Вычисление определителя

1)Решить определитель двумя способами.

      F=10,    N=5

Решение:

1.1) Первой способ: Вычислим определитель 3-го  порядка, пользуясь методом Сарюсса.

а_11*а_22*а₃₃+а_12*а_23*а₃₁+а_13*а_21*а₃₂-а_13*а_22*а_31-а_12*а_21*а₃₃-а_11*а_23*а₃₂

===2*1*(-1)+(-2)*5*3+5*5*10-5*1*3-  

-(-2)*5*(-1)-2*5*10=-2-30+250-15-10-100=93     Ответ:   93

1.2) Вычислим определитель, использовав разложение по столбцам и строкам

 

1.2.1) Запишем матрицу в виде:

               А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 1-й столбец.

                                                      

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,1 = (1 • (-1)-10 • 5) = -51

 

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 1-й столбец.

                                       

     Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_2,1 = ((-2) • (-1)-10 • 5) = -48

 

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю  строку и 1-й столбец.

                                        

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_3,1 = ((-2) • 5-1 • 5) = -15

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺¹2 • (-51)+(-1)²⁺¹5 • (-48)+(-1)³⁺¹3 • (-15) = 2 • (-51)-5 • (-48)+3 • (-15) = 93

                 Ответ:   93

 

 

 

 

  1.2.2) Запишем матрицу в виде:

     А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,2):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 2-й столбец.

                                                      

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,2 = (5 • (-1)-3 • 5) = -20

 

Минор для (2,2):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 2-й столбец.

                                                                       

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_2,2 = (2 • (-1)-3 • 5) = -17

 

 

Минор для (3,2):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю  строку и 2-й столбец.

                                                        

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_3,2 = (2 • 5-5 • 5) = -15

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺²(-2) • (-20)+(-1)²⁺²1 • (-17)+(-1)³⁺²10 • (-15) = -(-2) • (-20)+1 • (-17)-10 • (-15) = 93    Ответ:   93

 

 

 

  1.2.3) Запишем матрицу в виде:

     А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,3):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 3-й столбец.

                                                           

 

 

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,3 = (5 • 10-3 • 1) = 47

 

            Минор для (2,3):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 3-й столбец.

                                                          

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_2,3 = (2 • 10-3 • (-2)) = 26

 

              Минор для (3,3):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю  строку и 3-й столбец.

 

                                                             

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_3,3 = (2 • 1-5 • (-2)) = 12

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺³5 • 47+(-1)²⁺³5 • 26+(-1)³⁺³(-1) • 12 = 5 • 47-5 • 26+(-1) • 12 = 93    Ответ:   93

 

 

  1.2.4) Запишем матрицу в виде:

     А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по строкам:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 1-й столбец.

                                                              

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,1 = (1 • (-1)-10 • 5) = -51

 

Минор для (1,2):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 2-й столбец.

 

 

                                                              

 

 

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,2 = (5 • (-1)-3 • 5) = -20

 

Минор для (1,3):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 3-й столбец.

 

                                                           

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,3 = (5 • 10-3 • 1) = 47

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺¹2 • (-51)+(-1)¹⁺²(-2) • (-20)+(-1)¹⁺³5 • 47 = 2 • (-51)-(-2) • (-20)+5 • 47 = 93    Ответ:   93

 

 

  1.2.5) Запишем матрицу в виде:

     А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по строкам:

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 1-й столбец.

                                                         

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_2,1 = ((-2) • (-1)-10 • 5) = -48

 

 

Минор для (2,2):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 2-й столбец.

                                                           

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_2,2 = (2 • (-1)-3 • 5) = -17

 

Минор для (2,3):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 3-й столбец.

                                                                   

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_2,3 = (2 • 10-3 • (-2)) = 26

Главный определитель:

∆ = (-1)²⁺¹5 • (-48)+(-1)²⁺²1 • (-17)+(-1)²⁺³5 • 26 = -5 • (-48)+1 • (-17)-5 • 26 = 93     Ответ:   93

 

 

  1.2.6) Запишем матрицу в виде:

     А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по строкам:

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю  строку и 1-й столбец. 

                                                                             

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_3,1 = ((-2) • 5-1 • 5) = -15

 

Минор для (3,2):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю  строку и 2-й столбец.

