Законы логики и их истолкование

       В                                                                  А                 

Другая форма записи:

А или В. Не – А. Следовательно, В.

А или В. Не – В. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно  бесконечно.

Множество не является конечным.

______________________________________________

Множество бесконечно.

Иногда эту схему рассуждения  именуют дизъюнктивным силлогизмом.

С использованием логической символики  умозаключение формулируется так: 

A v B, ~ A                                                                                 A v B, ~ B

_________                                    Или:                                 ___________       

 B                                                                                                   А

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:

(A v B) & ~ A → B,

если А или В и ~ А, то В.            

 Законы де Моргана.

Широкое применение находят законы, названные именем американского  логика А. де Моргана и позволяющие  переходить от утверждений с союзом «и» и к утверждениям с союзом «или», и наоборот:

~ (A & B) → (~ Av ~ B),

если неверно, что есть и первое и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;

( ~ Av ~ B) → ~ (A & B),

если неверно, что есть первое, или  неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Объединение этих двух законов дает закон (↔ - эквивалентность, «если и только если»):

~ (A & B) ↔ (~ Av ~ B).

Словами обычного языка этот закон  можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:

~ (A v B) ↔ (~A & ~B),

неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что  есть второе. Например: «Неверно, что  ученик знает арифметику или знает  геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии».

На основе законов де Моргана  связку «и» можно определить, используя  отрицание, через «или», и наоборот:     

            - «А и В» означает «неверно, что не – А или не – В»,

- «А или В» означает «неверно, что не – А или не – В».

Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет  дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

 

 

            Закон приведения к абсурду.

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-либо положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия.

Если из высказывания А выводится  как высказывание В, так т его  отрицание, то верным является отрицание  А. например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».

Закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A → B) & (A → ~B) → ~A,

если (если А, то В) и (если А, то не –  В), то не – А.

«Приведение к нелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией, любимым приемом сатирика: ирония принимает определенную точку зрения, подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что, в конце концов, приводит к явному абсурду».

Частный закон приведения к абсурду  представляется формулой:

(A → ~А) → ~A,

если (если А, то не – А), то не –  А. например, из положения «Всякое  правило имеет исключения», которое  само является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.            

 Закон косвенного  доказательства.

«Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании  того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие». Например: «Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число».

Символически закон косвенного доказательства записывается так:

(~A → B) & (~A → ~B) → A,

если (если не – А, то В) и (если не – А, то не – В), то А.

Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:

(~A → (B & ~B)) → A,

если (если не – А, то В и не –  В), то А. Пример: «Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что  оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число».            

 Закон Клавия.

Закон Клавия характеризует связь  импликации и отрицания: «Если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным».

Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI веке, одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Геометрии» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.

Символически закон Клавия представляется формулой:

(~A → A) → A,  

если не – А имплицирует А, то верно А.

Например, необходимо доказать утверждение  «У трапеции четыре стороны». Отрицание  этого утверждения: «Неверно, что  у трапеции четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.

Закон Клавия – один из случаев  общей схемы косвенного доказательства: «из отрицания утверждения выводится  само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение».            

 Закон транзитивности.

Закон транзитивности в обычном  языке можно передать так: «Когда верно, что если первое, то второе, и  если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье». Например: «Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека». Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.

Символически данный закон представляется формулой:

((A → B) & (B → C)) → (A → C),

если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).            

 Законы  ассоциативности и коммутативности.

«Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др.».

Логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция), как операции сложения и умножения  чисел в математике, обладают ассоциативностью. Символически соответствующие законы представляются так:

(A v B) v C ↔ A v (B v C),

(A & B) & C ↔ A & (B & C).

В силу законов ассоциативности  в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или  их дизъюнкцию, можно опускать скобки.

Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные  «и», «или», «если и только если»  и др.

Символически законы коммуникативности  для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:

(A & B) ↔ (B & A),

А и В тогда и только тогда, когда В и А;  

 

(A v B) ↔ (B v A),

А или В, если и только если В  или А.

Например: «Волга – самая длинная  река в Европе и Волга впадает  в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает  в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег и завтра будет дождь».

Существуют важные различия между  употреблением слов «и» и «или»  в повседневном языке и языке  логики. Скажем, утверждение «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно высказыванию «Он попал в больницу и сломал ногу».            

 Закон Дунса Скотта.

Закон, носящий имя средневекового логика и философа, монаха Дунса  Скотта, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так: из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Это звучит парадоксально: из того, что дважды два равно пяти, вовсе не вытекает, как кажется, что Луна сделана из зеленого сыра. Не все современные описания логического следования принимают эту его характеристику.

«Известен анекдот об английском философе и логике Б. Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что  из того, что два плюс два равно  пяти, вытекает, что он, Рассел –  римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скотта.

Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел – два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рассел – одно и то же лицо».

Приведенные формулировки законов  логики и примеров к этим законам  являются довольно неуклюжими словесными конструкциями и звучат непривычно, даже если речь идет о самых простых  по своей структуре законах. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели.

Не случайно современная логика строит для выражения своих законов  и связанных с ними понятий  специальный язык. Этот формализованный  язык отличается от обычного языка  прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже в ущерб краткости и легкости общения.

Заключение.

Как уже отмечалось, логические законы отражают в сознании человека определенные отношения, существующие между объектами, или отражают такие обычные свойства предметов, как их относительная устойчивость, определенность, несовместимость в одном и том же предмете одновременного наличия и отсутствия одних и тех же признаков. Основные логические законы сложились исторически в результате многовековой практике познания.

К числу наиболее важных логических законов относятся, прежде всего, закон  тождества, закон непротиворечия, закон  исключенного третьего, закон достаточного основания и др. средствами естественного  языка эти четыре основополагающих логических закона и были подробно рассмотрены в данной работе.

Кроме этих четырех основных законов  существуют много второстепенных законов  логики, которые надо выполнять при  оперировании понятиями, или суждениями, или умозаключениями. Законы логики, как основные, так и второстепенные, в мышлении функционируют в качестве принципов правильного рассуждения в ходе доказательства истинных суждений и теорий и опровержения ложных суждений и ложных гипотез.

Цель работы, сформулированная во Введении, выполнена, т.к. в работе были подробно разобраны основные и второстепенные законы логики, приведены примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

1. Азимов К. А., Корчагина А. С. Шпаргалки по логике. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 32 с.

2. Гетманова А. Д. Логика. – М.: Новая школа, 1995. – 416 с.

3.  Ивин А. А. Логика: Учебник для гуманитарных факультетов. – М.: ФАИР – ПРЕСС, 2002. – 320 с.

4. Переверзев В. Н. Логистика: справочная книга по логике. – М.: Мысль, 1995. – 221 с.

5. Светлов В. А. Практическая логика. Учебное пособие. – СПб. ИД «МиМ», 1997. – 576 с.