Методика изучения элементов алгебры и математической логики

4.  Подбери пропущенные  числа: 

o → o → o → o → o

Задание направленно  на формирование умения находить значение переменной.

5. Наташа задумала число, умножила его на два, прибавила 5. Затем она разделила результат на 7, прибавила 49 и получила 52. Какое число задумала Наташа?

                  

Х · 2 +5 : 7 + 49
52

Этот способ помогает детям быстро и правильно решать любые уравнения, даже длинные, с большим  количеством арифметических действий. А так же присутствует элемент занимательности.

Таким образом, можно  сделать вывод о том, что в  учебнике Моро второго класса мало упражнений развивающих логическое мышление, внимательность. Практически отсутствуют задания с элементами занимательности. Упражнения однотипны. Поэтому просто необходимо дополнять данные в учебнике упражнения дополнительными заданиями развивающего характера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II.

Методика изучения элементов алгебры и математической логики.

§ 1. Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений.

 

 

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а так же уравнений  начинается еще с первого класса,  в период изучения нумерации в пределах 10.

Так знакомство с равенствами  и неравенствами начинается уже  с девятой страницы. Дети учатся сначала сравнивать числа, затем  выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью знаков «<»,  «>»,  «=» и читать полученные равенства и неравенства.

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью  установления взаимно однозначного соответствия. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел:

¡  ¡  ¡  ¡  ¡  ¡  ¡  7   ¡  ¡  ¡  3

7 > 5                                3 = 3

∆  ∆   ∆   ∆   ∆                5    o   o  o    3

в дальнейшем при сравнение  чисел учащиеся опираются на знание их места в натуральном ряду: девять меньше, чем десять, потому что при счете число девять называют перед числом  десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков  <, >, =, учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе.

Переход к сравнению  двух выражений осуществляется постепенно. Сначала дети знакомятся с самими выражениями.

При формировании понятия  числового выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обозначает действия, которое надо выполнить над числами; с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6 + 4 – это сумма чисел 6 и 4).

Понятия о выражениях формируется в тесной связи с понятиями об арифметических действия и способствует лучшему их усвоению. В первом классе формируется представление о простейших выражениях (сумма и разность). Знакомство осуществляется при помощи метода изложения.

На доске записан  пример на сложение: 5 + 2.

Назвать и подписать: это сумма.

Найти чему равна сумма: 7.

Записать и подписать  – это тоже сумма.

Каждое из чисел имеет  свое название (имя): 5 – первое слагаемое, 2 – второе слагаемое. Наш пример можно прочесть так: сумма чисел 2 и 5 равна 7; первое слагаемое 5, второе – 2, сумма – 7.

Так же знакомятся и с  разностью. И только после этого  дети сравнивают выражение с числом, а далее выражение с выражением.

На первом уроке можно  дать упражнение на сравнение с опорой на рисунки, например, в двух рядах рисуются по 6 квадратов (6 =  6), затем в первом ряду дорисовывают два квадрата или зачеркивают два квадрата. И дается запись:

  6 + 2 > 6     6 – 2 < 6

         8 > 6           4 < 6

Дети говорят: «Слева было 6 и справа 6. Справа так и  осталось 6, а слева прибавили (отняли) 2. Там стало больше (меньше)». Для проверки выполняются вычисления и сравниваются полученные числа.

Затем переходят к  сравнению двух выражений. Сравнить два выражения -  значит, сравнить их значения. Например, надо сравнить суммы 6 + 4 и 6 + 3. Рассуждение: первая сумма равна 10, вторая – 9, 10 больше, чем 9, значит сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3.

6 + 4 > 6 +3

        10> 9

Так же в первом классе осуществляется знакомство с записью  и чтением выражений со скобками и некоторыми случаями в которых нужно установить порядок действий. Например, 70 – 26 + 10, 42 + 18 –19 и т. д. Выполняют тождественные преобразования, опираясь на свойства арифметических действий  (прибавление числа к сумме и суммы к числу).

