Бесконечные проезведения

                                                                СОДЕРЖНИЕ

 

1 ВВЕДЕНИЕ 
 
2 ГЛАВА I БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

 
§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений

 
§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений

 
§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями

 
§1.4 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения

 
§1.5 Дзета – функция Римана и простые числа

 
3 ГЛАВА II БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ.

 
§2.1 Бесконечные произведения вещественных или комплексных функций

 
§2.2 Применение к функции Римана.

 
§2.3 Разложение функции  в бесконечное произведение

 
4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 
5 ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУра

                                                                                ВВЕДЕНИЕ 
 
    Актуальность исследования: 
 
Представленная работа посвящена теме «Бесконечные произведения».  
Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов. 
Тема «Бесконечные произведения» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Бесконечные произведения». Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы «Бесконечные произведения». Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы определяют несомненную новизну данного исследования. Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Бесконечные произведения» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования. 
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Бесконечные произведения» в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость. Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Бесконечных произведений». 
Теоретическое значение изучения данной проблемы заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин. 
Объект исследования: числовые ряды. 
 
Предмет исследования: бесконечные произведения. 
 
Цель курсовой работы: изучение темы «Бесконечные произведения» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

 

 
 
Основные задачи исследования: 
 
1.     Выполнить анализ литературы по теме. 
 
2.     Осветить историю развития проблемы «Бесконечные произведения». 
 
3.     Определить и пояснить на примерах понятия, используемые в работе. 
 
4.     Выделить основные свойства бесконечных произведений. 
 
5.     Определить связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов. 
 
6.     Рассмотреть бесконечные произведения вещественных или комплексных функций. 
 
7.     Подобрать и решить задачи по данной теме. 
 
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ литературы, синтез, обобщение, решение задач по теме. 
 
Практическая значимость проведенного исследования состоит в том, что в ходе работы была выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений, определены и доказаны основные свойства бесконечных произведений, подобран теоретический и практический материал по теме, решены задачи. 
 
На защиту выносится: основные результаты и положения данного исследования, подборка задач по теме исследования.

 

 

 

 

 

 

 

 

  ГЛАВА I 
                    БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 
 
§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений 
 
   Аналитическое выражение, имеющее вид произведения бесконечного множества сомножителей, называется бесконечным произведением. Дадим более детальное и строгое определение этого понятия. 
 
   Определение 1: Пара последовательностей комплексных чисел {a_n} и {p_n}, где p_n= a₁

a₂… a_n,n= 1, 2, …,   (1.1) называется бесконечным произведением и обозначается 
  (1.2)   Члены последовательности {a_n 
} называются сомножителями бесконечного произведения (2.2), а члены последовательности {p_n} – его частичными произведениями (порядка n). 
   Если последовательность частичных произведений {p_n} имеет коечный или определенного знака бесконечный предел р: p =  = ,   (1.3) 
то этот предел называют значением бесконечного произведения (1.2) и пишут 
p_n = a₁ a₂… a_n=  
   Таким образом, аналогично случаю ряда, здесь одним и тем символом обозначают как само бесконечное произведение, так  его значение, если оно существует. 
   Если хотя бы один из сомножителей бесконечного произведения равен нулю, то и значение этого бесконечного произведения равно нулю: 
 = 0 
   Поэтому естественно предполагать, что все сомножители рассматриваемых бесконечных произведений отличны от нуля. Это всегда и будем делать в дальнейшем, не упоминая об этом специально. 
  Особый интерес представляют бесконечные произведения, значениями которых являются числа, отличные от нуля, так как для них можно построить теорию, аналогичную теории сходящихся рядов. Этим оправдывается следующее определение. 
   Определение 2: Бесконечное произведение называется сходящимся, если оно имеет конечное значение, отличное от нуля. 
   В противном случае бесконечное произведение называется расходящимся. Таким образом, бесконечное произведение называется расходящимся, если предел последовательности его частичных произведений либо равен нулю, либо ∞, либо не существует. В частности, если 
 = 0, То произведение  называется расходящимся к нулю. 
   Если в бесконечном произведении (2.2) отбросить первые n сомножителей, то получившееся бесконечное произведение (1.4) 
Называется n-м остаточным произведением. 
Отметим простейшие свойства бесконечных произведений: 
1°. Если бесконечное произведение сходится, то и все его остаточные произведения сходятся. 
Если какое – либо остаточное произведение сходится, то и само бесконечное произведение сходится. 
   Таким образом, для бесконечного произведения как отбрасывание конечного множества первых сомножителей, так и присоединение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей, не влияют на его сходимость. 
2°. Если бесконечное произведение (2.2) сходится, то последовательность его остаточных произведений q_n =   (1.5) 
имеют пределом единицу:  = 1.   (1.6)

