Автор работы: Пользователь скрыл имя, 08 Декабря 2013 в 07:14, контрольная работа
1) Решить определитель двумя способами. F=10, N=5
1.1) Первой способ: Вычислим определитель 3-го порядка, пользуясь методом Сарюсса.
1.3) Вычислим определитель, используя свойства определителей.
2) Вычислим определитель, используя свойства определителей (показать какие свойства, билы использованы): F=10, N=5
2.3) Первой способ: Вычислим определитель 3-го порядка, пользуясь методом Саррюса.
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = (0 • 0-(-1) • 2) = 2
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
-1 |
5 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = (0 • (-1)-1 • 2) = -2
Главный определитель:
∆ = (-1)1+11 • (-1)+(-1)2+13 • 2+(-1)3+15 • (-2) = 1 • (-1)-3 • 2+5 • (-2) = -17
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = (1 • 0-(-1) • (-1)) = -1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = (0 • 0-(-1) • 2) = 2
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = (0 • (-1)-1 • 2) = -2
Определитель минора:
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = (-1)1+11 • (-1)+(-1)2+12 • 2+(-1)3+1(-1) • (-2) = 1 • (-1)-2 • 2+(-1) • (-2) = -3
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
-1 |
5 |
-1 |
0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
-1 |
5 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = (2 • 0-(-1) • (-1)) = -1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
-1 |
5 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = (1 • 0-(-1) • 2) = 2
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
-1 |
5 |
-1 |
0 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = (1 • (-1)-2 • 2) = -5
Определитель минора:
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = (-1)1+11 • (-1)+(-1)2+13 • 2+(-1)3+15 • (-5) = 1 • (-1)-3 • 2+5 • (-5) = -32
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
-1 |
-1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
-1 |
-1 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = (1 • (-1)-(-1) • 2) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
-1 |
-1 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = (0 • (-1)-(-1) • 1) = 1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
-1 |
-1 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = (0 • 2-1 • 1) = -1
Определитель минора:
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = (-1)1+11 • 1+(-1)2+13 • 1+(-1)3+15 • (-1) = 1 • 1-3 • 1+5 • (-1) = -7
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
1•0.18+0•1.88+2•0.41 = 1
3•0.18+1•1.88+-1•0.41 = 2
5•0.18+-1•1.88+0•0.41 = -1 Ответ: x1=x, x2=y, x3=z.
4.3)Решение систему по обратная матрица.
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B:
BT=(1,2,-1)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=1•(1•0-(-1•(-1)))-3•(0•0-(-
Итак, определитель -17 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆1,1=(1•0-(-1•(-1)))=-1
∆1,2=-(0•0-2•(-1))=-2
∆1,3=(0•(-1)-2•1)=-2
∆2,1=-(3•0-(-1•5))=-5
∆2,2=(1•0-2•5)=-10
∆2,3=-(1•(-1)-2•3)=7
∆3,1=(3•(-1)-1•5)=-8
∆3,2=-(1•(-1)-0•5)=1
∆3,3=(1•1-0•3)=1
Обратная матрица
Вектор результатов X
X=A-1 • B
XT=(0.18,1.88,0.41)
x1=-3 / -17=0.18
x2=-32 / -17=1.88
x3=-7 / -17=0.41
Проверка.
1•0.18+0•1.88+2•0.41=1
3•0.18+1•1.88+-1•0.41=2
5•0.18+-1•1.88+0•0.41=-1
Ответ:
x1=0.18 x1=x
x2=1.88 x2=y
x3=0.41 x3=z