Например, продолжи запись: 76 – (20 + 4) = 26 – 20… Кроме этого, в первом классе проводится подготовительная работа к ознакомлению с уравнениями.

Неизвестно число появляется впервые уже в связи с решением примеров вида 1 + 1 = 2, которые решаются при изучении нумерации в пределах десяти. В этом примере два известных числа 1 и 1, а третье число, которое получится, надо найти. Число которое требуется найти, называют неизвестным.

Постепенно задания  усложняются. Так, детям предлагается, пользуясь рисунком, имеющимся в учебнике, составить пример, в котором надо прибавить 1: o + 1 = o.

В рассмотренных примерах неизвестным числом являлся результат  действия. В дальнейшем дети встречаются  и с такими случаями, когда неизвестным  оказывается один из компонентов  действия. Например, спишите пример, заполняя пропуск: 3 + o = 5.

Далее, изучение выражений  с переменными, равенств и неравенств, уравнений продолжается во втором классе. 

Здесь дети знакомятся с  терминами «равенство» и «неравенство». Учащимся предлагается проверить, верны ли записи (даны два столбика равенств и неравенств). Учитель поясняет, что, если между выражениями стоит знак равно, - это равенство, а если знак больше или меньше это неравенство. Равенства и неравенства  бывают верными и неверными. Учащиеся выбирают верные равенства и верные неравенства из предложенных. Затем решают большое количество заданий такого типа на закрепление.

Так же во втором классе дети знакомятся с темой «Порядок действий» в сложных выражениях. Формулируют правило: если в выражении без скобок есть только сложение и вычитание или умножение и деление, то они выполняются по порядку слева направо. Учитель обращает внимание детей на то, что при не соблюдении этих правил получатся не верное равенство.

Затем изучается порядок  действий  в выражении без скобок, в которых есть умножение и деление, сложение и вычитание: в выражениях без скобок умножение и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание.

После этого изучается  правило порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках одно действие. Знакомятся с такими тождественными преобразованиями как умножение и деление суммы на число.

Вводится новое понятие, выражение с переменной. В подготовительной работе нужно повторить название чисел в математических выражениях: «сумма чисел», «разность чисел», «произведение чисел», а так же зависимость между компонентами и результатом действий.

Хорошим упражнением  для подготовки к введению буквенной  символики являются задачи с пропущенными числами.

В начале вводятся выражения  с одно переменной. Для этого можно использовать пособие – прямоугольник с вырезанным «окошком» и продвижной лентой. На ленте записаны числа, например, 2, 6, 8, 15, а на картоне за «окошком» записано +8. Учитель передвигает ленту, а дети называют и записывают соответствующие выражения: 2 + 8, 6 + 8 и т. д. Учитель сообщает, что  в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы. Учитель объясняет: «Запишем вместо «окошка», например, букву с, тогда получим выражение с + 8, которое читают так: «сумма чисел с и 8». Найдем значение этой суммы , подставляя значения записанные на этой ленте ( учитель передвигает ленту, а дети записывают на доске и в тетрадях выражение: с + 8, с = 2, 2 + 8 = 10;      с = 6, 6 + 8 = 14 и т. д.»

Числа 2, 6 , 8, 15 -  это  обозначения буквы с, а числа 10, 14 … - это значение выражения с + 8 приданных значениях буквы.

Можно ли букве с придать другие значения? Назовите их. Дети называют несколько значений, записывают числовые выражения и находят их значения. Учитель замечает, что букве с можно придать очень много различных значений.

Для ознакомления с выражениями  с двумя переменными можно  использовать специальное пособие -  прямоугольник с двумя «окошечками» и провести работу, аналогичную той, что   при введении выражения  с одной. Начать можно и с рассмотрения простой задачи, например, такой:

«На одной полке 3 книги, а на другой – 5 книг. Сколько всего  книг на этих полках?»