  Доказательство: 
Если  = р,   (1.7) то _n =  =  = . 
Так как 
 = p ≠ 0, то   =  =  = 1.  
3°. (необходимое условие сходимости бесконечного произведения) Если бесконечное произведение (1.2) сходится, то последовательность его сомножителей стремится к единице:  = 1.   (1.8) 
Доказательство:

В самом деле, a_n = , n = 2, 3, …, поэтому   =  =  = 1.  
Отметим, что выполнение условия (1.8), т.е. стремление последовательности сомножителей бесконечного произведения к единице, недостаточно для его сходимости.  
  Задачи: 
№1. Определить сходимость и значение следующих бесконечных произведений:

1.    1∙1∙ … ∙1 … 
Значение бесконечного произведения равно 1  бесконечное произведение сходится, т.к. оно имеет конечное значение, отличное от нуля. 
2.    (-1) ∙ (-1) ∙ … ∙ (-1) ∙ …

Частичное произведение р_n = (-1)ⁿ,  =  – не существует  бесконечное произведение расходится.

3.    Частичное произведение p_n =,  =  = 0   = 0  бесконечное произведение  расходится к нулю. 
4.     
Частичное произведение     
p_n = (1 - ) ∙ (1 - ) … (1 -  =  ∙  …  =  
 =  ∙  =   значение бесконечного произведения равно    бесконечное произведение  сходится, т.к.  оно имеет  конечное значение отличное от нуля. 
 
5.    Формулу Валлиса   =  
можно рассматривать как разложение числа π в бесконечное произведение:             = 6.   

Частичное произведение p_n =  =  = , где С – постоянная Эйлера, а { } – бесконечно малая последовательность    =  =    бесконечное произведение сходится, т.к.  оно имеет  конечное значение отличное от нуля. 
№2. 
 Доказать равенства: 
 
1.     
Частичное произведение: 
 
p_n  =  = =  =   =    
 
 =  =  = 2. 
 
2.     =  
Частичное произведение: 
 
p_n =  =  =  =  ∙  

 =  =  =

№3. Доказать, что (при |x|<1)(1+x)(1+x²)(1+x⁴) ∙ … ∙ (1+ ) =  
Убедимся в этом, используя последовательное умножение: 
(1 – x) ∙ p_n = (1 – x)(1 + x)(1 + x²) ∙ … ∙ (1 + ) =    
 p_n =      =  =

№4. 
Доказать, чnо бесконечное произведение: 
 
   =  ∙  ∙ … ∙  ... при любом x ≠ πn сходится и имеет значение  
Частичное произведение:  
 
p_n =  ∙  ∙ … ∙ . 
 
Умножим обе части на  и, последовательно используя формулу для синуса двойного угла  = , получим: 
p_n   
p_n =   { }.  
Поскольку выражение { } стремится к 1 при n → ∞ (в силу первого замечательного предела), то  =    
бесконечное произведение  =  ∙  ∙ … ∙  ... сходится и имеет значение  при любом x ≠ πn. 
№5.  Доказать, что бесконечное произведение: 
   =  = ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙  ∙ …сходится и имеет значение. Частичное произведение:P_n = [ ∙ ∙ …  [ ∙ …  = ∙      =  = 

