Управление логистическими рисками

     Содержание 
 

 

Задача 9

 

     Требуется принять решения по поставкам одного из трёх видов товаров при заданной начальной цене P₀ = 1000 д.е. по всем товарам и изменениях остальных показателей в зависимости от трёх состояний окружающей финансово-экономической среды.

     При заданных значениях А = 20%, В = 50%, С = 30%, S₁ = S₀ задана матрица последствий для показателя М₁  в зависимости от состояния среды

     

     Требуется построить матрицу последствий для цены товаров и принять решение по каждому критерию. В случае критерия Гурвица найти значения коэффициент оптимизма, при которых каждое из решений является наиболее предпочтительным.

     Решение:

     Вычислим элементы матрицы Q:

     q₁₁ = 1000/100 (20+50 * + 30 * ) = 1100 д.е.

     q₁₂ = 1000/100 (20+50 * + 30 * ) = 1000 д.е.

     Аналогично  вычисляются остальные элементы матрицы Q, которая принимает вид:

                                                          (2)

     В данном случае ЛПР имеет три решения  и возможны три состояния среды. В условиях полной неопределённости под мерой риска можно понимать упущенную выгоду от принятия неверного  решения. Предположим, в будущем реализуется первое состояние среды. Тогда при принятии первого решения эффект составит 1100 д.е., при принятие второго решения – 1030 д.е., при принятие третьего решения – 1050 д.е. Следовательно, первое решение является наилучшим (упущенная выгода равна 0). При принятии второго решения упущенная выгода составляет 70 д.е., при принятии третьего решения – 50 д.е. Полученные числа составят первый столбец так называемой матрицы рисков R. Аналогичным образом строятся второй и третий столбцы. В общем случае элементы r_ij матрицы R имеют вид r_ij = maxq_ij – q_ij (1≤i≤n).

     Матрица R имеет вид

                                                                  (3)

     На основании построенной матрицы Q с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа можно принять аргументированное решение.

     Рассмотрим  критерии принятия решений:

     1) Критерий Вальда.

     При формулировке этого критерия (как  и других) существенную роль играет модель психологии поведения ЛПР. ЛПР  считает, что какое бы он решение  не принял, состояние рынка будет таким, что полученный эффект будет минимален.

     Алгоритм  принятия решения формулируется  следующим образом. Обозначим

        q_j = min q_ij,

               1≤i≤m

     тогда если q_i0 = maxq_i, то следует принять i_о решение.

                                             1≤i≤n

     Таким образом, если ЛПР принимает первое решение, то среда будет в третьем состоянии, т.е. 950 д.е. Если будет принято второе решение, то рынок окажется в третьем состоянии и ЛПР получит эффект 1000 д.е. В случае принятия третьего решения рынок окажется во втором состоянии и ЛПР получит результат 980 д.е. Критерий Вальда рекомендует второе решение. В этом случае результат будет максимальным среди трех минимальных.

     2) Критерий Сэвиджа.

     Этот  критерий применяется к матрице  рисков R. ЛПР считает, что при любом решении состояние среды будет таким, что риск будет максимальным. Тогда критерий рекомендует взять то решение, у которого риск будет минимальным среди совокупности максимальных. Если задана матрица рисков, то процедура принятия решения состоит в следующем. Находится

           min r_i = r_i0

                1≤i≤n

     где r_i = maxr_ij

                        1≤i≤m

     Принимается i_о решение.

     Из  матрицы рисков (3) r₁ = max(0,20,70) = 70; r₂ = max(70,0,20) = 70; r₃ = max(50,40,0) = 50. Находим min (70,70,50) = 50 = r₃. Принимается третье решение.

     3) Критерий Гурвица.

     Этот  критерий взвешивает оптимистический  и пессимистический подходы к  ситуации. По каждому решению находится  средневзвешенное значение между наилучшими и наихудшими последствиями по формуле

     w_i = λ maxq_ij + (1-λ) min q_ij,

                   1≤i≤m                      1≤i≤m

     где 0≤λ≤1. Затем принимается решение i_о для которого

     w_i0 = max w_i

                      1≤i≤n                

     Вес λ называют коэффициентом оптимизма. Его значение выбирает сам ЛПР исходя из своего отношения к удаче или неудаче. Используя матрицу (2) найдём

     w₁ = λ max(1100, 1000, 950) + (1-λ) min (1100, 1000, 950) = 1100λ + (1-λ)*950 = 1100λ + 950 – 950λ = 150λ + 950,

     w₂ = λ max(1030, 1020, 1000) + (1-λ) min (1030, 1020, 1000) = 1030λ + (1-λ)*1000 = 1030λ + 1000 – 1000λ = 30λ + 1000,

     w₃ = λ max(1050, 980, 1020) + (1-λ) min (1050, 980, 1020) = 1050λ + (1-λ)*980 = 1050λ + 980 – 980λ = 70λ + 980.

     Примем  λ = 0,5, тогда w₁ = 150*0,5 + 950 = 1025; w₂ = 30*0,5 + 1000 = 1015; w₃ = 70*0,5 + 980 = 1015, max (1025, 1015, 1015) = 1025 = w₁. Следовательно, критерии рекомендует принять первое решение.

     Определим коэффициент оптимизма λ, при котором третье решение является более предпочтительным, чем первое и второе решения. В этом случае должны выполняться неравенства

w₃ = 70λ + 980 > w₁ = 150λ + 950,

w₃ = 70λ + 980 > w₂ = 30λ + 1000,

Решим эту систему.

70λ + 980 > 150λ + 950,

70λ + 980 > 30λ + 1000.

 80λ < 30,

 40λ > 20.

