Возникновение чисел

 

 

Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху    и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет  . Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел:

 

27

В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке.

Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение.

Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:

К'ин = 1 день. 
        Виналь = 20 к'ин = 20 дней. 
        Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года. 
        К'атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет. 
        Бак'тун = 20 к'атун = 144000 дней = около 400 лет. 
        Пиктун = 20 бак'тун = 2880000 дней = около 8000 лет. 
        Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет. 
        К'инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет. 
        Алавтун = 20 к'инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.

 

Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.

 

 

 

 

28 

4.4 Двоичная система счисления.

Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, — это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, — одна из самых старых.

Некоторый недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходятся использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в двоичной системе в виде    1111101000,  т. е. с помощью десяти цифр.

Однако этот ее недостаток, часто окупается рядом преимуществ. Удобство этой системы — в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе. Основные правила сложения даются равенствами: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=(10)2.

Все это послужило причиной того, что двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

Таблица . Запись чисел в двоичной системе счисления.

1 - 1 2 - 10 3 - 11 4 - 100 5 - 101 6 - 110 7 - 111 8 - 1000 9 - 1001 10 - 1010 11 - 1011 12 - 1100 13 - 1101 14 - 1110 15 - 1111 16 - 10000

17 - 10001 18 - 10010 19 - 10011 20 - 10100 21 - 10101 22 - 10110 23 - 10111 24 - 11000 25 - 11001 26 - 11010 27 - 11011 28 - 11100 29 - 11101 30 - 11110 31 - 11111 32 - 100000

33 - 100001 34 - 100010 35 - 100011 36 - 100100 37 - 100101 38 - 100110 39 - 100111 40 - 101000 41 - 101001 42 - 101010 43 - 101011 44 - 101100 45 - 101101 46 - 101110 47 - 101111 48 - 110000

49 - 110001 50 - 110010 51 - 110011 52 - 110100 53 - 110101 54 - 110110 55 - 110111 56 - 111000 57 - 111001 58 - 111010 59 - 111011 60 - 111100 61 - 111101 62 - 111110 63 - 111111         64 - 1000000

 

Рассмотрим задачу, связанную с двоичной записью чисел.

С помощью двоичной системы счисления можно угадать любое целое  число от 1 до 1000, задав не более 10 вопросов, на каждый из которых будет получен ответ только «да» или «нет»? Задача эта вполне разрешима.

Одна из возможных серий вопросов, заведомо приводящая к успеху, такова:   1-й вопрос: Разделите задуманное число на 2. Разделится ли оно без остатка? Если ответ «да» то запишем цифру ноль, если «нет», то запишем единицу (иначе говоря, мы запишем остаток от деления задуманного числа на 2)

30

2-й вопрос: Разделите на 2 то частное, отбрасывая остаток, которое получилось при первом делении. Делится ли оно без остатка? Снова при ответе «да» запишем нуль, а при ответе «нет» единицу. Запись ведется справа налево.

Каждый следующий вопрос будем составлять по тому же самому образцу, т. е. так: разделите на 2 то частное, которое получилось при предыдущем делении. Делится ли оно без остатка? Всякий раз мы пишем нуль при положительном ответе и единицу при отрицательном. Повторив эту процедуру 10 раз до единицы, мы получим 10 цифр, каждая из которых есть нуль или единица. Не трудно убедиться в том, что эти цифры образуют запись искомого числа в двоичной системе. Если перевести его в десятеричную систему,  то мы получим задуманное число.

Система наших вопросов воспроизводит ту самую процедуру, с помощью которой делается перевод некоторого числа в двоичную систему. При этом десяти вопросов достаточно потому, что каждое число от 1 до 1000 записывается в двоичной системе с помощью не более чем десяти знаков.

Например: Задумано число «63».

Задаем вопрос: Разделите  это число на «2». Делится ли оно без остатка?

63 : 2 = 31,5 - Нет.    Значит, мы записываем число  «1». Далее продолжаем деление целого числа без остатка:  31 : 2 = 15,5 Остаток есть  и мы вновь записываем число «1» и т.д.   15 : 2 = 7,5  - записываем число «1»;   7 : 2 = 3,5 - записываем число «1»;   3 : 2 = 1,5 - записываем число «1»;       1 : 2 = 0,5 - записываем число «1». Получилось число «111111», Если перевести это число из двоичной в десятичную систему, то мы получим число «63».

 

Если считать, что задуманное число уже заранее переведено в двоичную систему, то система вопросов, с помощью которой его можно узнать, становится совершенно очевидной: нужно о каждой его цифре спросить, равна она нулю или нет.

 

 

 

 

 

 

31

 

V.    История «арабских» чисел.

История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Вот один из вариантов этого истории этого происхождения. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа.

Как мы уже знаем, в вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы (например, Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).

Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.

Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде европейских купцов.

Форма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVIвеке.  

32

 

Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. – между 830-840).

Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами».

Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так :

Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи  чисел,  которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.     

История нуля.

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

 

                                                                     33

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля.

Нуль - это уникальный знак. Нуль – это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все! 

Разговор о нуле

 

Что можно сказать о нуле? - спросите вы. Нуль - все равно что ничто, нуль вообще не число, а самый обычный нуль. И что тут еще говорить? 
Это не совсем так, а потому я прошу вас - наберитесь терпения и вынесите свой приговор нулю в конце нашего разговора. Не такой уж он беззначительный, этот нуль, как вам кажется на первый взгляд. Число нуль обладает самыми разнообразными и интересными свойствами, и именно о них мне хотелось бы с вами поговорить. Посмотрим прежде всего, как он возник. Попытайтесь сложить два противоположных числа, например: 
3+(-3)=0, 7+(-7)=0, 786+(-786)=0   или обобщенно   a+(-a)=0. В результате мы получим всегда нуль. 
Вот видите в процессе вычитания мы пришли к числу нуль. Но всегда это было так быстро и просто, как у нас сейчас? Первыми признали нуль настоящим числом математики Индии еще тысячу лет назад, но все европейские математики очень долго гадали, делать это или нет.  
Теперь вас интересует другой вопрос: 
К каким числам можно отнести число нуль, к положительным или отрицательным? 
Ответ: Ни к тем, ни к другим. Он на самой границе между ними и занимает там почетное место, так что нуль "персона". Словом, нуль - это нуль. 
Итак, вы убедились, что нуль - не пустяк, а очень интересное число, которое занимает особое место среди чисел. В будущем никогда не говорите о нуле с пренебрежением!

 

 

 

 

 

                                                          34