки, в которой находится масса тела. Повседневный опыт подтверждает наш вывод. Допустим, вам необходимо раскрутить до одинаковой скорости два колеса с равными массами и размерами, но отличающиеся распределением масс: у одного колеса почти вся масса сосредоточена вблизи оси вращения, у другого – на ободе. Вы убедитесь, что второе колесо (похожее на велосипедное) труднее раскрутить, но и труднее остановить, т.е. его инерция больше. Поэтому для вращения удобнее использовать не понятие инертной массы, а понятие, связанное с распределением массы, или момент инерции, обозначаемый I: I = ∫ г2 dm, где элемент массы dm расположен на расстоянии г от оси вращения. Тогда импульс вращающегося тела примет вид: L = .

«Перераспределение массы при вращении изолированной системы в силу закона сохранения момента импульса меняет (уменьшает или увеличивает) угловую скорость вращения. Так, опытная фигуристка за счет перегруппировки собственной массы достигает больших скоростей вращения». [4; 89] Вы можете убедиться в этом сами: сядьте на крутящийся стул, держа в вытянутых руках гантели, и начните вращение, затем резко прижмите руки к груди – ваша угловая скорость увеличится. В силу изолированности системы момент импульса должен сохраняться L = mωг2, и ясно, что уменьшение г — расстояния, на котором расположена часть массы системы, должно привести к увеличению угловой скорости ω. Поскольку в формулу для L угловая скорость входит в квадрате, то уменьшение радиуса, например в два раза, приводит к увеличению угловой скорости в 4 раза.