Бином Ньютона. Биномиальная теорема

Чувашский Государственный  Университет им И.Н. Ульянова.

Кафедра Вычислительной техники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа.

«Бином Ньютона. 
Биномиальная теорема.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы 
ИВТ-42-11

Шеронов Е.С

 

Проверил:

Степанов  В.И.

 

 

 

 

 

 

Чебоксары 2012 г.

Содержание.

 

Понятие бинома Ньютона…………………………………………………………..	3
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов…………………………...   История…………………………………………………………………………………   Биномиальная  теорема …………………………………………………………….	4   5   5
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»……………………………………..	6
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона ………...	6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие бинома Ньютона.

Биномом Ньютона называют разложение вида:

Но, строго говоря, всю  формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.

Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

 

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

• правая часть формулы – разложение бинома;
• – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

1. перемножить почленно четыре скобки:

;

2. вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

• общий член разложения бинома n-й степени:  ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

 

 

 

Свойства бинома и биномиальных коэффицентов.

2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно
3. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

Доказательство

Рассмотрим  -й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b: 

Ч.т.д.

4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой:  (правило симметрии)
5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Доказательство

Пусть , тогда:

• левая часть равна ;
• правая часть равна

Тогда:

Ч.т.д.

6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7. Правило Паскаля: 

 

8. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби

 

История.

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) иал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

 

Биномиальная  теорема.

Теорема. Имеет место равенство

  (*)

Доказательство. Перемножим последовательно (a+b)n раз. Получим сумму 2_n слагаемых вида d₁d₂...d_n, где d_i(i=1,…,n) равно либо a, либо b. Разобьем все слагаемые на n+1 группу B₀,B₁,…,B_n, относя к группе B_k все те произведения, в которых b встречается множителем k раз, аa — n–k раз. Число элементов в B_k очевидно равно  (таким числом способов среди n произведений d₁d₂...d_n можно выбрать k сомножителей, равных b), а каждый элемент в B_k равен  . Отсюда и получаем формулу (*).

 

 

 

 

 

 

 

Типовые задачи по теме «Бином Ньютона».

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести  задачи на вычисление, среди которых:

1. Найти член (номер члена) разложения бинома
2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)
3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

и другие.

Продемонстрируем на примере.

 

Пример 1

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Решение

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то

Тогда

Ответ:

 

 

Задачи, сводящиеся к использованию  формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме  «Бином Ньютона»).

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

 

Пример 1

Доказать, что для любых  и для любых верно неравенство Бернулли:

Доказательство

Пусть

Так как  , то

Переформулируем требование: Доказать, что  , где

\

Так как  , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:

Это означает, что 

Ч.т.д.

 

 

Пример 2

Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9

Доказательство

1 способ:

Ч.т.д.

2 способ:

Начнем рассматривать  бином в общем виде:

Тогда

Ч.т.д.

 

Пример 3

Решить уравнение 

Решение

Осуществим замену:

Тогда уравнение перепишем:

Применим формулу бинома к левой части уравнения:

В итоге 

Ответ: .

 

Часто при решении  комбинаторных задач используется биномиальная теорема (бином Ньютона).