                                                                       

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_3,2 = (2 • 5-5 • 5) = -15

 

Минор для (3,3):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю  строку и 3-й столбец.

                                                                     

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_3,3 = (2 • 1-5 • (-2)) = 12

Главный определитель:

∆ = (-1)³⁺¹3 • (-15)+(-1)³⁺²10 • (-15)+(-1)³⁺³(-1) • 12 = 3 • (-15)-10 • (-15)+(-1) • 12 = 93

 

                   Ответ:   93

 

 

 

1.3)Вычислим  определитель, используя свойства  определителей.

2     -2      5 (-1)      2   -2     5      2   -4    5

5       1      5        =  3    3     0 =  3    0    0 =-3=-3(4-35)=-3*(-31)=93   Ответ:  93

3     10    -1            3   10   -1     3    7   -1

                                  -1

 

2) Вычислим определитель, используя свойства определителей  (показать какие свойства, билы использованы):   F=10,  N=5

2.1)

  N-6      F        1             -1    10    1          -1    10    1           -1     1     10 (-4)         -1     1    10

   7        F-9     N-5    =    7      1     0    =    7      1     0     =      7     0      1            =     7   0    1    =   =-245-3=-248.

-1          N       F-6          -1     5     4          -1     5     4            -1    4      5                   3    0   -35            Ответ:  -248

2.2)

  N-6      F        1             -1    10    1          -1    10    1            -1  10   1         -1    0    -1         0     -1    -1

   7        F-9     N-5    =    7      1     0    =    7      1     0        =   0   36  28   =   10   36   5  =    36    5   10  =-1=

 -1          N       F-6          -1     5     4          -1     5     4   7        -1    5    4         1    28   4          28    4    1

=-244-4=-248                  Ответ: -248

2.3) Первой способ: Вычислим определитель 3-го  порядка, пользуясь методом Саррюса.

= (-1)•1•4 - (-1)•0•5 - 7•10•4 + 7•1•5 + (-1)•10•0 - (-1)•1•1 = -248    Ответ:  -248

 

3) Дано матрица. F=10,  N=5

A==  Найти А^-1.

Запишем матрицу в виде:

 

Главный определитель

∆=1•(5•5-(-2•(-1)))-(-3•(1•5-(-2•(-3))))+3•(1•(-1)-5•(-3))=62

Определитель отличен  от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

 

 

 

Транспонированная матрица.

 

Обратная матрица будет  иметь следующий вид:

 

где A_ij - алгебраические дополнения.

Найдем алгебраические дополнения.

 

∆_1,1=(5•5-(-1•(-2)))=23

 

∆_1,2=-(1•5-(-3•(-2)))=1

 

∆_1,3=(1•(-1)-(-3•5))=14

 

∆_2,1=-(-3•5-(-1•3))=12

 

∆_2,2=(1•5-(-3•3))=14

 

∆_2,3=-(1•(-1)-(-3•(-3)))=10

 

∆_3,1=(-3•(-2)-5•3)=-9

 

∆_3,2=-(1•(-2)-1•3)=5

 

∆_3,3=(1•5-1•(-3))=8

Обратная матрица.

 

 

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем  умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

 

 

Е=А●А^-1=●₌

 

₌₌

                 =  =          Ответ:  АА^-1=  ,        Е=

 

4) Решить систему 3 способами.   F=10,  N=5

                     

4.1) Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

 

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (8). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Теперь исходную систему  можно записать как:

x₃ = 21/51

x₂ = [13 - ( - 5x₃)]/8

x₁ = [-1 - ( - x₂)]/5

Из 1-ой строки выражаем x₃                  

 

Из 2-ой строки выражаем x₂

 

Из 3-ой строки выражаем x₁

              Ответ:  x₁₌x,  x₂₌y,   x₃₌z.

 

4.2.1) Решение методом Крамера по 1-го столбцам.

Запишем систему в виде:

 

B^T = (1,2,-1)

Найдем главный определитель:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю  строку и 1-й столбец.

 

1	0	2
3	1	-1
5	-1	0

Получаем:

 

Найдем определитель для  этого минора.

∆_1,1 = (1 • 0-(-1) • (-1)) = -1

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю  строку и 1-й столбец.

 

1	0	2
3	1	-1
5	-1	0