Законы логики и их истолкование

Закон исключенного третьего.

Формулировка закона исключенного третьего такова: «Из двух противоположных  суждений одно истинно, другое ложно, а  третьего не дано». [1]

Символически:

Аv ~ A,

А или не – А. например: «Аристотель  умер в 322 г. до н.э. или он не умер в  этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» и т.п. само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится  в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

Как выразил эту мысль Аристотель: «…Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать».

Закон исключенного третьего с иронией  обыгрывается в художественной литературе:

«Жила одна старушка,                                             

 Вязала кружева,                                             

 И, если не скончалась  –                                              

 Она еще жива» 

Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, тем не менее, высказывались предложения отказаться от него или ограничить его действие применительно к определенным высказываниям.

Аристотель сомневался в приложимости закона к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено.

Немецкий философ Гегель весьма иронично отзывался как о  законе противоречия, так и о законе исключенного третьего. Последний он представлял так: дух является зеленым или не является зеленым и задавал каверзный, как ему казалось, вопрос: какое из этих двух выражений истинно?

Ни одно из этих утверждений  не является истинным, поскольку оба  они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик  Л. Брауэр. В начале ХХ века он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и, прежде всего – закона исключенного третьего. Он считал, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются и настаивал на том, что кроме утверждения и отрицания имеется еще и третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.

Предположим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все его элементы. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно. Закон исключенного третьего здесь справедлив.

Но когда множество  бесконечно, объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не является истинным.

«Изъять из математики принцип  исключенного третьего, - заявлял немецкий математик Д. Гильберт, - все равно, что запретить боксеру пользоваться кулаками».

Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике – так  называемой интуиционистской логики. В последней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них – доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.   

Закон достаточного основания.

Впервые был сформулирован Лейбницем: «Ничто не происходит без причины, и должна быть причина, почему существует это, а не другое»; «ничего не делается без достаточного основания, т.е. не происходит ничего такого, для чего нельзя было бы при полном познании вещей указать основания, достаточного для определения, почему это происходит так, а не иначе»; ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут быть нам известны».

Лейбниц пришел к выводу, что существующий мир находится  в предустановленной Богом гармонии, является логически непротиворечивым и наилучшим из возможных миров. При этом он подчеркивает, что сам  Бог есть нечто такое, пониманию  чего способствует принцип достаточного основания.

Метафизические следствия, вытекающие из принципа достаточного основания, еще не в полной мере изучены  и являются предметом логико-философских  дискуссий. В современной логике закон достаточного основания формулируется следующим образом: «Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной». Это значит, что любое положение, прежде чем стать научной истиной, должно быть подтверждено аргументами, достаточными для признания его твердо и неопровержимо доказанным.

2.    Второстепенные законы логики.           

 Закон двойного отрицания.

Закон двойного отрицания можно  сформулировать так: отрицание отрицания  дает утверждение, или: повторенное  дважды отрицание дает утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная  не является бесконечной, то она бесконечна».

Закон двойного отрицания был  известен еще в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само.

В символической форме закон  записывается так:

~ ~ A → A,

если неверно, что не – А, то верно  А.

Другой закон логики, говорящий  о возможности не снимать, а вводить  два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечет свое двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты».

Символически:

A → ~ ~ A,

если А, то неверно что не –  А.

Объединение этих законов дает так  называемый полный закон двойного отрицания:

~ ~ A ↔ A,

неверно, что не – А, если и только если верно А.            

 Законы контрапозиции.

Законы контрапозиции говорят  о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного  высказывания «если есть первое, то есть и второе» вытекает «если  нет второго, то нет и первого», и наоборот.

Символически:

(А → В) → (~ B → ~ A),

если дело обстоит так, что если А, то В, то если не – В, то не – А;

( ~ B → ~ A) → (A → B),

если дело обстоит так, что если не – В, то не – А, то если А, то В.

Например: «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции обычно относят также законы:

(A → ~ B) → (B → ~ A),

если дело обстоит так, что если А, то не – В, если В, то не  - А. Например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

( ~ A → B) → (~ B → A),

если верно, что если не – А, то В, то если не – В, то А. Например: «Если  не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Контрапозиция подобна рокировке  в шахматной игре. И подобно  тому, как редкая партия проходит без  рокировки, так и редко наше рассуждение  обходится без контрапозиции.            

 Модус поненс.

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» - термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или  гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания:

Если А, то В; А

_______________

В                

Здесь «если А, то В» и «А» - посылки, «В» - заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если А, то В. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки  «если А, то В», используя посылку  «А», мы как бы отделяем заключение «В». Например:

Если у человека грипп, он болен.                                  

 У человека грипп.                                

______________________________                                

 Человек болен. 

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые  оно было сформулировано учеником Аристотеля Теофрастом еще в III веке до н.э.

Соответствующий правилу отделения  логический закон формулируется  так:

(A → B) & A → B,

если верно, что если А, то В, и  А, то верно В. Например: «Если при  дожде трава растет быстрее и  идет дождь, то трава растет быстрее».

Рассуждение по правилу модус поненс идет от утверждения основания истинного  условного высказывания к утверждению  его следствия. Это логическое корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Если висмут – металл, то он проводит электрический ток.

Висмут – металл.

__________________________________________________

Висмут проводит электрический  ток.

Но внешнее сходное с ним  умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут проводит электрический  ток.

___________________________________________________

Висмут металл.

Это умозаключение логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению. Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер.

Человек - коллекционер.

___________________________________________________

Человек собирает марки.

Далеко не все коллекционеры  собирают именно марки; из того, что  человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует  истинности заключения.

Против смещения правила модус  поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.            

 Модус толленс.

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждений:

Если А, то В; неверно В.                                         

________________________                                         

 Неверно А. 

Другая запись:

Если А, то В. Не – В. Следовательно  не – А.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

_____________________________________

Гелий - не металл.             

 Модус понендо толленс.

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждений:

Либо А, либо В; А       Либо А, либо В; В

____________________________________

Неверно В                     Неверно А

Другая запись:

Либо А, либо В. А. Следовательно, не – В.

Либо А, либо В. В. Следовательно, не – А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.

Он родился в Москве.

__________________________________________________

Неверно, что Достоевский родился  в Петербурге.

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:

На Южном полюсе первым был Амундсен или был Скотт.

На Южном полюсе первым был Амундсен.

__________________________________________________

Неверно, что там был Скотт.

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

На этом полюсе первым был Амундсен.

_______________________________________________

Неверно, что там первым был Скотт.             

 Модус толлендо поненс.

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:

А или В; неверно А                                   А или В, неверно В

__________________               Или:      __________________