  Дети знают, что  такие задачи решаются сложением.

На доске запись:

На 1 полке                На 2 полке                          Всего

       3 кн.                           5 кн.                 (3 + 5) кн.

      6 кн.                           4 кн.                            (6+4) кн.

       а   кн.                     в кн.           (а + в) кн.

Затем в задаче меняются числовые данные: «На одной полке 6 книг, а на другой - 4». Вопрос тот же, запись данных и решение проводится по той же таблице.

С целью закрепления  знаний приобретенных при первом знакомстве с буквенными выражениями, выполняются упражнения, связанные  с вычислением значений данного выражения при заданных значениях букв. Полезны и упражнения на заполнение таблиц, где компоненты действий обозначен буквами.

И еще один элемент  алгебры, который дети изучают во втором классе – это уравнения.

При введении уравнений они  решаются подбором используя знания состава чисел, табличных случаев сложения, вычитания умножения и деления. После решения нескольких примеров подбором учитель дает уравнение х + 28 = 40, предлагает прочесть: первое слагаемое неизвестно, второе – 28, сумма  - 40, надо найти первое слагаемое. Дети говорят правило нахождения неизвестного слагаемого: чтобы найти первое слагаемое, надо из суммы 40 вычесть известное слагаемое – 28.

Вычисляем: 40 –28 = 12, т. е. х = 12.

Проверяем: 12 + 28 = 40, значит уравнение решено правильно. Запись на доске и в тетрадях:

х + 28 = 40   Проверка:

х = 40 - 28       12 + 28 = 40

х = 12   40 = 40.

Затем аналогично изучаются уравнения  видов:

Х – 5 = 27 – нахождение неизвестного уменьшаемого;

32 – х = 8 – нахождение  неизвестного вычитаемого;

14 · х = 28 – нахождение  неизвестного множителя;

х : 6 = 12 – нахождение неизвестного делимого;

48 : х = 4 – нахождение  неизвестного делителя.

Овладение понятием «уравнение»  способствует и решение задач  способом составления уравнения. Необходимым требованием для этого является умение составлять выражения по их условиям.

В третьем классе решаются задачи с помощью составления  уравнения, в которых надо найти  неизвестный компонент действия.

Для решения задачи с  помощью уравнения обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное, записывают его. Полученное уравнение решают, используя знания, связи между компонентами и результатом действия. Затем дается ответ на вопрос задачи.

Так же с помощью уравнений  решаются задачи на нахождение одной  из сторон прямоугольника по известным  площади и длине смежной стороны.

Задачи на составление  уравнений решаются систематически – это хорошее упражнение на отработку  понятия уравнения.

Кроме решения уравнений учащиеся в третьем классе продолжают работу над выражениями с переменной, а так же с изучением порядка действий.

Таким образом  учащиеся проверяют знания свойств  арифметических действий в таких  упражнениях: при каких значениях  букв верны следующие равенства:      36 · в = в; а · а = а; с + с = с; 10 · с = 10; 49 · а = 0; в · 0 = 0; 12 · а = а · 12; в + в = в.

В данном уравнении  буквенная символика способствует повышению уровня обобщения знаний и готовит их к изучению алгебры.

И новым в вопросе о порядке действий в выражениях является изучение правила порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках несколько действий.

Таким образом можно  сделать вывод о том, что изучение числовых выражений с переменной, числовых равенств и неравенств, уравнений продолжается на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Различные трактовки введения понятий.

 

 

Задания творческого  характера на уроках математики.

 

Учебные задания, выполняемые на уроках математики, часто определяют однообразие мыслительной деятельности учащихся, реализуя лишь обучающие цели – закрепление знаний, формирование умений и навыков. Это отрицательно сказывается на развитие учащихся и на дальнейшем усвоении учебного материала. В частности, имеются ввиду учебные задания на нахождение значений числовых выражений, то есть решение примеров из учебников.