• бесконечное произведение    =  = ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙  ∙  … сходится, т.к.  оно имеет  конечное значение отличное от нуля.
• №6. Пусть а₁ = 1 и а_n = n(a_n-1 + 1) при n ≥ 2. Докажите, что  Из равенства a_n+1 = (n + 1)(a_n + 1) следует, что a_n + 1 = .   Поэтому P_N  =  =  = . Значит, P_{N + 1} = P_{N =} P_N  +  = P_N +. Поэтому P_N = (P_N - P_{N – 1}) + (P_{N - 2} - P_{N 3})+…+ (P₂ - P ₁) + P ₁ = + + … + + 1.
• №7. Докажите, что если 0 ≤ b_k < 1, то бесконечное произведение  сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд Последовательность p_n =  невозрастающая, поэтому она сходится либо к положительному числу, либо к нулю. Т.к. 0 ≤ b_k < 1, то          1 – b ≤. Поэтому

 Это означает, что если ряд b_k  расходится, то  = 0. 
Предположим теперь, что если ряд сходится. Тогда существует такое

натуральное число N, что   < . Если α₁, α₂ ≥ 0, то (1 - α₁)(1 – α₂) ≥ 1 - α₁ - α₂. Пользуясь этим неравенством, индукцией по m легко показать, что если α₁, … α_m ≥ 0, то (1 - α₁) … (1 – α_m) ≥ 1 - α₁ - … - α_m. Таким образом, если n > N, то = ≥ 1 -  - … -  > . Эти неравенства показывают, что последовательность  невозрастающая и  > 0. Поэтому предел  существует и не равен нулю. 
§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений 
Установим необходимые и достаточные условия сходимости бесконечных произведений.

 

Теорема1.1: (критерий Коши)  
Для того чтобы бесконечное произведение (1.2) сходилось, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое n₀, что для всех n> n₀и всех  
m≥ 0 выполняется неравенство|  - 1| < ε.   (35.9) 
Доказательство. Необходимость: 
Пусть бесконечное произведение (1.2) сходится, тогда все а_n≠ 0,                   n = 1, 2, …, и, в силу необходимого условия сходимости (1.8), последовательность {|p_n|} ограничена снизу: существует такое число с > 0, что|p_n| > c, n = 1, 2, … .   (1.10) 
Зададим произвольно ε > 0. Из сходимости последовательности, следует, что найдется такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ и всех m ≥ 0 выполняется неравенство |p_n+m – p_n| < cε,   (1.11)а тогда|  - 1| =  |p_n+m – p_n| < cε = ε, 
 
т.е. выполнимо условие (1.9). 
Достаточность: 
  Пусть выполнено условие  (1.9). Тогда для ε = 1 существует такой номер n₁, что для всех m ≥ 0 выполняется неравенство 
|  – 1| < 1,откуда|p_n1+m| = |  – 1 + 1| |    |  – 1| |  +|  ≤ 2 | ,и, следовательно, последовательность {p_n} ограничена, т.е. существует такое с > 0, что|p_n| ≤ с, n = 1, 2, … .   (1.12) 
    Зададим произвольно ε > 0. В силу условия теоремы, найдется такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ и всех m ≥ 0 будет выполняться неравенство 
 
|  - 1| <   ,   (1.13)т.е. |p_n+m – p_m| <  |p_m| ≤ ε. 
Это означает, что числовая последовательность {p_n} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится. 
  Покажем, что ее предел р =   не равен нулю. Если бы он был равен нулю, то, перейдя к пределу в неравенстве (1.13) при m→∞ (n фиксировано), мы получили бы неравенство 1 ≤ ε, что противоречит произвольному выбору ε > 0.  [3, с. 63 - 64] 
 §1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями 
  До сих пор все доказанные для бесконечных произведений теоремы были справедливы независимо от того, являлись ли их сомножители комплексными или только действительными числами. Перейдем теперь к изучению бесконечных произведений, сомножители которых являются только действительными числами. В этом случае из необходимого условия сходимости (1.8) следует, что все его сомножители начиная с некоторого номера положительны. Согласно же свойству 1°, отбрасывание конечного множества сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произведения, поэтому дополнительное предположение о том, что все сомножители бесконечного произведения положительны, не будет ограничивать общности изучения сходимости бесконечных произведений с действительными сомножителями. 
Взаимно обратную связь между бесконечными произведениями с положительными сомножителями и рядами устанавливает следующее утверждение. 
Теорема 1.2:   
 Длятого чтобы бесконечное произведение 
, а_n> 0, n= 1, 2, …,   (1.14)сходилось необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд   (1.15) 
Если при сходимости ряда (1.15) s 
является его суммой, а р – значением бесконечного произведения (1.14), то p= (1.16)

