Задачи логики

5. НЕКОТОРЫЕ СХЕМЫ  ПРАВИЛЬНЫХ РАССУЖДЕНИЙ

В правильном рассуждении  заключение вытекает из посылок с  логической необходимостью, и общая  схема такого рассуждения представляет собой логический закон.

Логические законы лежат, таким образом, в основе логически  совершённого мышления. Рассуждать логически правильно — значит рассуждать в соответствии с законами логики.

Число схем правильного рассуждения (логических законов) бесконечно. Многие известны нам из практики рассуждения. Мы применяем их интуитивно, не отдавая  себе отчёта, что в каждом правильно  проведённом умозаключении мы используем тот или иной логический закон.

Вот некоторые, наиболее часто  используемые, схемы.

Если есть первое, то есть второе; есть первое; следовательно, есть второе.  Эта схема позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия. По этой схеме протекает, в частности, рассуждение: «Если лёд нагревают, он тает; лёд нагревают; значит, он тает».

Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным её движением от утверждения следствия  условного высказывания к утверждению  его основания: «Если есть первое, то есть второе; есть второе; значит, есть первое». Последняя схема не является логическим законом, от истинных посылок  она может привести к ложному  заключению. Скажем, идущее по этой схеме  рассуждение «Если человеку восемьдесят  лет, он стар; человек стар; следовательно, человеку восемьдесят лет» ведёт  к ошибочному заключению, что старику  ровно восемьдесят лет.

Если есть первое, то есть второе; но второго нет; значит, нет первого.  Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания высказывания. Например: «Если наступает день, то становится светло; но сейчас не светло; следовательно, день не наступил». Иногда эту схему смешивают с логически некорректным движением мысли от отрицания основания условного высказывания к отрицанию его следствия: «Если есть первое, есть и второе; но первого нет; значит, нет и второго».

Если есть первое, то есть второе; следовательно, если нет  второго, то нет и первого.  Эта схема позволяет, используя отрицание, менять местами высказывания. К примеру, из высказывания «Если есть гром, есть также молния» получается высказывание «Если нет молнии, то нет и грома».

Есть по меньшей  мере или первое или второе; но первого  нет; значит, есть второе.  Например: «Бывает день или ночь; сейчас ночи нет; следовательно, сейчас день».

Либо имеет  место первое, либо второе; есть первое; значит, нет второго.  Посредством этой схемы от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них присутствует, осуществляется переход к отрицанию другой альтернативы. Например: «Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге; он родился в Москве; значит, неверно, что он родился в Петербурге». В американском вестерне «Хороший, плохой и злой» Бандит говорит: «Запомни, Однорукий, что мир делится на две части: тех, кто держит револьвер, и тех, кто копает. Револьвер сейчас у меня, так что бери лопату». Это рассуждение также опирается на рассматриваемую схему.

Неверно, что есть и первое, и второе; следовательно, нет первого или нет второго; Есть первое или есть второе; значит, неверно, что нет первого и  нет второго.  Эти и близкие им схемы позволяют переходить от утверждений с союзом «и» к утверждениям с союзом «или», и наоборот. Используя данные схемы, от утверждения «Неверно, что сегодня ветер и дождь» можно перейти к утверждению «Неверно, что сегодня ветер или неверно, что сегодня дождь» и от утверждения «Амундсен или Скотт был первым на Южном полюсе» перейти к утверждению «Неверно, что ни Амундсен, ни Скотт не является первым человеком, побывавшим на Южном полюсе».

Таковы некоторые схемы  правильного рассуждения. В дальнейшем эти и другие схемы будут рассмотрены  более детально и представлены с  использованием специальной логической символики.

6. ТРАДИЦИОННАЯ  И СОВРЕМЕННАЯ ЛОГИКА

История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой  событиями истории развития логики отчётливо выделяются два основных этапа. Первый — от древнегреческой  логики до возникновения во второй половине прошлого века современной  логики. Второй — с этого времени  до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой , формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных ещё Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту (1724-1804) в своё время придти к выводу, что формальная логика является завершённой наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг.