  λ < 3/8,

  λ  > 1/2

     

     Решая эту систему, получим, что она  не имеет решения, т.е. при любом значении коэффициента оптимизма λ третье решение не может быть предпочтительнее первого и второго.

     Определим коэффициент оптимизма λ, при котором второе решение является более предпочтительным, чем первое и третье решения. В этом случае должны выполняться неравенства

w₂ = 30λ + 1000  > w₁ = 150λ + 950,

w₂ = 30λ + 1000 > w₃ = 70λ + 980.

Решим эту систему.

30λ + 1000  > 150λ + 950,

30λ + 1000  > 70λ + 980.

 120λ < 50,

 40λ < 20.

  λ < 5/12,

  λ  < 1/2.

     

     Решение системы имеет вид 0≤λ<5/12, следовательно, при этих значениях коэффициента оптимизма второе решение предпочтительнее первого и третьего, следовательно, что при 0≤λ,<5/12 следует выбирать второе решение.

     Определим коэффициент оптимизма λ, при котором первое решение является более предпочтительным, чем второе и третье решения. В этом случае должны выполняться неравенства

w₁ = 150λ + 950> w₂ = 30λ + 1000,

w₁ = 150λ + 950 > w₃ = 70λ + 980,

Решим эту систему.

150λ + 950 > 30λ + 1000,

150λ  + 950 > 70λ + 980.

 120λ > 50,

 80λ > 30

  λ > 5/12,

  λ  > 3/8

     

     Решение системы имеет вид 5/12<λ≤1, следовательно, при этих значениях коэффициента оптимизма первое решение предпочтительнее второго и третьего, следовательно, что при 5/12<λ≤1 следует выбирать первое решение.

     При λ = 5/12 первое и второе решения равноценны.

     4) Критерий Лапласа равновозможности.

     Здесь предполагается, что все состояния  среды равновозможные и по каждому  решению нужно найти среднее  арифметическое по всем последствиям

     δ_i = 1/m(q_i1 + … + q_im)

     Следует выбирать решение i_о, для которого

     mах δ_i = δ_i0;

                      1≤i≤n                

     В критерии Лапласа по сравнению с  критерием Гурвица учитываются  все последствия каждого решения.

     Выбираем  решение согласно критерию Лапласа, для этого найдём δ₁ = (1100+1000+950)/3 = 1017; δ₂ = (1030+1020+1000)/3 = 1017; δ₃ = (1050+980+1020)/3 = 1017. Отсюда следует, что согласно критерию Лапласа все три решения являются равноценными.

Задача 19

 

     В условиях частичной неопределённости требуется принять решение о выборе товара с эффективной ценой по критериях максимальной ожидаемой цены и минимального риска. Построить множество оптимальности по Парето и выбрать единственное оптимальное решение по критерию  минимума единичного риска. Частичная неопределённость задается  с помощью строки P = (0,1;0,4;0,5)  вероятностей появления каждого из трёх состояний окружающей среды. Матрица последствий:

     

     Решение:

     Для каждого решения Q_i можно найти ожидаемую величину q_i отклика окружающей среды и измерить риск этого решения (в данной контрольной работе под откликом понимается доходность или цена). Ожидаемый отклик q_i находится по формуле

     q_i =

     риск  r_i вычисляется по формуле

     r_i =

     Существуют  два критерия принятия решения.

     1) Критерий максимального ожидаемого дохода.

     Следует принять такое решение i_о, для которого выполняется равенство

     q_i0 = maxq_i,

                  1≤i≤n                

     Под доходом понимается любой финансовый результат.

     2) Критерий минимального риска.

     Следует принять такое решение i_о, для которого выполняется равенство

     r_i0 = min r_i,

                  1≤i≤n                

     Рассмотрим  эти критерии для матрицы последствий со строкой вероятностей наступления состояний окружающей среды:

     

     Найдём ожидаемые доходы от решений Q_i:

     q₁ = 1100*0,1 + 1000*0,4 + 950*0,5 = 985;

     q₂ = 1030*0,1 + 1020*0,4 + 1000*0,5 = 1011;

     q₃ = 1050*0,1 + 980*0,4 + 1020*0,5 = 1007.

     Согласно  критерию максимального ожидаемого дохода следует выбрать второе решение, так как mах(985, 1011, 1007) = 1011 = q₂.

     Найдём  риски решений Q_i:

     r₁ = = 45,00

     r₂ = = 11,36

     r₃ = = 23,69

     Согласно  критерию минимального риска следует  выбрать второе решение, так как min (45,00, 11,36, 23,69) = 11,36 = r₂.

     Следовательно, согласно двум критериям следует выбрать второе решение. Иногда приходится принимать решение, пользуясь обоими критериями в совокупности. Для этого необходимо свёртывать два этих критерия в один. Существует несколько способов свёртки. Для использования необходимо вначале выделить решения, которые ни при каких обстоятельствах не могут быть оптимальными. Такое выделение возможно, если вывести отношение доминирования.

     Каждое  решение Q (финансово-экономическая операция) в условиях частичной неопределенности определяется двумя числами q, r. Пусть даны две операции Q₁ (q₁, r₁) и Q₂ (q₂, r₂). Операция Q₁ называется доминирующей по отношению к операции Q₂, а операция Q₂ соответственно называется доминируемой по отношению к операции Q₁ если выполняются два неравенства

     

причём  хотя бы одно неравенство является строгим. Доминируемые операции не могут  быть оптимальными. Отношения доминирования  обозначаются символом Q₁ > Q₂.

     Если  из множества всех решений удалить  все доминируемые, то оставшаяся часть  решений образует множество оптимальности  по Парето.