Доказательство: 
  В самом деле, если s_n – частичная сумма порядка n для ряда (1.15), а p_n – частичное произведение того же порядка для бесконечного произведения (1.14), то

 =  = ln = ln , n = 1, 2, …, 
а следовательно, р_n  = e^s_n. Перейдя здесь к пределу при n → ∞, получим формулу (1.16). 
  При исследовании бесконечного произведения (1.2) часто бывает удобным его сомножители a_n представлять в видеa_n= 1 + u_n, n = 1, 2, … . 
  В случае сходящегося бесконечного произведения (1.2), в силу его свойства 3°, последовательность {u_n} является бесконечно малой. 
Теорема 1.3:  
Если все u_n, n=1, 2, …, знакопостоянны(т.е. все u_n≥ 0 или все  u_n≤ 0), то, для того чтобы сходилось бесконечное произведение (1.17) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

 

   Доказательство: 
  Согласно необходимому условию сходимости бесконечного произведения (свойство 3°) и необходимому условию сходимости ряда , из сходимости бесконечного произведения (1.17), так же как и из сходимости ряда (1.18), следует, что 
 = 0.(1.19) 
Поэтому будем предполагать это условие выполненным. 
  Сходимость бесконечного произведения (1.17), согласно теореме 1.1, равносильна сходимости ряда  
).(1.20) 
    В силу же (1.19), имеет место эквивалентность) ~ , n → ∞, 
и так как все u_n одного знака, то, согласно признаку сравнения рядов, ряд (1.20) сходится и расходится одновременно с рядом (1.18).   
   Отметим, что бесконечное произведение  расходится. Из этого утверждения, в силу теоремы 1.3, следует, что ряд  расходится, - еще одно доказательство расходимости гармонического ряда. 
  В случае знакопеременных u_n имеет место следующее достаточное условие сходимости ряда (1.17). 
Теорема 1.4:  
Если сходятся ряды  
(1.21)то бесконечное произведение  сходится. 

Доказательство: 
   Прежде всего из сходимости рядов (1.21) следует выполнение условия (1.19). А тогда, согласно формуле Тейлора,    ) = - + o( , n →∞, 
и, следовательно,  
 _.

Из этого равенства, согласно признаку сравнения рядов, следует, что ряд 
 -   (1.22) сходится, так как, по условию, сходится ряд  По условию, сходится и ряд , поэтому из сходимости ряжа (1.22) следует и сходимость ряда   , что, в силу теоремы 1.2, означает сходимость бесконечного произведения (1.17). 

Задачи№1.

Доказать что бесконечное произведение  сходится при  х > 1 и расходится при х ≤ 1.

Согласно теореме 1.3, это следует  из того, что ряд   сходится при х > 1 и расходится при х < 1. 
№2. Имеет место равенство Эйлера: 
 
 , 0 < q < 1. 
 
Произведения  и  сходятся, так как сходятся соответственно ряды  и  (согласно теореме 1.3) 
В силу аналогичных соображений сходится и бесконечное произведение а следовательно, в силу критерия Коши сходимости бесконечных произведений, выполняется условие                         .  
 
   =  = .№3. Исследовать на сходимость произведения:  и  . 
Данные бесконечные произведения сходятся или расходятся вместе с рядами и Поскольку ряд  сходится (    ), а ряд  расходится (  ~ ), то бесконечное произведение  сходится, а  расходится. 
№4. Доказать расходимость следующих бесконечных произведений: (1 + 1) (1 +  (1 + ) … (1 + ) … .  = (1 – ) (1 –  ) … (1 – )… 
Расходимость этих произведений вытекает из расходимости гармонического ряда и теоремы 1.3. для этого рассмотрим гармонический ряд: 1 + + … + + … и докажем, что он расходится. Действительно, для любого n = 1, 2, … имеем u_n + u_n+1 + … + u_2n-1 = + + …+> + + … + =  =, т.е. для любого n при ε = и p = n – 1 неравенство | u_n + u_n+1 + … + u_n+p| < ε не выполняется.