Кант не заметил, что ещё  с XVII в. стали назревать предпосылки  для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное  выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Эта идея связана главным  образом с именем немецкого философа и математика Г.Лейбница (1646-1716). По Лейбницу, вычисление суммы или разности чисел  осуществляется на основе простых правил, принимающих во внимание только форму  чисел, а не их смысл. Результат вычисления однозначно предопределяется этими, не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить. Лейбниц  мечтал о времени, когда умозаключение  будет преобразовано в вычисление. Когда это случится, споры, обычные  между философами, станут так же невозможны, как невозможны они между  вычислителями. Вместо спора они  возьмут в руки перья и скажут: «Будем вычислять».

Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его  современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и  логик Г.Фреге (1848-1925) в своих работах  стал применять формальную логику для  исследования оснований математики. Фреге был убеждён, что «арифметика  есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге — провозвестник  всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Идея сведения всей чистой математики к логике была подхвачена английским логиком и философом  Б.Расселом (1872-1970). Но последующее развитие логики показало неосуществимость этой грандиозной по своему замыслу попытки. Она привела, однако, к сближению  математики и логики и к широкому проникновению плодотворных методов  первой во вторую.

В России в конце прошлого — начале нынешнего века, когда  научная революция в логике набрала  силу, ситуация была довольно сложной. И в теории, и в практике преподавания господствовала так называемая «академическая логика», избегавшая острых проблем  и постоянно подменявшая науку  логику невнятно изложенной методологией науки, истолкованной к тому же по заимствованным и устаревшим образцам. И тем не менее были люди, стоявшие на уровне достижений логики своего времени и внёсшие в её развитие важный вклад. Прежде всего это доктор астрономии Казанского университета, логик и математик П.С.Порецкий. Сдержанное общее отношение к математической логике, разделявшееся многими русскими математиками, во многом осложнило его творчество. Часть своих работ он вынужден был опубликовать за границей. Но его идеи оказали в конечном счёте существенное влияние на развитие алгебраически трактуемой логики как в нашей стране, так и за рубежом. Порецкий первым в России начал читать лекции по современной логике, о которой он говорил, что это «по предмету своему есть логика, а по методу математика». Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в наши дни.

Одним из первых (ещё в 1910 г.) сомнения в неограниченной приложимости логического закона противоречия, о  котором пойдёт речь далее, высказал логик Н.А.Васильев. «Предположите, — говорил он, — мир осуществлённого  противоречия, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим?» Васильев, подобно  Ломоносову, наряду с научными статьями, писал порой и стихи. В них  своеобразно преломлялись его логические идеи, в частности идея воображаемых (возможных) миров:

… Мне грезится безвестная планета,

Где все идёт иначе, чем  у нас.

В качестве логики воображаемого  мира он предложил свою теорию без  закона противоречия, долгое время  считавшегося центральным принципом  логики. Васильев полагал необходимым  ограничить и действие закона исключённого третьего, о котором также говорится  в дальнейшем. В этом смысле Васильев явился одним из идейных предшественников логики наших дней. Идеи Васильева  при его жизни подвергались жёсткой  критике, в результате он оставил  занятия логикой. Потребовалось  полвека, прежде чем его «воображаемая  логика» без законов противоречия и исключённого третьего была оценена  по достоинству. Идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключённого третьего и близких ему способов математического  доказательства, были развиты математиками А.Н.Колмогоровым, В.А.Гливенко, А.А.Марковым и др. В результате возникла так  называемая конструктивная логика , считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Известный русский физик  П.Эренфест первым высказал гипотезу о  возможности применения современной  ему логики в технике. В 1910 г. он писал:

«Символическая формулировка даёт возможность „вычислять“ следствия  из таких сложных систем посылок, в которых при словесном изложении  почти или совершенно невозможно разобраться. Дело в том, что в  физике и технике действительно  существуют такие сложные системы  посылок. Пример: пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить: 1) будет ли она правильно функционировать  при любой комбинации, могущей  встретиться в ходе деятельности станции; 2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький  коммутатор есть логическое „или-или“, воплощённое в эбоните и латуни; все вместе — система чисто  качественных (сети слабого тока, поэтому  не количественных) „посылок“, ничего не оставляющая желать в отношении  сложности и запутанности. Следует  ли при решении этих вопросов раз  и навсегда удовлетвориться рутинным способом преобразования на графике? Правда ли, что, несмотря на существование  уже разработанной алгебры логики, своего рода „алгебра распределительных  схем“ должна считаться утопией?» 

В дальнейшем гипотеза Эренфеста  получила воплощение в теории релейно-контактных систем.

В общем, оглядываясь на историю  распространения логики, можно сказать, что лучшие русские логики всегда стремились стоять на уровне современных  им мировых теорий и концепций, органически  чуждаясь всякого рода логического  сектантства и сепаратизма.

Современную логику нередко  называют математической , подчёркивая тем самым своеобразие новых её методов в сравнении с использовавшимися ранее в традиционной логике.

Одна из характерных черт этих методов — широкое использование  разнообразных символов вместо слов и выражений обычного языка. Символы  применял в ряде случаев ещё Аристотель, а затем и все последующие  логики. Однако теперь в использовании  символики был сделан качественно  новый шаг. В логике стали использоваться специально построенные языки, содержащие только специальные символы и  не включающие ни одного слова обычного разговорного языка.

Широкое использование символических  средств послужило основанием того, что, новую логику стали называть символической.  Названия «математическая логика» и «символическая логика», обычно употребляемые и сейчас, обозначают одно и то же — современную формальную логику. Она занимается тем же, чем всегда занималась логика — исследованием правильных способов рассуждения.

7. СОВРЕМЕННАЯ  ЛОГИКА И ДРУГИЕ НАУКИ

С момента своего возникновения  логика была самым тесным образом  связана с философией . В течение многих веков логика считалась, подобно психологии, одной из «философских наук». И только во второй половине xix в. формальная — к этому времени уже математическая — логика «отпочковалась», как принято выражаться, от философии. Примерно в это же время от философии отделилась и стала самостоятельной научной дисциплиной психология. Но если отделение психологии было связано прежде всего с проникновением в неё опыта и эксперимента и сближением её с другими эмпирическими науками, то в отделении логики решающую роль сыграло проникновение в неё математических методов и сближение с математикой.

Математическая логика возникла, в сущности, на стыке двух столь  разных наук, как философия, или точнее — философская логика, и математика. И тем не менее, взаимосвязь новой  логики с философией не только не оборвалась, но, напротив, парадоксальным образом  даже окрепла. Обращение к философии  является необходимым условием прояснения логикой своих оснований. С другой стороны, использование в философии  понятий, методов и аппарата современной  логики несомненно способствует более  ясному пониманию самих философских  понятий, принципов и проблем.

Тесная связь современной  логики с математикой  придаёт особую остроту вопросу о взаимных отношениях этих двух наук. Среди многих точек зрения, высказывавшихся по этому поводу, были и две крайних, ведущих в общем-то к тому же самому конечному результату — объединению математики и логики в единую научную дисциплину, сведению их в одну науку.

Согласно Г.Фреге, Б.Расселу  и их последователям, математика и  логика — это всего лишь две  ступени в развитии той же самой  науки. Математика может быть полностью  сведена к логике, и такое чисто  логическое обоснование математики позволит установить её истинную и  наиболее глубокую природу. Этот подход к обоснованию математики получил  название логицизма.

Сторонники логицизма  добились определённых успехов в  прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический словарь сводится к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые  принадлежат словарю чистой логики. Вся существующая математика была сведена  к сравнительно простой и унифицированной  системе исходных, принимаемых без  доказательства положений, или аксиом , и правил вывода из них следствий, или теорем .

Однако в целом логицизм оказался утопической концепцией. Математика не сводима к логике, поскольку  для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие существование  в реальности определённых объектов. Но такие аксиомы имеют уже  внелогическую природу.